2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение21.03.2015, 19:31 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться, почему $\mathbb{R}P^1$ гомеоморфно $S^1$ и $\mathbb{C}P^1$ гомеоморфно $S^2$.
Доказать, что гомеоморфно -- значит указать однозначное и непрерывное в обе стороны отображение, но я такое придумать самостоятельно пока не смог. Стал искать в учебниках и нашёл в книжке Виро, Иванова, Нецветаева и Харламова "Элементарная топология" следующее решение для первого случая:
Изображение
Честно говоря, я его не понимаю. Можете, пожалуйста, как-то его прокомментировать или же помочь самому придумать гомеоморфизмы для вещественной и комплексной проективной прямой на сферы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение21.03.2015, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
А какие у вас определения $\mathbb{R}P^1$ и $\mathbb{C}P^1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение21.03.2015, 20:25 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
kp9r4d в сообщении #993731 писал(а):
А какие у вас определения $\mathbb{R}P^1$ и $\mathbb{C}P^1$?

$\mathbb{R}P^n (\mathbb{C}P^n)$ определяется как множество проходящих через $0$ прямых в $\mathbb{R}^{n+1} (\mathbb{C}^{n+1})$.
В принципе, знаю ещё, что $\mathbb{R}P^1$ можно получить из $S^1$ отождествлением диаметрально противоположных точек, это достаточно наглядно и понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение21.03.2015, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Hasek в сообщении #993743 писал(а):
В принципе, знаю ещё, что $\mathbb{R}P^1$ можно получить из $S^1$ отождествлением диаметрально противоположных точек, это достаточно наглядно и понятно.

Ну например так. Хорошо, вот у нас есть окружность, диаметрально противоположные точки на ней "склеены". То есть чтобы представить $\mathbb{R}P^1$ достаточно взять половинку окружности, крайние точки этой половинки склеены (они ведь диамтерально противоположны?), чем сиё бы могло быть? :3

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение21.03.2015, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Hasek в сообщении #993713 писал(а):
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться, почему $\mathbb{R}P^1$ гомеоморфно $S^1$...
Нельзя корректно доказать ложное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение21.03.2015, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Вы уверены? Вот тут написано например следующее:
Цитата:
the real projective line is a homogeneous space, in fact homeomorphic to a circle.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение21.03.2015, 21:17 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
kp9r4d в сообщении #993748 писал(а):
Hasek в сообщении #993743 писал(а):
В принципе, знаю ещё, что $\mathbb{R}P^1$ можно получить из $S^1$ отождествлением диаметрально противоположных точек, это достаточно наглядно и понятно.

Ну например так. Хорошо, вот у нас есть окружность, диаметрально противоположные точки на ней "склеены". То есть чтобы представить $\mathbb{R}P^1$ достаточно взять половинку окружности, крайние точки этой половинки склеены (они ведь диамтерально противоположны?), чем сиё бы могло быть? :3

Тогда через каждую точку этой полуокружности и $0$ (пусть он лежит в центре рассматриваемой окружности) можно провести прямую, появится взаимно-однозначное соответствие между точками полуокружности и прямыми $\mathbb{R}P^1$. Но если я строю гомеоморфизм из $S^1$, то должен устанавливать соответствия с точками всей окружности, а не только её половины? Пока, в моём понимании, это гомеоморфизм между полу-$S^1$ (не знаю, как обозначить) и $\mathbb{R}P^1$. А как раз в случае всей окружности однозначности нет из-за диаметрально противоположных точек. И как можно показать, что такое соответствие непрерывно? Это понятно из интуитивных соображений (чуть-чуть пошевелил точку на полуокружности -- чуть-чуть сменилась и прямая), но непонятно, как провести формальное обоснование.
Brukvalub в сообщении #993754 писал(а):
Hasek в сообщении #993713 писал(а):
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться, почему $\mathbb{R}P^1$ гомеоморфно $S^1$...
Нельзя корректно доказать ложное утверждение.

Это достаточно общеизвестное утверждение. Я уже писал в стартовом сообщении, например, что его можно уточнить в книжке "Элементарная топология", также такое упражнение встречается в "Курсе гомотопической топологии" Фоменко и Фукса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение21.03.2015, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Hasek в сообщении #993777 писал(а):
полу-$S^1$

А вы постройте гомеоморфизм между полу-$S^1$ (с отождествлёнными концами) и $S^1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение21.03.2015, 21:25 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Hasek в сообщении #993777 писал(а):
Пока, в моём понимании, это гомеоморфизм между полу-$S^1$ (не знаю, как обозначить) и $\mathbb{R}P^1$.
Ну да. Но есть же возведение в квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение21.03.2015, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Виноват, утверждение все-таки верное. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение21.03.2015, 23:22 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
kp9r4d в сообщении #993781 писал(а):
Hasek в сообщении #993777 писал(а):
полу-$S^1$

А вы постройте гомеоморфизм между полу-$S^1$ (с отождествлёнными концами) и $S^1$.

