2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #1049742 писал(а):
Скачайте Постникова и Кострикина и читайте у них про теорию Галуа, потом задавайте вопросы.

Зачем скачивать и читать такие сложные книги, если прямо здесь под руководством уважаемого Xaositect можно на двух стр. быстренько выучить теорию Галуа, не заморачиваясь на "мнгабукафф"? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 17:28 
Заслуженный участник


08/04/08
8519

(Brukvalub)

Brukvalub в сообщении #1049746 писал(а):
Зачем скачивать и читать такие сложные книги, если прямо здесь под руководством уважаемого Xaositect можно на двух стр. быстренько выучить теорию Галуа, не заморачиваясь на "мнгабукафф"? :D
Думаю, что вероятная причина - это "ниасилил". Я в свое время тоже сразу ниасилил - мне приходилось читать сначала краткие тексты о теории Галуа, потом тексты подлиннее или отдельные ее главы, а потом уже целиком или почти целиком, но я вот все равно ниасилил.
Т.е. м.б. это немного для мотивации, м.б. из желания ухватить общие контуры картины, чтобы потом легче ориентироваться.
ИМХО :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Valen007 в сообщении #1049735 писал(а):
Например, возьмем уравнение с корнями -1,-2,-3, 1, 2: $ (x+1)(x+2)(x+3)(x-1)(x-2)$.
Как можно узнать, если группа образованная этими корнями разрешима и какие перестановки есть в этой группе?
А вот для этого уже читайте книги из Вашего первого поста, например. Я просто объяснил на пальцах, в чем суть, а для того, чтобы нормально всем этим оперировать, надо расширения полей и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 18:14 


19/01/13
23
Sonic86 в сообщении #1049747 писал(а):

(Brukvalub)

Brukvalub в сообщении #1049746 писал(а):
Зачем скачивать и читать такие сложные книги, если прямо здесь под руководством уважаемого Xaositect можно на двух стр. быстренько выучить теорию Галуа, не заморачиваясь на "мнгабукафф"? :D
Думаю, что вероятная причина - это "ниасилил". Я в свое время тоже сразу ниасилил - мне приходилось читать сначала краткие тексты о теории Галуа, потом тексты подлиннее или отдельные ее главы, а потом уже целиком или почти целиком, но я вот все равно ниасилил.
Т.е. м.б. это немного для мотивации, м.б. из желания ухватить общие контуры картины, чтобы потом легче ориентироваться.
ИМХО :roll:


По этой причине я и задаю вопросы на форуме, чтобы сократить время, т.к. можно очень большое количество времени потратить на то, чтобы понять литературу по Галуа. Предположительно с объяснениями можно усвоить эту тему быстрее (возможно, в десятки или сотни раз быстрее). Т.е. вместо того чтобы затратить 500-1000 часов читая книгу, не лучше потратить 5-10 часов задавая вопросы. Время - деньги, как говорится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 18:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва

(Оффтоп)

Из той же оперы: как известно, беременность женщины длится 40 недель, то есть примерно 9 мес. Но, если хочется побыстрее завести детей, можно жениться сразу на 9-ти женщинах, и тогда они родят младенца всего через месяц! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 18:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Valen007 в сообщении #1049759 писал(а):
Предположительно с объяснениями можно усвоить эту тему быстрее (возможно, в десятки или сотни раз быстрее).
Опровергается наблюдениями и современными соображениями о работе мозга. К сожалению, в него нельзя уложить сразу много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 19:09 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
Valen007, какие из нижеперечисленных понятий Вам известны?:
Группа, поле, автоморфизм, расширение поля, нормальная подгруппа, циклическая группа, комплексные числа, корни из единицы, неприводимый многочлен, векторное пространство.
Просто, чтобы ориентироваться.

Valen007 в сообщении #1049759 писал(а):
По этой причине я и задаю вопросы на форуме, чтобы сократить время, т.к. можно очень большое количество времени потратить на то, чтобы понять литературу по Галуа. Предположительно с объяснениями можно усвоить эту тему быстрее (возможно, в десятки или сотни раз быстрее).
Можете поискать здесь темы по теории Галуа и посмотреть в книгах задачи по теории Галуа, порешать - дело пойдет быстрее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 19:22 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Sonic86 в сообщении #1049742 писал(а):
Уравнения чаще всего задаются над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

В теории Галуа в качестве основного поля выбирать $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ смысла не имеет - у первого всего одно алгебраическое расширение (с циклической группой второго порядка), а у второго их вообще нет. Обычно берут $\mathbb{Q}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 19:26 
Заслуженный участник


