Гомеоморфность проективных пространств сферам

[Hasek]

GDTD в сообщении #994092 писал(а):

Гомеоморфизм между $\mathbb CP^1$ и $S^2$ описан в книге С.П. Новиков, И.А. Тайманов "Современные геометрические структуры и поля", стр. 139.

Спасибо за рекомендацию! Ознакомился с книгой, сохранил себе на будущее, но доказательство, увы, воспринять не смог. Мне показалось, что это своего рода "стрельба из пушки по воробьям" -- учебная задачка по основам топологии может и должна решаться в более простых словах.

Evgenjy в сообщении #994115 писал(а):

Рассмотрите окружность; пучок прямых, проходящих через ее центр; и еще одну окружность, проходящую через центр первой окружности.

Рассмотрим такую конструкцию. Чтобы задать проходящую через $0$ прямую в $\mathbb{C}P^1$ достаточно указать любую точку, отличную от нуля, лежащую на ней. Точку, лежащую на комплексной плоскости, можно представить себе, как имеющую две вещественные координаты (реальную и мнимую). Пусть мы уже знаем, что \mathbb{R}P^1$ гомеоморфно $S^1$. Тогда мы умеем строить гомеоморфизм между прямой и первой окружностью, а однозначность отображения на другую окружность очевидна, поскольку прямая пересекает её лишь в одной точке, отличной от центра (нуля) другой окружности. Это правильное рассуждение?

[Nemiroff]

Hasek в сообщении #994330 писал(а):

Это правильное рассуждение?

Я не уловил вашей мысли. А почему тогда $\mathbb RP^2$ не гомеоморфно сфере?

[GDTD]

Hasek в сообщении #994330 писал(а):

доказательство, увы, воспринять не смог. Мне показалось, что это своего рода "стрельба из пушки по воробьям" -- учебная задачка по основам топологии может и должна решаться в более простых словах.

Что конкретно не получается понять? В книге на $S^2$ строятся две карты с координатами $z_+$ и $z_-$, функция склейки есть $z_+=\frac{1}{z_-}$. В свою очередь $\mathbb CP^1$ покрывается двумя картами с точно такой же функцией склейки. Диффеоморфизм очевиден, проще некуда.

[Hasek]

Nemiroff в сообщении #994331 писал(а):

Hasek в сообщении #994330 писал(а):

Это правильное рассуждение?

Я не уловил вашей мысли. А почему тогда $\mathbb RP^2$ не гомеоморфно сфере?

Я ошибался. Это было непродуманное утверждение.

GDTD в сообщении #994337 писал(а):

Что конкретно не получается понять? В книге на $S^2$ строятся две карты с координатами $z_+$ и $z_-$, функция склейки есть $z_+=\frac{1}{z_-}$. В свою очередь $\mathbb CP^1$ покрывается двумя картами с точно такой же функцией склейки. Диффеоморфизм очевиден, проще некуда.

К сожалению, мне пока просто не знаком этот язык. Я только приступаю к изучению топологии и, например, даже не знал, что такое диффеоморфизм (прочитав определение, конечно, стало понятно, что из него следует гомеоморфизм, т.к. если отображение гладкое, то оно заведомо непрерывное). Я не знаю, что такое атласы и карты. Пролистываю в "примеры: двумерная сфера" чтобы понять, почему она покрывается этими областями, там идёт ссылка на теорему, которая доказывалась значительно раньше, открыв которую, снова не прояснилось. В общем, это похоже на хорошее доказательство (так как оно короткое), но для чуть более подготовленного читателя.

kp9r4d в сообщении #993840 писал(а):

Не знаю как насчёт рассмотрения отдельно вещественной и мнимой части, но вы попробуйте сделать так. Любой комплексной прямой, кроме одной (какой именно?) соответствует линейная функция $y=\lambda x$. То есть все комплексные прямые, проходящие через $0$, без той одной особенной, гомеоморфно отображаются на $\mathbb{C}$. Пополним $\mathbb{C}$ каким-нибудь элементом, назовём его $\psi$. Каким образом надо определить окрестности $\psi$ чтобы $\mathbb{C}P^1$ гомеоморфно отображалось на $\mathbb{C} \cup \{\psi\}$, при этом та одна особенная отображалась как раз в $\psi$?

