Обнаружение бозона Хиггса

[lek]

Откровенно говоря, такие рассуждения (с привлечением тора, сферы, вращений и витков) кажутся мне "дикими". Имхо, ситуация же с подгруппами $U(1)_{Y}$ и $U(1)_{e}$ предельно ясная и решается элементарно:

1. Построенная выше подалгебра $u(1)_{e}$ не пересекается с $u(1)_{Y}$ (т.к. они одномерны и $e_{0}\ne \alpha e''$, для $\alpha\in\mathbb{R}$) и изоморфна последней (т.к. $e''$ - унитарная матрица).

2. Обозначим символом $U(1)_{e}$ односвязную (глобальную) подгруппу в $SU(2)\times U(1)_{Y}$, порожденную $u(1)_{e}$. Поскольку всякий изоморфизм алгебр Ли однозначно продолжается до изоморфизма соответствующих односвязных групп Ли, группа $U(1)_{e}$ изоморфна $U(1)_{Y}$ (и пересекается с ней по 1).

Единственным ограничением на значение $\theta$ является условие $\theta\ne k\pi$, где $k\in\mathbb{Z}$. Если оно не выполняется, то группы $U(1)_{e}$ и $U(1)_{Y}$ совпадают. Условия же, что вы написали в начале предыдущего сообщения выделяют среди всех подгрупп вида $U(1)_{e}$ ту, что фиксируется условием $\tg\theta=g'/g$ и только.

[Munin]

Geen в сообщении #994007 писал(а):

Например, "хороших" намоток на тор, как кажется, должно быть счётное число...

Да, я это упомянул, про "бесконечно много подгрупп, совершающих соответственно $m$ и $n$ витков".

Правда, как мне сейчас показалось по прикидке, это ненаблюдаемо. Любую "$(m,n)$-витковую" подгруппу мы можем представить как $(1,1)$-витковую, просто поменяв константу $g'$ в $\tfrac{n}{m}$ раз. Это нам позволено тем, что группа $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1)$ есть прямое произведение.

Отличие будет только в том случае, если мы каким-то образом измеряем площадь всего тора (то есть, фактическую длину его обеих окружностей). А это в КТП, кажется, происходит только при интегрировании по всем импульсам, и всегда даёт бесконечность - пока не совершают какой-нибудь регуляризации или обрезания. То есть, на это нам начихать. Наблюдаемые величины от этого интеграла всегда будут не зависеть.

-- 22.03.2015 14:22:24 --

lek в сообщении #994025 писал(а):

Откровенно говоря, такие рассуждения (с привлечением тора, сферы, вращений и витков) кажутся мне "дикими".

Они геометрические. Мне кажется, если вы не видите геометрии задачи (геометрии группы, как минимум), это вы чего-то недоулавливаете.

-- 22.03.2015 14:33:48 --

lek в сообщении #994025 писал(а):

2. Обозначим символом $U(1)_{e}$ односвязную (глобальную) подгруппу в $SU(2)\times U(1)_{Y}$, порожденную $u(1)_{e}$.

Вот в этом месте у вас "хромота". Не всякая одномерная подалгебра порождает подгруппу, изоморфную $\mathrm{U}(1).$ По сути, одномерных групп Ли две штуки: компактная $\mathrm{U}(1)$ и некомпактная $\mathrm{R}.$ Их алгебры Ли - совпадают (аналогично тому, как совпадают алгебры Ли групп $\mathrm{SU}(2)$ и $\mathrm{SO}(3)$), и поэтому по алгебре (одномерная подалгебра) нельзя восстановить группу однозначно.

lek в сообщении #994025 писал(а):

Поскольку всякий изоморфизм алгебр Ли однозначно продолжается до изоморфизма соответствующих односвязных групп Ли

Да, но $\mathrm{U}(1)$ неодносвязна! Это кольцо! Его число Бетти $\beta_1=\operatorname{rank}H_1$ единичка!

