2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определение локально тривиального расслоения
Сообщение19.03.2015, 16:39 


19/03/15
291
Почему в определении (векторного) расслоения (Дубровин-...) фигурируют/вводятся
координаты прямого произведения, в то время как никаких координат не вводится, а вводится только структура локально прямого произведения. Как я понимаю координаты (числа) вводятся, чтобы сделать пр-во многообразием, а здесь (в версии-определении Дубровина-...) "картирующие отображения" перегоняют прямое произведение в точку тотального $E$; пр-во расслоения. Где здесь координаты? Будут потом? Как я вижу, некоторые авторы (Гриффитс-...) определяют картирующие наоброт: прообраз окрестности из тотального $E$ в прямое произведение. Дубровин - прямое произведение в прообраз окрестности. Я правильно понимаю, что это равносильно, поскольку и там и там речь идет о введении взаимно-однозначного морфизма? Вопрос, что обозначить? Локальное отображение или ему обратное?

Далее больше. Если мы имеем дело с локальной тривиальностью, то почему бы не объявить сразу, что топологические окрестности в тотальном пр-ве $E$ пусть будут множества вида прямых произведений $U \times F$
(база $\times$ слой). Тогда просто отпадает нужда городить огород в определении про вспомогательные картирующие отображения абстрактной точки из $E$ в пары $(P,F)$? Я например не могу вообразить, чтобы при заданной проекции $\pi$, потом в согласии с ней строить окрестности (топологию) в $E$, НЕ ЯВЛЯЮЩИМИСЯ прямыми произведениями? Это же вроде не возможно...? Зачем вводить бесполезный картирующий изоморфизм, который исчезнет сразу, как только закончится определение. Поясняю еще на примере. Вводить координатные отображения $x=f(p)$ на мн-ве, чтобы сделать его многообразием нужно лишь постольку поскольку. Они - эти функции $f(p)$ - нигде далее не работают. Функциональную нагрузку несут только переходы между одной $f_1$ и другой $f_2$. Т.е. мы оперируем только функциями $F:\quad x' = F(x)$, а про "строительные леса" типа $f_1, f_2$ можно забыть. Аналогично и в расслоении. К чему нужны картирующие отображения?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.03.2015, 16:41 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.03.2015, 17:06 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение локально тривиального расслоения
Сообщение20.03.2015, 02:48 


29/08/13
282
Если я правильно Вас понял...
maximav в сообщении #992532 писал(а):
в то время как никаких координат не вводится

Они вводятся через координаты на прямом произведении (там-то они уже фактически есть).
maximav в сообщении #992532 писал(а):
Далее больше. Если мы имеем дело с локальной тривиальностью, то почему бы не объявить сразу, что топологические окрестности в тотальном пр-ве $E$ пусть будут множества вида прямых произведений $U \times F$

Прямое произведение всей базы и слоя может быть и не открытым, например. Но можно выбрать базу топологии на базе расслоения, такую что база топологии тотального пространства будет состоять из прямых произведений элементов баз топологий на базе расслоения и в слое.
maximav в сообщении #992532 писал(а):
Если мы имеем дело с локальной тривиальностью, то почему бы не объявить сразу, что топологические окрестности в тотальном пр-ве $E$ пусть будут множества вида прямых произведений $U \times F$
(база $\times$ слой)

В тотальном пространстве действительно есть окрестности, не распадающиеся в прямое произведение окрестностей из базы и слоя.

Это если я ничего не напутал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение локально тривиального расслоения
Сообщение20.03.2015, 08:06 


19/03/15
291
Я имел в виду, что база топологии на тотальном $E$ состряпана из локальных прямых произведений $U\times F$, но в самой топологии конечно присутствуют и их пересечения-объединения; как положено топологии. У Дубровин-... видим $U_\alpha\times F$ для базовой окрестности в тотальном $E$. Я это понимаю лишь как объявление структуры, но координат здесь нет никаких. Даже если было бы написано $U_\alpha\times \mathbb{C}^k$ (Гриффитс-...), то это "лучше", но все-таки тоже не до конца, как-бы наполовину: слой перегнали в числа $\mathbb{C}^k$, но остается абстрактная точка из $U_\alpha$. Все-таки вопрос о введении, как мне кажется никчемных, картирующих изоморфизмов в локальные прямые произведения остается открытым. Можно ли построить топологию на тотальном $E$, чтобы она не была локально прямым произведением, но при этом была совместна с топологией базы и проекцией $\pi$? Мне сдается, что это не возможно... тогда и снова вопрос: зачем картирующие изоморфизмы в $U\times F$, если других там просто быть не может?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение локально тривиального расслоения
Сообщение20.03.2015, 21:38 


29/08/13
282
VanD в сообщении #992856 писал(а):
Но можно выбрать базу топологии на базе расслоения, такую что база топологии тотального пространства будет состоять из прямых произведений элементов баз топологий на базе расслоения и в слое.

Это я наврал. Касательное расслоение может быть нетривиальным. Так что момент с определением топологии сразу через введение координат при помощи координат на базе - существенен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение локально тривиального расслоения
Сообщение21.03.2015, 17:29 


19/03/15
291
Я нашел еще, тоже аналогичное и корявое, определение. У Мищенко в книжке по расслоениям. Практически такое же, как и Дубровин-Новиков на стр. 596 (2е изд, (1986)). Я бы хотел уточнить свой последний вопрос, выделенный жирным. Возможно ли расслоение с типичным слоем $F$ и проекцией $\pi$, но такое, чтобы в базе топологии на тотальном $E$ присутствовали бы подмножества, включающие прообразы разных точек с базы? Пока в упор не могу отделаться от предчувствия, что это просто невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение локально тривиального расслоения
Сообщение21.03.2015, 18:44 


29/08/13
282
maximav в сообщении #992910 писал(а):
тогда и снова вопрос: зачем картирующие изоморфизмы в $U\times F$, если других там просто быть не может?

Думаю дело в том, что без этого не понятно, что именно называть касательным расслоением. Их было бы несколько кандидатов.
maximav в сообщении #993651 писал(а):
Возможно ли расслоение с типичным слоем $F$ и проекцией $\pi$, но такое, чтобы в базе топологии на тотальном $E$ присутствовали бы подмножества, включающие прообразы разных точек с базы?

В общем, я могу предложить Вам посмотреть на ленту Мёбиуса и касательное расслоение к ней: $TM^2$. Оно не диффеоморфно прямому произведению $M^2 \times \mathbb{R}^2$ так как оно ориентируемо (как и всякое касательное расслоение), но $M^2 \times \mathbb{R}^2$ не ориентируемо. А задавая базу топологии на пространстве расслоения через прямое произведение баз, можно получить только топологию прямого произведения, насколько я понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение локально тривиального расслоения
Сообщение21.03.2015, 22:06 


19/03/15
291
Нет-нет. Речь идет исключительно о локальном строении тотального пр-ва. Т.е.ттлько про то, что присутствует в определении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение локально тривиального расслоения
Сообщение24.03.2015, 12:39 


19/03/15
291
Кажется придумал кратчайшую формулировку вопроса. Берем абстрактное расслоение с (типичным) слоем $F$. Проекция - естественная. База фиксирована, ее топология тоже. Возможно ли, чтобы это расслоение было НЕ локально тривиальным?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group