А, кажется, понял -- это как раз отображение $z \rightarrow z^2$ (потому что при возведении в квадрат $z$ и $-z$ переходят в одну точку $z^2$), о котором и говорится в прикреплённом мной доказательстве из учебника.
А как быть с $\mathbb{C}P^1$? Кажется, что двумерная сфера должна получаться из-за рассмотрения реальной и мнимой частей в отдельности. Это так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение21.03.2015, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Hasek в сообщении #993824 писал(а):
А как быть с $\mathbb{C}P^1$? Кажется, что двумерная сфера должна получаться из-за рассмотрения реальной и мнимой частей в отдельности. Это так?

Не знаю как насчёт рассмотрения отдельно вещественной и мнимой части, но вы попробуйте сделать так. Любой комплексной прямой, кроме одной (какой именно?) соответствует линейная функция $y=\lambda x$. То есть все комплексные прямые, проходящие через $0$, без той одной особенной, гомеоморфно отображаются на $\mathbb{C}$. Пополним $\mathbb{C}$ каким-нибудь элементом, назовём его $\psi$. Каким образом надо определить окрестности $\psi$ чтобы $\mathbb{C}P^1$ гомеоморфно отображалось на $\mathbb{C} \cup \{\psi\}$, при этом та одна особенная отображалась как раз в $\psi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение22.03.2015, 11:56 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
kp9r4d в сообщении #993840 писал(а):
Hasek в сообщении #993824 писал(а):
А как быть с $\mathbb{C}P^1$? Кажется, что двумерная сфера должна получаться из-за рассмотрения реальной и мнимой частей в отдельности. Это так?

Не знаю как насчёт рассмотрения отдельно вещественной и мнимой части, но вы попробуйте сделать так. Любой комплексной прямой, кроме одной (какой именно?) соответствует линейная функция $y=\lambda x$. То есть все комплексные прямые, проходящие через $0$, без той одной особенной, гомеоморфно отображаются на $\mathbb{C}$. Пополним $\mathbb{C}$ каким-нибудь элементом, назовём его $\psi$. Каким образом надо определить окрестности $\psi$ чтобы $\mathbb{C}P^1$ гомеоморфно отображалось на $\mathbb{C} \cup \{\psi\}$, при этом та одна особенная отображалась как раз в $\psi$?

Как я это понимаю:
Рассматриваем комплексную плоскость $\mathbb{C}^2$. Пусть $x$ -- вещественная часть точки $z$, $\lambda$ -- некий коэффициент пропорциональности (по факту равный отношению $\frac{\operatorname{Im} z}{\operatorname{Re} z}$), таким образом мы однозначно задаём прямую из $\mathbb{C}P^1$ (потому что по двум точкам однозначно задаётся прямая). Так можно получить все прямые, кроме мнимой оси $\operatorname{Re} z=0$. Не очень понимаю, что значит
kp9r4d в сообщении #993840 писал(а):
Каким образом надо определить окрестности $\psi$ чтобы $\mathbb{C}P^1$ гомеоморфно отображалось на $\mathbb{C} \cup \{\psi\}$, при этом та одна особенная отображалась как раз в $\psi$?
Хочется сказать, что при $\lambda \rightarrow \infty$ прямая должна стремиться к $\psi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение22.03.2015, 15:57 


16/02/13
49
Когда требуется установить (строго) гомеоморфизм между факторпространствами и еще чем-то, иногда можно воспользоваться коммутативной диаграммой. Считайте, что $\mathbb RP^1$ получается из $S^1$ отождествлением диаметрально противоположных точек. Тогда диаграмма
$$
\xymatrix{
S^1\ar[d]^{\pi} \ar[dr]^f\\ 
\mathbb RP^1\ar[r]^{\bar f}
& S^1
}
$$ коммутативна. Здесь $f(z)=z^2$, $\bar f([z])=z^2$ и $\pi$ - естественная проекция. Отображение $\bar f$, очевидно, сюръективно. Если $f([z_1])=f([z_2])$, то $z_1=\pm z_2$ и $[z_1]=[z_2]$, поэтому $\bar f$ инъективно. Непрерывность $\bar f$ следует из того, что $\pi$ - факторное отображение. Поскольку $\mathbb RP^1$ компактно (как непрерывный образ компакта), то $\bar f^{-1}$ непрерывно, то есть $\bar f$ - гомеоморфизм.

Гомеоморфизм между $\mathbb CP^1$ и $S^2$ описан в книге С.П. Новиков, И.А. Тайманов "Современные геометрические структуры и поля", стр. 139.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфность проективных пространств сферам
Сообщение22.03.2015, 16:42 


13/08/14
349
Рассмотрите окружность; пучок прямых, проходящих через ее центр; и еще одну окружность, проходящую через центр первой окружности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group