Определение локально тривиального расслоения

[maximav]

Почему в определении (векторного) расслоения (Дубровин-...) фигурируют/вводятся
координаты прямого произведения, в то время как никаких координат не вводится, а вводится только структура локально прямого произведения. Как я понимаю координаты (числа) вводятся, чтобы сделать пр-во многообразием, а здесь (в версии-определении Дубровина-...) "картирующие отображения" перегоняют прямое произведение в точку тотального $E$; пр-во расслоения. Где здесь координаты? Будут потом? Как я вижу, некоторые авторы (Гриффитс-...) определяют картирующие наоброт: прообраз окрестности из тотального $E$ в прямое произведение. Дубровин - прямое произведение в прообраз окрестности. Я правильно понимаю, что это равносильно, поскольку и там и там речь идет о введении взаимно-однозначного морфизма? Вопрос, что обозначить? Локальное отображение или ему обратное?

Далее больше. Если мы имеем дело с локальной тривиальностью, то почему бы не объявить сразу, что топологические окрестности в тотальном пр-ве $E$ пусть будут множества вида прямых произведений $U \times F$
(база $\times$ слой). Тогда просто отпадает нужда городить огород в определении про вспомогательные картирующие отображения абстрактной точки из $E$ в пары $(P,F)$? Я например не могу вообразить, чтобы при заданной проекции $\pi$, потом в согласии с ней строить окрестности (топологию) в $E$, НЕ ЯВЛЯЮЩИМИСЯ прямыми произведениями? Это же вроде не возможно...? Зачем вводить бесполезный картирующий изоморфизм, который исчезнет сразу, как только закончится определение. Поясняю еще на примере. Вводить координатные отображения $x=f(p)$ на мн-ве, чтобы сделать его многообразием нужно лишь постольку поскольку. Они - эти функции $f(p)$ - нигде далее не работают. Функциональную нагрузку несут только переходы между одной $f_1$ и другой $f_2$. Т.е. мы оперируем только функциями $F:\quad x' = F(x)$, а про "строительные леса" типа $f_1, f_2$ можно забыть. Аналогично и в расслоении. К чему нужны картирующие отображения?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[VanD]

Если я правильно Вас понял...

maximav в сообщении #992532 писал(а):

в то время как никаких координат не вводится

Они вводятся через координаты на прямом произведении (там-то они уже фактически есть).

maximav в сообщении #992532 писал(а):

Далее больше. Если мы имеем дело с локальной тривиальностью, то почему бы не объявить сразу, что топологические окрестности в тотальном пр-ве $E$ пусть будут множества вида прямых произведений $U \times F$

Прямое произведение всей базы и слоя может быть и не открытым, например. Но можно выбрать базу топологии на базе расслоения, такую что база топологии тотального пространства будет состоять из прямых произведений элементов баз топологий на базе расслоения и в слое.

maximav в сообщении #992532 писал(а):

Если мы имеем дело с локальной тривиальностью, то почему бы не объявить сразу, что топологические окрестности в тотальном пр-ве $E$ пусть будут множества вида прямых произведений $U \times F$
(база $\times$ слой)

В тотальном пространстве действительно есть окрестности, не распадающиеся в прямое произведение окрестностей из базы и слоя.

Это если я ничего не напутал.

[maximav]

Я имел в виду, что база топологии на тотальном $E$ состряпана из локальных прямых произведений $U\times F$, но в самой топологии конечно присутствуют и их пересечения-объединения; как положено топологии. У Дубровин-... видим $U_\alpha\times F$ для базовой окрестности в тотальном $E$. Я это понимаю лишь как объявление структуры, но координат здесь нет никаких. Даже если было бы написано $U_\alpha\times \mathbb{C}^k$ (Гриффитс-...), то это "лучше", но все-таки тоже не до конца, как-бы наполовину: слой перегнали в числа $\mathbb{C}^k$, но остается абстрактная точка из $U_\alpha$. Все-таки вопрос о введении, как мне кажется никчемных, картирующих изоморфизмов в локальные прямые произведения остается открытым. Можно ли построить топологию на тотальном $E$, чтобы она не была локально прямым произведением, но при этом была совместна с топологией базы и проекцией $\pi$? Мне сдается, что это не возможно... тогда и снова вопрос: зачем картирующие изоморфизмы в $U\times F$, если других там просто быть не может?

[VanD]

VanD в сообщении #992856 писал(а):

Но можно выбрать базу топологии на базе расслоения, такую что база топологии тотального пространства будет состоять из прямых произведений элементов баз топологий на базе расслоения и в слое.

Это я наврал. Касательное расслоение может быть нетривиальным. Так что момент с определением топологии сразу через введение координат при помощи координат на базе - существенен.

[maximav]

Я нашел еще, тоже аналогичное и корявое, определение. У Мищенко в книжке по расслоениям. Практически такое же, как и Дубровин-Новиков на стр. 596 (2е изд, (1986)). Я бы хотел уточнить свой последний вопрос, выделенный жирным. Возможно ли расслоение с типичным слоем $F$ и проекцией $\pi$, но такое, чтобы в базе топологии на тотальном $E$ присутствовали бы подмножества, включающие прообразы разных точек с базы? Пока в упор не могу отделаться от предчувствия, что это просто невозможно.

[VanD]

maximav в сообщении #992910 писал(а):

тогда и снова вопрос: зачем картирующие изоморфизмы в $U\times F$, если других там просто быть не может?

Думаю дело в том, что без этого не понятно, что именно называть касательным расслоением. Их было бы несколько кандидатов.

maximav в сообщении #993651 писал(а):

Возможно ли расслоение с типичным слоем $F$ и проекцией $\pi$, но такое, чтобы в базе топологии на тотальном $E$ присутствовали бы подмножества, включающие прообразы разных точек с базы?

В общем, я могу предложить Вам посмотреть на ленту Мёбиуса и касательное расслоение к ней: $TM^2$. Оно не диффеоморфно прямому произведению $M^2 \times \mathbb{R}^2$ так как оно ориентируемо (как и всякое касательное расслоение), но $M^2 \times \mathbb{R}^2$ не ориентируемо. А задавая базу топологии на пространстве расслоения через прямое произведение баз, можно получить только топологию прямого произведения, насколько я понимаю.

[maximav]

Нет-нет. Речь идет исключительно о локальном строении тотального пр-ва. Т.е.ттлько про то, что присутствует в определении.

[maximav]

Кажется придумал кратчайшую формулировку вопроса. Берем абстрактное расслоение с (типичным) слоем $F$. Проекция - естественная. База фиксирована, ее топология тоже. Возможно ли, чтобы это расслоение было НЕ локально тривиальным?