Гомеоморфность проективных пространств сферам

[Hasek]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться, почему $\mathbb{R}P^1$ гомеоморфно $S^1$ и $\mathbb{C}P^1$ гомеоморфно $S^2$.
Доказать, что гомеоморфно -- значит указать однозначное и непрерывное в обе стороны отображение, но я такое придумать самостоятельно пока не смог. Стал искать в учебниках и нашёл в книжке Виро, Иванова, Нецветаева и Харламова "Элементарная топология" следующее решение для первого случая:

Честно говоря, я его не понимаю. Можете, пожалуйста, как-то его прокомментировать или же помочь самому придумать гомеоморфизмы для вещественной и комплексной проективной прямой на сферы?

[kp9r4d]

А какие у вас определения $\mathbb{R}P^1$ и $\mathbb{C}P^1$?

[Hasek]

kp9r4d в сообщении #993731 писал(а):

А какие у вас определения $\mathbb{R}P^1$ и $\mathbb{C}P^1$?

$\mathbb{R}P^n (\mathbb{C}P^n)$ определяется как множество проходящих через $0$ прямых в $\mathbb{R}^{n+1} (\mathbb{C}^{n+1})$.
В принципе, знаю ещё, что $\mathbb{R}P^1$ можно получить из $S^1$ отождествлением диаметрально противоположных точек, это достаточно наглядно и понятно.

[kp9r4d]

Hasek в сообщении #993743 писал(а):

В принципе, знаю ещё, что $\mathbb{R}P^1$ можно получить из $S^1$ отождествлением диаметрально противоположных точек, это достаточно наглядно и понятно.

Ну например так. Хорошо, вот у нас есть окружность, диаметрально противоположные точки на ней "склеены". То есть чтобы представить $\mathbb{R}P^1$ достаточно взять половинку окружности, крайние точки этой половинки склеены (они ведь диамтерально противоположны?), чем сиё бы могло быть? :3

[Brukvalub]

Hasek в сообщении #993713 писал(а):

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться, почему $\mathbb{R}P^1$ гомеоморфно $S^1$...

Нельзя корректно доказать ложное утверждение.

[kp9r4d]

Вы уверены? Вот тут написано например следующее:

Цитата:

the real projective line is a homogeneous space, in fact homeomorphic to a circle.

[Hasek]

kp9r4d в сообщении #993748 писал(а):

Hasek в сообщении #993743 писал(а):

В принципе, знаю ещё, что $\mathbb{R}P^1$ можно получить из $S^1$ отождествлением диаметрально противоположных точек, это достаточно наглядно и понятно.

Ну например так. Хорошо, вот у нас есть окружность, диаметрально противоположные точки на ней "склеены". То есть чтобы представить $\mathbb{R}P^1$ достаточно взять половинку окружности, крайние точки этой половинки склеены (они ведь диамтерально противоположны?), чем сиё бы могло быть? :3

Тогда через каждую точку этой полуокружности и $0$ (пусть он лежит в центре рассматриваемой окружности) можно провести прямую, появится взаимно-однозначное соответствие между точками полуокружности и прямыми $\mathbb{R}P^1$. Но если я строю гомеоморфизм из $S^1$, то должен устанавливать соответствия с точками всей окружности, а не только её половины? Пока, в моём понимании, это гомеоморфизм между полу-$S^1$ (не знаю, как обозначить) и $\mathbb{R}P^1$. А как раз в случае всей окружности однозначности нет из-за диаметрально противоположных точек. И как можно показать, что такое соответствие непрерывно? Это понятно из интуитивных соображений (чуть-чуть пошевелил точку на полуокружности -- чуть-чуть сменилась и прямая), но непонятно, как провести формальное обоснование.

Brukvalub в сообщении #993754 писал(а):

Hasek в сообщении #993713 писал(а):

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться, почему $\mathbb{R}P^1$ гомеоморфно $S^1$...

Нельзя корректно доказать ложное утверждение.

Это достаточно общеизвестное утверждение. Я уже писал в стартовом сообщении, например, что его можно уточнить в книжке "Элементарная топология", также такое упражнение встречается в "Курсе гомотопической топологии" Фоменко и Фукса.

[kp9r4d]

Hasek в сообщении #993777 писал(а):

полу-$S^1$

А вы постройте гомеоморфизм между полу-$S^1$ (с отождествлёнными концами) и $S^1$.

[Nemiroff]

Hasek в сообщении #993777 писал(а):

Пока, в моём понимании, это гомеоморфизм между полу-$S^1$ (не знаю, как обозначить) и $\mathbb{R}P^1$.

Ну да. Но есть же возведение в квадрат.

[Brukvalub]

Виноват, утверждение все-таки верное.