08/04/08
8519

(AV_77)

AV_77 в сообщении #1049767 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1049742 писал(а):
Уравнения чаще всего задаются над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

В теории Галуа в качестве основного поля выбирать $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ смысла не имеет - у первого всего одно алгебраическое расширение (с циклической группой второго порядка), а у второго их вообще нет. Обычно берут $\mathbb{Q}$.
Ага, вот ляп номер один :-)
Я хотел сказать, что коэффициенты у уравнений из $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Valen007 в сообщении #1049759 писал(а):
По этой причине я и задаю вопросы на форуме, чтобы сократить время, т.к. можно очень большое количество времени потратить на то, чтобы понять литературу по Галуа. Предположительно с объяснениями можно усвоить эту тему быстрее (возможно, в десятки или сотни раз быстрее). Т.е. вместо того чтобы затратить 500-1000 часов читая книгу, не лучше потратить 5-10 часов задавая вопросы. Время - деньги, как говорится.
В десятки или сотни раз вряд ли, ибо за Вас в Вашей голове никто образы создавать не будет. Но если Вы вопрос задавали для того, чтобы понять конкретику, тогда про мой ответ забудьте - он как раз ничего для понимания теории Галуа не дает, это просто попытка объяснить, как проходит доказательство теоремы Абеля, опустив все доказательство. Если хотите разобраться конкретно - давайте разбираться с техникой, что такое расширение, как определить группу Галуа, как уравнения связаны с расширениями полей, почему разрешимость определена именно так, и т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 20:58 
Аватара пользователя


04/12/10
115
Sonic86 в сообщении #1049742 писал(а):
И я вот блин забыл почему, но $\sigma(\alpha)$ - это тоже корень многочлена.

Просто потому что автоморфизм переводит ноль в ноль, а $\sigma$, мы договорились, оставляет коэффициенты многочлена на месте.
$0 = \sigma(0) = \sigma(a_n \alpha^n + \ldots + a_0) = \sigma(a_n \alpha^n) + \ldots + \sigma(a_0) = a_n \sigma(\alpha)^n + \ldots + a_0$

По теории Галуа мне очень понравилось изложение в Dummit, Foote "Abstract Algebra". Если знание английского позволяет, обязательно стоит заглянуть. Там, может, не самое короткое изложение, но сокращать его -- резать по живому -- при проработке по более короткому тексту всё равно придётся думать про всякое и придумывать примеры, и так описанные в книге. Несмотря на то, что теория Галуа в середине книги, она читаема и без чтения её первой половины. Тем более, про группы вы, как я понимаю, уже знаете что-то. Отсылки на теорию колец весьма редки и могут рассматриваться как техническая деталь доказательства, о которой можно либо тут спросить, либо по другой книжке посмотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 21:41 


19/01/13
23
Sonic86 в сообщении #1049766 писал(а):
Valen007, какие из нижеперечисленных понятий Вам известны?:
Группа, поле, автоморфизм, расширение поля, нормальная подгруппа, циклическая группа, комплексные числа, корни из единицы, неприводимый многочлен, векторное пространство.
Просто, чтобы ориентироваться.

Valen007 в сообщении #1049759 писал(а):
По этой причине я и задаю вопросы на форуме, чтобы сократить время, т.к. можно очень большое количество времени потратить на то, чтобы понять литературу по Галуа. Предположительно с объяснениями можно усвоить эту тему быстрее (возможно, в десятки или сотни раз быстрее).
Можете поискать здесь темы по теории Галуа и посмотреть в книгах задачи по теории Галуа, порешать - дело пойдет быстрее.


В общем-то мне все эти понятия известны, кроме неприводимого многочлена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 21:47 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
Valen007 в сообщении #1049816 писал(а):
В общем-то мне все эти понятия известны, кроме неприводимого многочлена.
Так Вы тогда можете брать книги и читать, вполне возможно, что Вы даже с 1-го или 2-го раза все осилите :-)
Неприводимый многочлен (в поле) - это просто многочлен, неразложимый в произведение многочленов положительной степени (с коэффициентами из этого поля) (как простое число).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 21:51 
Заслуженный участник


20/12/10
8271
Sonic86 в сообщении #1049818 писал(а):
Неприводимый многочлен (в поле)
Над полем $F$ или в кольце многочленов $F[x]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 21:52 
Заслуженный участник


08/04/08
8519

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1049819 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1049818 писал(а):
Неприводимый многочлен (в поле)
Над полем $F$ или в кольце многочленов $F[x]$.
Ладно, я воздержусь от формулировок.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group