2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 22:31 


19/01/13
23
Sonic86 в сообщении #1049818 писал(а):
Valen007 в сообщении #1049816 писал(а):
В общем-то мне все эти понятия известны, кроме неприводимого многочлена.
Так Вы тогда можете брать книги и читать, вполне возможно, что Вы даже с 1-го или 2-го раза все осилите :-)
Неприводимый многочлен (в поле) - это просто многочлен, неразложимый в произведение многочленов положительной степени (с коэффициентами из этого поля) (как простое число).


Я пытаюсь так делать, но как-то вещи ... не стыкуются. Или, например, в книге много материала о группах, но не очень понятно, как это связано с уравнениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 22:43 
Модератор


20/03/14
11520
 i 
Lia в сообщении #1049193 писал(а):
Valen007
...для выборочного цитирования выделенного фрагмента имеет смысл использовать кнопку "Вставка".

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Valen007 в сообщении #1049827 писал(а):
Я пытаюсь так делать, но как-то вещи ... не стыкуются. Или, например, в книге много материала о группах, но не очень понятно, как это связано с уравнениями.
А не факт, что это связано с уравнениями. Теория Галуа же не в одной теореме применяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 23:20 


19/01/13
23
Xaositect в сообщении #1049834 писал(а):
А не факт, что это связано с уравнениями. Теория Галуа же не в одной теореме применяется.


Центральное применение Галуа это ответ на вопрос о поиске формул для решения числовых уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение02.09.2015, 08:23 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
Valen007 в сообщении #1049827 писал(а):
в книге много материала о группах, но не очень понятно, как это связано с уравнениями.
А посты выше Вы читали?
Давайте я последний раз попробую.
Мы ищем решение алгебраического уравнения $f(x)=0$ с рациональными коэффициентами в радикалах. Радикалы имеют вид $\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}}$. Уравнение разрешается в поле $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}})$. Радикал строится последовательно: сначала $\sqrt{c}$, потом $\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}$, и т.д. Этим радикалам соответствуют поля $P_0=\mathbb{Q}$, $P_1=\mathbb{Q}(\sqrt{c})$, $P_2=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{b+\sqrt{c}})$, $P_3=\mathbb{Q}(\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}})$. Эти поля образуют цепь расширений $P_0\subset P_1\subset P_2\subset P_3$. В этой цепи каждое расширение поля $P$ имеет вид $P(\alpha)$, где $\alpha^k=d\in P$ для какого-то $k$. Пусть $\epsilon_k$ - корни из единицы $k$-й степени. Для простоты будем считать, что $\epsilon_k \in P$. Тогда мы получаем, что $P(\alpha)$ - это расширение $P$ с помощью корня $\sqrt[k]{d}$, когда группа Галуа $\operatorname{Gal}(P(\alpha),P)$ циклична (вот группы полезли!). Значит вся цепь расширений имеет цикличные группы Галуа, а вся цепь имеет разрешимую группу Галуа $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}}), \mathbb{Q})$.

Valen007 в сообщении #1049838 писал(а):
решения числовых уравнений.
:shock: Нет таких уравнений.
Теория Галуа используется для решения алгебраических уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение03.09.2015, 21:53 


19/01/13
23
Sonic86 в сообщении #1049875 писал(а):
А посты выше Вы читали?
Давайте я последний раз попробую.
Мы ищем решение алгебраического уравнения $f(x)=0$ с рациональными коэффициентами в радикалах. Радикалы имеют вид $\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}}$. Уравнение разрешается в поле $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}})$. Радикал строится последовательно: сначала $\sqrt{c}$, потом $\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}$, и т.д. Этим радикалам соответствуют поля $P_0=\mathbb{Q}$, $P_1=\mathbb{Q}(\sqrt{c})$, $P_2=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{b+\sqrt{c}})$, $P_3=\mathbb{Q}(\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}})$. Эти поля образуют цепь расширений $P_0\subset P_1\subset P_2\subset P_3$. В этой цепи каждое расширение поля $P$ имеет вид $P(\alpha)$, где $\alpha^k=d\in P$ для какого-то $k$. Пусть $\epsilon_k$ - корни из единицы $k$-й степени. Для простоты будем считать, что $\epsilon_k \in P$. Тогда мы получаем, что $P(\alpha)$ - это расширение $P$ с помощью корня $\sqrt[k]{d}$, когда группа Галуа $\operatorname{Gal}(P(\alpha),P)$ циклична (вот группы полезли!). Значит вся цепь расширений имеет цикличные группы Галуа, а вся цепь имеет разрешимую группу Галуа $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[5]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}}), \mathbb{Q})$.


Совсем не прояснило ситуацию для меня.
Что значит "рациональными коэффициентами в радикалах"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение03.09.2015, 22:00 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
Valen007 в сообщении #1050282 писал(а):
Что значит "рациональными коэффициентами в радикалах"?
Это значит "коэффициенты многочлена $f$ - рациональные числа. Мы ищем решение уравнения $f(x)=0$ в радикалах".

Ладно, забейте, я же говорю, я лишь пытаюсь идею описать. Если мой текст непонятен, то увы - он на точность и не рассчитан. Читайте Постникова, Артина, Кострикина, ван дер Вардена, Чеботарева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение03.09.2015, 22:13 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Есть ещё страшная книжка

Хованский А. Г. Топологическая теория Галуа. Разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде,

Это просто для сравнения нет. Там обычной теории Галуа тоже отведено какое-то место. Не стоит открывать. Я в неё залез в праздном любопытстве они уже идут насчёт всяких уравнений вида $ax = \sin x$, немного беги почитал и понял, что лучше бежать как-нибудь потом прячься глубже попробовать снова, пока они не пришли за тоб 

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение04.09.2015, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
Книгу Артина "Теория Галуа" можно не спеша прочитать за пару вечеров. И вообще, все эти "невозможно ни при каких обстоятельствах осилить быстрее, чем за $N$ лет" опровергаются историческим развитием образованной части человечества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение04.09.2015, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6923
arseniiv в сообщении #1050288 писал(а):
Хованский А. Г. Топологическая теория Галуа. Разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде,

Ай, драгоценная книга! Ай, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group