Компактная последовательность в C1[a,b]

[Terraniux]

На всякий случай спрошу.
Задание: привести пример ограниченной, но некомпактной последовательности в пространстве $C^1 [a,b]$.
Норма, принятая в $C^1$: $\|f \|=\sup\limits_{[a,b]}|f|+\sup\limits_{[a,b]}|f'|$.
Но если множество по этой норме ограниченное, то значит, мн-ва функций и их производных равномерно ограниченны, что влечет равностепенную непрерывность, а по теореме Арцела эти свойства дают предкомпактность, что для последовательности означает ее компактность (в смысле термина "компактная последовательность"). Таким образом, не существует некомпактной ограниченной последовательности в $C^1[a,b]$.

[Brukvalub]

Terraniux в сообщении #998361 писал(а):

На всякий случай спрошу.
Задание: привести пример ограниченной, но некомпактной последовательности в пространстве $C^1 [a,b]$.
Норма, принятая в $C^1$: $\|f \|=\sup\limits_{[a,b]}|f|+\sup\limits_{[a,b]}|f'|$.
Но если множество по этой норме ограниченное, то значит, мн-ва функций и их производных равномерно ограниченны, что влечет равностепенную непрерывность, а по теореме Арцела эти свойства дают предкомпактность...

"Предкомпактность" в топологии, порожденной какой метрикой/нормой?

[Terraniux]

Brukvalub
Понял свою ошибку. Теорема Арцела даёт критерий пред компактности в пространстве с равномерной нормой, а у нас другое пространство. Пример нашелся : $ y_n =( \sin nx)/n$. Расстояние между различными элементами последовательности ограничено снизу величиной $1$, что влечёт отсутствие конечной $ \varepsilon-$сети для $\varepsilon < 1/2$.
Спасибо, Brukvalub.

[Brukvalub]

Вот и хорошо.