Кажется, я только сейчас понял, на что вы намекали. :) Можно ведь просто напросто установить однозначное соответствие между точками $S^2$ и $\mathbb{C}^2$ при помощи стереографической проекции (пусть верхний полюс сферы находится над нулём плоскости)! Делаем стереографическую проекцию точки сферы на комплексную плоскость, получаем некую точку, проводим через неё и нуль прямую и получаем прямую в $\mathbb{C}P^1$.

Теперь разобрался. Большое спасибо всем отвечавшим за подсказки!

[Nemiroff]

Hasek в сообщении #994344 писал(а):

между точками $S^2$ и $\mathbb{C}^2$

Почему $\mathbb{C}^2$? $\mathbb{C}^1$

[Hasek]

Nemiroff в сообщении #994345 писал(а):

Hasek в сообщении #994344 писал(а):

между точками $S^2$ и $\mathbb{C}^2$

Почему $\mathbb{C}^2$? $\mathbb{C}^1$

Потому что я делаю проекцию двумерной сферы $S^2$ на комплексную плоскость $\mathbb{C}^2$. А $\mathbb{C}P^1$ как раз живёт в $\mathbb{C}^2$.

[Nemiroff]

Hasek в сообщении #994344 писал(а):

пусть верхний полюс сферы находится над нулём плоскости

"Плоскость" --- это не плоскость. Это $\mathbb{C}^1$, потому что это просто множество комплексных чисел. А $\mathbb{C}^2$ --- это множество пар комплексных чисел.

[GDTD]

Hasek в сообщении #994344 писал(а):

Я не знаю, что такое атласы и карты. Пролистываю в "примеры: двумерная сфера" чтобы понять, почему она покрывается этими областями, там идёт ссылка на теорему, которая доказывалась значительно раньше, открыв которую, снова не прояснилось. В общем, это похоже на хорошее доказательство (так как оно короткое), но для чуть более подготовленного читателя.

Если хотите решить задачу "в лоб", придумайте явную формулу для отображения $f\colon\mathbb CP^1\to\mathbb R^3$. Куда нужно отправить $[z_0\colon z_1]$, чтоб получился гомеоморфизм на сферу? Это можно сделать.

Цитата:

Кажется, я только сейчас понял, на что вы намекали. :) Можно ведь просто напросто установить однозначное соответствие между точками $S^2$ и $\mathbb{C}^2$ при помощи стереографической проекции.

Стереографическая проекция устанавливает соответствие между точками плоскости $\mathbb R^2$ (или $\mathbb C^1$) и сферой $S^2$ с выколотой точкой. Кроме того, говорить "однозначное соответствие" некорректно.

[Hasek]

GDTD в сообщении #994348 писал(а):

Hasek в сообщении #994344 писал(а):

Я не знаю, что такое атласы и карты. Пролистываю в "примеры: двумерная сфера" чтобы понять, почему она покрывается этими областями, там идёт ссылка на теорему, которая доказывалась значительно раньше, открыв которую, снова не прояснилось. В общем, это похоже на хорошее доказательство (так как оно короткое), но для чуть более подготовленного читателя.

Если хотите решить задачу "в лоб", придумайте явную формулу для отображения $f\colon\mathbb CP^1\to\mathbb R^3$. Куда нужно отправить $[z_0\colon z_1]$, чтоб получился гомеоморфизм на сферу? Это можно сделать.

Кажется, придумал. Пусть задана точка с комплексными координатами $[z_0 : z_1]$. Тогда точка с координатами $(z_0 \bar z_0, z_1 \bar z_1, \sqrt{1 - z_0 \bar z_0 - z_1 \bar z_1})$ уже будет лежать на сфере $S^2$. Так как однородные координаты определены с точностью до пропорциональности, всегда можно привести их к такому виду, чтобы корень давал вещественное значение.

[GDTD]

Hasek в сообщении #994411 писал(а):

точка с координатами $(z_0 \bar z_0, z_1 \bar z_1, \sqrt{1 - z_0 \bar z_0 - z_1 \bar z_1})$ уже будет лежать на сфере $S^2$.

Нет. Сумма квадратов полученных координат не равна константе. Кроме того, координаты не инвариантны относительно умножения $z_0$ и $z_1$ на произвольное $\lambda$

[Hasek]

GDTD в сообщении #994451 писал(а):

Hasek в сообщении #994411 писал(а):

точка с координатами $(z_0 \bar z_0, z_1 \bar z_1, \sqrt{1 - z_0 \bar z_0 - z_1 \bar z_1})$ уже будет лежать на сфере $S^2$.

