Гомеоморфность проективных пространств сферам

[Hasek]

Я снова не прав. Когда одна из координат равна нулю, отображение не определено.

[Hasek]

Вчера хотел было уже предложить отображение, переводящее $\mathbb{C}P^1$ в $S^2$, в виде $f: [z_0 : z_1] \rightarrow (\frac{\mid z_0 \mid^2}{\mid z_0 \mid^2 + \mid z_1 \mid^2}, \frac{\mid z_1 \mid^2}{\mid z_0 \mid^2 + \mid z_1 \mid^2}, \sqrt{1 - (\frac{\mid z_0 \mid^2}{\mid z_0 \mid^2 + \mid z_1 \mid^2})^2 - (\frac{\mid z_1 \mid^2}{\mid z_0 \mid^2 + \mid z_1 \mid^2})^2})$, лишённое проблем с непрерывностью и инвариантное относительно умножение на вещественное $\lambda$, отличное от нуля, но тут заметил, что по такой формуле будут получаться лишь положительные координаты, следовательно, это не вся сфера. Тогда становится непонятным, как написать явную формулу гомеоморфизма, ведь умножение на комплексно сопряжённое или взятие модуля дают лишь положительные вещественные числа. Может ли ещё кто-то дать подсказки? Как тогда доказать гомеоморфность \mathbb{C}P^1$ и $S^2$ без явного выписывания формулы?

[Nemiroff]

Hasek в сообщении #995722 писал(а):

Как тогда доказать гомеоморфность \mathbb{C}P^1$ и $S^2$ без явного выписывания формулы?

Ну стереографическая проекция же.

Hasek в сообщении #995722 писал(а):

лишь положительные координаты, следовательно, это не вся сфера

Безотносительно к вашей формуле: а зачем сфере иметь отрицательные координаты хоть какой-то точки?

[Hasek]

Nemiroff в сообщении #995790 писал(а):

Hasek в сообщении #995722 писал(а):

Как тогда доказать гомеоморфность \mathbb{C}P^1$ и $S^2$ без явного выписывания формулы?

Ну стереографическая проекция же.

Hasek в сообщении #995722 писал(а):

лишь положительные координаты, следовательно, это не вся сфера

Безотносительно к вашей формуле: а зачем сфере иметь отрицательные координаты хоть какой-то точки?

1. Про стереографическую проекцию уже была мысль ранее в этой теме, но ведь она отображает сферу на плоскость $\mathbb{C}^1$ и при этом не даёт отображение верхнего полюса сферы.
2. И вправду, это ведь не принципиально. Я по привычке думал о сфере с центром в начале координат, но он там быть совсем не обязан. :) Ведь сфера определяется только тем, что сумма квадратов её координат равна константе, больше никаких требований не накладывается.

[Nemiroff]

Hasek в сообщении #996222 писал(а):

но ведь она отображает сферу на плоскость $\mathbb{C}^1$ и при этом не даёт отображение верхнего полюса сферы.

Ну так и проективная плоскость — это не совсем $\mathbb{C}^1$.