2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Компактная последовательность в C1[a,b]
Сообщение31.03.2015, 09:01 
На всякий случай спрошу.
Задание: привести пример ограниченной, но некомпактной последовательности в пространстве $C^1 [a,b]$.
Норма, принятая в $C^1$: $\|f \|=\sup\limits_{[a,b]}|f|+\sup\limits_{[a,b]}|f'|$.
Но если множество по этой норме ограниченное, то значит, мн-ва функций и их производных равномерно ограниченны, что влечет равностепенную непрерывность, а по теореме Арцела эти свойства дают предкомпактность, что для последовательности означает ее компактность (в смысле термина "компактная последовательность"). Таким образом, не существует некомпактной ограниченной последовательности в $C^1[a,b]$.

 
 
 
 Re: Компактная последовательность в C1[a,b]
Сообщение31.03.2015, 09:24 
Аватара пользователя
Terraniux в сообщении #998361 писал(а):
На всякий случай спрошу.
Задание: привести пример ограниченной, но некомпактной последовательности в пространстве $C^1 [a,b]$.
Норма, принятая в $C^1$: $\|f \|=\sup\limits_{[a,b]}|f|+\sup\limits_{[a,b]}|f'|$.
Но если множество по этой норме ограниченное, то значит, мн-ва функций и их производных равномерно ограниченны, что влечет равностепенную непрерывность, а по теореме Арцела эти свойства дают предкомпактность...
"Предкомпактность" в топологии, порожденной какой метрикой/нормой? :wink:

 
 
 
 Re: Компактная последовательность в C1[a,b]
Сообщение31.03.2015, 11:53 
Brukvalub
Понял свою ошибку. Теорема Арцела даёт критерий пред компактности в пространстве с равномерной нормой, а у нас другое пространство. Пример нашелся : $ y_n =( \sin nx)/n$. Расстояние между различными элементами последовательности ограничено снизу величиной $1$, что влечёт отсутствие конечной $ \varepsilon-$сети для $\varepsilon < 1/2$.
Спасибо, Brukvalub.

 
 
 
 Re: Компактная последовательность в C1[a,b]
Сообщение31.03.2015, 11:55 
Аватара пользователя
Вот и хорошо.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group