Нет. Сумма квадратов полученных координат не равна константе. Кроме того, координаты не инвариантны относительно умножения $z_0$ и $z_1$ на произвольное $\lambda$

То есть, имелось в виду, конечно же, $(z_0 \bar z_0, z_1 \bar z_1, \sqrt{1 - (z_0 \bar z_0)^2 - (z_1 \bar z_1)^2})$. Не перечитал сообщение после набора и не заметил ошибку, виноват. Не совсем понял про инвариантность относительное умножения на $\lambda$. Проективные координаты ведь инвариантны относительного этого? Вот их и можно "подправить", если изначально корень не получается вещественным, а потом уже применить такое отображение, которое переведёт их в три координаты, сумма квадратов которых равна единице, то есть они лежат на сфере единичного радиуса.

[GDTD]

Hasek в сообщении #994456 писал(а):

Не совсем понял про инвариантность относительное умножения на $\lambda$. Проективные координаты ведь инвариантны относительного этого? Вот их и можно "подправить", если изначально корень не получается вещественным, а потом уже применить такое отображение, которое переведёт их в три координаты, сумма квадратов которых равна единице, то есть они лежат на сфере единичного радиуса.

Возьмите пару $z_0,z_1$. Она перейдет по вашей формуле в какую-то точку на сфере. Теперь возьмите пару $\lambda z_0,\lambda z_1$. Она перейдет уже в другую точку на сфере. Но на $\mathbb CP^1$ обе эти пары изображают одну и ту же точку, поэтому построенное вами отображение некорректно определено. Допустим, вы построили искомое отображение и оно задано формулами $x_i(z_0,z_1)$, $i=1,2,3$. Инвариантность относительно умножения на $\lambda$ означает, что $x_i(z_0,z_1)=x_i(\lambda z_0,\lambda z_1)$. Ивариантность нужна, чтобы отображение было корретно опрделено.

[Hasek]

GDTD в сообщении #994476 писал(а):

Hasek в сообщении #994456 писал(а):

Не совсем понял про инвариантность относительное умножения на $\lambda$. Проективные координаты ведь инвариантны относительного этого? Вот их и можно "подправить", если изначально корень не получается вещественным, а потом уже применить такое отображение, которое переведёт их в три координаты, сумма квадратов которых равна единице, то есть они лежат на сфере единичного радиуса.

Возьмите пару $z_0,z_1$. Она перейдет по вашей формуле в какую-то точку на сфере. Теперь возьмите пару $\lambda z_0,\lambda z_1$. Она перейдет уже в другую точку на сфере. Но на $\mathbb CP^1$ обе эти пары изображают одну и ту же точку, поэтому построенное вами отображение некорректно определено. Допустим, вы построили искомое отображение и оно задано формулами $x_i(z_0,z_1)$, $i=1,2,3$. Инвариантность относительно умножения на $\lambda$ означает, что $x_i(z_0,z_1)=x_i(\lambda z_0,\lambda z_1)$. Ивариантность нужна, чтобы отображение было корретно опрделено.

Обозначим $\frac{z_0}{z_1} = x_1$ и $\frac{z_1}{z_0} = x_2$. Тогда $f: [z_0 : z_1] \rightarrow (x_1 \bar x_1, x_2 \bar x_2, \sqrt{1 - (x_1 \bar x_1)^2 - (x_2 \bar x_2)^2})$.

[GDTD]

Hasek в сообщении #994518 писал(а):

Обозначим $\frac{z_0}{z_1} = x_1$ и $\frac{z_1}{z_0} = x_2$. Тогда $f: [z_0 : z_1] \rightarrow (x_1 \bar x_1, x_2 \bar x_2, \sqrt{1 - (x_1 \bar x_1)^2 - (x_2 \bar x_2)^2})$.

Тоже не годится. Если $z_0$ или $z_1$ равно нулю, то отображение не определено.

[Hasek]

$f : [z_0 : z_1 ] \rightarrow (\frac{z_0 \bar z_0}{\mid z_0 \mid^2}, \frac{z_1 \bar z_1}{\mid z_1 \mid^2}, \sqrt{1 - (\frac{z_0 \bar z_0}{\mid z_0 \mid^2})^2 - (\frac{z_1 \bar z_1}{\mid z_1 \mid^2})^2})$