Теория Галуа

[Valen007]

Sonic86 в сообщении #1049818 писал(а):

Valen007 в сообщении #1049816 писал(а):

В общем-то мне все эти понятия известны, кроме неприводимого многочлена.

Так Вы тогда можете брать книги и читать, вполне возможно, что Вы даже с 1-го или 2-го раза все осилите
Неприводимый многочлен (в поле) - это просто многочлен, неразложимый в произведение многочленов положительной степени (с коэффициентами из этого поля) (как простое число).

Я пытаюсь так делать, но как-то вещи ... не стыкуются. Или, например, в книге много материала о группах, но не очень понятно, как это связано с уравнениями.

[Lia]

Lia в сообщении #1049193 писал(а):

Valen007
...для выборочного цитирования выделенного фрагмента имеет смысл использовать кнопку "Вставка".

[Xaositect]

Valen007 в сообщении #1049827 писал(а):

Я пытаюсь так делать, но как-то вещи ... не стыкуются. Или, например, в книге много материала о группах, но не очень понятно, как это связано с уравнениями.

А не факт, что это связано с уравнениями. Теория Галуа же не в одной теореме применяется.

[Valen007]

Xaositect в сообщении #1049834 писал(а):

А не факт, что это связано с уравнениями. Теория Галуа же не в одной теореме применяется.

Центральное применение Галуа это ответ на вопрос о поиске формул для решения числовых уравнений.

[Sonic86]

Valen007 в сообщении #1049827 писал(а):

в книге много материала о группах, но не очень понятно, как это связано с уравнениями.

А посты выше Вы читали?
Давайте я последний раз попробую.
Мы ищем решение алгебраического уравнения $f(x)=0$ с рациональными коэффициентами в радикалах. Радикалы имеют вид $\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}}$. Уравнение разрешается в поле $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}})$. Радикал строится последовательно: сначала $\sqrt{c}$, потом $\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}$, и т.д. Этим радикалам соответствуют поля $P_0=\mathbb{Q}$, $P_1=\mathbb{Q}(\sqrt{c})$, $P_2=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{b+\sqrt{c}})$, $P_3=\mathbb{Q}(\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}})$. Эти поля образуют цепь расширений $P_0\subset P_1\subset P_2\subset P_3$. В этой цепи каждое расширение поля $P$ имеет вид $P(\alpha)$, где $\alpha^k=d\in P$ для какого-то $k$. Пусть $\epsilon_k$ - корни из единицы $k$-й степени. Для простоты будем считать, что $\epsilon_k \in P$. Тогда мы получаем, что $P(\alpha)$ - это расширение $P$ с помощью корня $\sqrt[k]{d}$, когда группа Галуа $\operatorname{Gal}(P(\alpha),P)$ циклична (вот группы полезли!). Значит вся цепь расширений имеет цикличные группы Галуа, а вся цепь имеет разрешимую группу Галуа $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}}), \mathbb{Q})$.

Valen007 в сообщении #1049838 писал(а):

решения числовых уравнений.

Нет таких уравнений.
Теория Галуа используется для решения алгебраических уравнений.

[Valen007]

Sonic86 в сообщении #1049875 писал(а):

А посты выше Вы читали?
Давайте я последний раз попробую.
Мы ищем решение алгебраического уравнения $f(x)=0$ с рациональными коэффициентами в радикалах. Радикалы имеют вид $\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}}$. Уравнение разрешается в поле $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}})$. Радикал строится последовательно: сначала $\sqrt{c}$, потом $\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}$, и т.д. Этим радикалам соответствуют поля $P_0=\mathbb{Q}$, $P_1=\mathbb{Q}(\sqrt{c})$, $P_2=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{b+\sqrt{c}})$, $P_3=\mathbb{Q}(\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}})$. Эти поля образуют цепь расширений $P_0\subset P_1\subset P_2\subset P_3$. В этой цепи каждое расширение поля $P$ имеет вид $P(\alpha)$, где $\alpha^k=d\in P$ для какого-то $k$. Пусть $\epsilon_k$ - корни из единицы $k$-й степени. Для простоты будем считать, что $\epsilon_k \in P$. Тогда мы получаем, что $P(\alpha)$ - это расширение $P$ с помощью корня $\sqrt[k]{d}$, когда группа Галуа $\operatorname{Gal}(P(\alpha),P)$ циклична (вот группы полезли!). Значит вся цепь расширений имеет цикличные группы Галуа, а вся цепь имеет разрешимую группу Галуа $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}}), \mathbb{Q})$.

Совсем не прояснило ситуацию для меня.
Что значит "рациональными коэффициентами в радикалах"?

[Sonic86]

Valen007 в сообщении #1050282 писал(а):

Что значит "рациональными коэффициентами в радикалах"?

Это значит "коэффициенты многочлена $f$ - рациональные числа. Мы ищем решение уравнения $f(x)=0$ в радикалах".

Ладно, забейте, я же говорю, я лишь пытаюсь идею описать. Если мой текст непонятен, то увы - он на точность и не рассчитан. Читайте Постникова, Артина, Кострикина, ван дер Вардена, Чеботарева.

[arseniiv]

Есть ещё страшная книжка

Хованский А. Г. Топологическая теория Галуа. Разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде,

Это просто для сравнения нет. Там обычной теории Галуа тоже отведено какое-то место. Не стоит открывать. Я в неё залез в праздном любопытстве они уже идут насчёт всяких уравнений вида $ax = \sin x$, немного беги почитал и понял, что лучше бежать как-нибудь потом прячься глубже попробовать снова, пока они не пришли за тоб 

[g______d]

Книгу Артина "Теория Галуа" можно не спеша прочитать за пару вечеров. И вообще, все эти "невозможно ни при каких обстоятельствах осилить быстрее, чем за $N$ лет" опровергаются историческим развитием образованной части человечества.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1050288 писал(а):

Хованский А. Г. Топологическая теория Галуа. Разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде,

Ай, драгоценная книга! Ай, спасибо!