[Hasek]

kp9r4d в сообщении #993781 писал(а):

Hasek в сообщении #993777 писал(а):

полу-$S^1$

А вы постройте гомеоморфизм между полу-$S^1$ (с отождествлёнными концами) и $S^1$.

А, кажется, понял -- это как раз отображение $z \rightarrow z^2$ (потому что при возведении в квадрат $z$ и $-z$ переходят в одну точку $z^2$), о котором и говорится в прикреплённом мной доказательстве из учебника.
А как быть с $\mathbb{C}P^1$? Кажется, что двумерная сфера должна получаться из-за рассмотрения реальной и мнимой частей в отдельности. Это так?

[kp9r4d]

Hasek в сообщении #993824 писал(а):

А как быть с $\mathbb{C}P^1$? Кажется, что двумерная сфера должна получаться из-за рассмотрения реальной и мнимой частей в отдельности. Это так?

Не знаю как насчёт рассмотрения отдельно вещественной и мнимой части, но вы попробуйте сделать так. Любой комплексной прямой, кроме одной (какой именно?) соответствует линейная функция $y=\lambda x$. То есть все комплексные прямые, проходящие через $0$, без той одной особенной, гомеоморфно отображаются на $\mathbb{C}$. Пополним $\mathbb{C}$ каким-нибудь элементом, назовём его $\psi$. Каким образом надо определить окрестности $\psi$ чтобы $\mathbb{C}P^1$ гомеоморфно отображалось на $\mathbb{C} \cup \{\psi\}$, при этом та одна особенная отображалась как раз в $\psi$?

[Hasek]

kp9r4d в сообщении #993840 писал(а):

Hasek в сообщении #993824 писал(а):

А как быть с $\mathbb{C}P^1$? Кажется, что двумерная сфера должна получаться из-за рассмотрения реальной и мнимой частей в отдельности. Это так?

Не знаю как насчёт рассмотрения отдельно вещественной и мнимой части, но вы попробуйте сделать так. Любой комплексной прямой, кроме одной (какой именно?) соответствует линейная функция $y=\lambda x$. То есть все комплексные прямые, проходящие через $0$, без той одной особенной, гомеоморфно отображаются на $\mathbb{C}$. Пополним $\mathbb{C}$ каким-нибудь элементом, назовём его $\psi$. Каким образом надо определить окрестности $\psi$ чтобы $\mathbb{C}P^1$ гомеоморфно отображалось на $\mathbb{C} \cup \{\psi\}$, при этом та одна особенная отображалась как раз в $\psi$?

Как я это понимаю:
Рассматриваем комплексную плоскость $\mathbb{C}^2$. Пусть $x$ -- вещественная часть точки $z$, $\lambda$ -- некий коэффициент пропорциональности (по факту равный отношению $\frac{\operatorname{Im} z}{\operatorname{Re} z}$), таким образом мы однозначно задаём прямую из $\mathbb{C}P^1$ (потому что по двум точкам однозначно задаётся прямая). Так можно получить все прямые, кроме мнимой оси $\operatorname{Re} z=0$. Не очень понимаю, что значит

kp9r4d в сообщении #993840 писал(а):

Каким образом надо определить окрестности $\psi$ чтобы $\mathbb{C}P^1$ гомеоморфно отображалось на $\mathbb{C} \cup \{\psi\}$, при этом та одна особенная отображалась как раз в $\psi$?

Хочется сказать, что при $\lambda \rightarrow \infty$ прямая должна стремиться к $\psi$.

[GDTD]

Когда требуется установить (строго) гомеоморфизм между факторпространствами и еще чем-то, иногда можно воспользоваться коммутативной диаграммой. Считайте, что $\mathbb RP^1$ получается из $S^1$ отождествлением диаметрально противоположных точек. Тогда диаграмма

$$ \xymatrix{ S^1\ar[d]^{\pi} \ar[dr]^f\\ \mathbb RP^1\ar[r]^{\bar f} & S^1 } $$

коммутативна. Здесь $f(z)=z^2$, $\bar f([z])=z^2$ и $\pi$ - естественная проекция. Отображение $\bar f$, очевидно, сюръективно. Если $f([z_1])=f([z_2])$, то $z_1=\pm z_2$ и $[z_1]=[z_2]$, поэтому $\bar f$ инъективно. Непрерывность $\bar f$ следует из того, что $\pi$ - факторное отображение. Поскольку $\mathbb RP^1$ компактно (как непрерывный образ компакта), то $\bar f^{-1}$ непрерывно, то есть $\bar f$ - гомеоморфизм.

Гомеоморфизм между $\mathbb CP^1$ и $S^2$ описан в книге С.П. Новиков, И.А. Тайманов "Современные геометрические структуры и поля", стр. 139.

[Evgenjy]

Рассмотрите окружность; пучок прямых, проходящих через ее центр; и еще одну окружность, проходящую через центр первой окружности.