2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Компактная последовательность в C1[a,b]
Сообщение31.03.2015, 09:01 


04/06/12
393
На всякий случай спрошу.
Задание: привести пример ограниченной, но некомпактной последовательности в пространстве $C^1 [a,b]$.
Норма, принятая в $C^1$: $\|f \|=\sup\limits_{[a,b]}|f|+\sup\limits_{[a,b]}|f'|$.
Но если множество по этой норме ограниченное, то значит, мн-ва функций и их производных равномерно ограниченны, что влечет равностепенную непрерывность, а по теореме Арцела эти свойства дают предкомпактность, что для последовательности означает ее компактность (в смысле термина "компактная последовательность"). Таким образом, не существует некомпактной ограниченной последовательности в $C^1[a,b]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная последовательность в C1[a,b]
Сообщение31.03.2015, 09:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Terraniux в сообщении #998361 писал(а):
На всякий случай спрошу.
Задание: привести пример ограниченной, но некомпактной последовательности в пространстве $C^1 [a,b]$.
Норма, принятая в $C^1$: $\|f \|=\sup\limits_{[a,b]}|f|+\sup\limits_{[a,b]}|f'|$.
Но если множество по этой норме ограниченное, то значит, мн-ва функций и их производных равномерно ограниченны, что влечет равностепенную непрерывность, а по теореме Арцела эти свойства дают предкомпактность...
"Предкомпактность" в топологии, порожденной какой метрикой/нормой? :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная последовательность в C1[a,b]
Сообщение31.03.2015, 11:53 


04/06/12
393
Brukvalub
Понял свою ошибку. Теорема Арцела даёт критерий пред компактности в пространстве с равномерной нормой, а у нас другое пространство. Пример нашелся : $ y_n =( \sin nx)/n$. Расстояние между различными элементами последовательности ограничено снизу величиной $1$, что влечёт отсутствие конечной $ \varepsilon-$сети для $\varepsilon < 1/2$.
Спасибо, Brukvalub.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная последовательность в C1[a,b]
Сообщение31.03.2015, 11:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вот и хорошо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group