И самое главное, на группу, порождаемую алгеброй Ли, априорно не наложено никаких ограничений по связности. Группа, порождённая $\mathrm{u}(1)_{Y},$ может топологически отличаться от группы, порождённой $\mathrm{u}(1)_{e}$ - никаких запретов на это нет.

lek в сообщении #994025 писал(а):

Единственным ограничением на значение $\theta$ является условие $\theta\ne k\pi$, где $k\in\mathbb{Z}$.

Ну, если строго математически, то повторяю, $\ctg\theta=\tfrac{g}{g'}q,$ где $q\in\mathbb{Q},$ то есть возможные значения углов все рациональны. Но это, естественно, иррелевантно для физики, поскольку никакое измерение не может отличить рационального числа от близкого к нему иррационального.

[lek]

Munin в сообщении #994030 писал(а):

Они геометрические.

Sorry, но мне они напоминают "шестеренки Максвелла" .

[Munin]

Простите, вы не считаете, что группа Ли есть гладкое многообразие?

[lek]

Munin в сообщении #994030 писал(а):

Да, но $\mathrm{U}(1)$ неодносвязна! Это кольцо! Его число Бетти $\beta_1=\operatorname{rank}H_1$ единичка!

По определению, группа $U(1)=\{\exp(i\alpha)\mid\alpha\in\mathbb{R}\}$. Это окружность.

[fizeg]

Я совсем по рабоче-крестьянски скажу в общем-то тоже самое, что и Munin.

По построению у нас калибровочная группа электромагнетизма порождается генератором $U(1)_Y$ плюс одним из генераторов (обычно $T_3$) у $SU(2)_L$. Забудем на секунду про $U(1)_Y$. Этот наш генератор $T_3$ породит $U(1)$ подгруппу $SU(2)$, назову ее $U(1)_3$.

В сумме же как эти генераторы работают. У нас получается два колечка - $U(1)_Y$ и $U(1)_3$, по которым мы одновременно двигаемся. Если я возвращаюсь в исходную точку на $U(1)_Y$, это совершенно не означает, что я не окажусь где-нибудь посередине пути на $U(1)_3$. В итоге вообще говоря они не обязаны когда-либо приходить туда одновременно - порожденная ими вместе группа вообще говоря будет некомпактна. Все зависит от того, как соотносятся скорости движения по этим колечкам, т.е. от соотношения коэффициентов при генераторах в сумме (то, что как раз задает угол смешивания), которые равны некоторому коэффициенту умножить на произвольное рациональное число.

[lek]

Эта картинка понятна, но какое она имеет отношение к калибровочной группе электромагнетизма $U(1)_{em}$?

[Munin]

Фраза

fizeg в сообщении #994062 писал(а):

по которым мы одновременно двигаемся

означает именно движение по подгруппе $\mathrm{U}(1)_{em}.$

[fizeg]

...про которую мы и не знаем еще $U(1)$ это или $\mathbb{R}$

[Munin]

(Оффтоп)

Я где-то на предыдущей странице post993480.html#p993480 произнёс спросонок глупую формулировку: будто бы "$\mathrm{U}(1)_{em}$ вообще не подгруппа". Возможно, это сбило с толку, и теперь отвлекает. Хочу пояснить. Это подгруппа, я это понял, и согласился, уже на середине прошлой страницы. (Потому что вообще любое подпространство алгебры Ли экспоненцированием порождает подгруппу.) Но это какая-то подгруппа $H_{em}.$ Права на обозначение $\mathrm{U}(1)_{em}$ она ещё не заслужила, потому что такое обозначение гласит, что она изоморфна $\mathrm{U}(1).$ А вот в этом изоморфизме и был по-настоящему мой вопрос, который я как раз спросонок не смог чётко сформулировать. - С тех пор я уже нашёл ответ на свой вопрос, и хочу только донести до lek, что и вопрос правомерен, и ответ нетривиален.

[fizeg]

Мне, если честно, в данном вопросе непонятно одно. Пусть калибровочная группа не $U(1)$, а $\mathbb{R}$. В чем будет отличие в физике?

[lek]

Задаю себе тот же вопрос...

[fizeg]

В общем я кумекаю так. Если преобразование $U(1)$, то у нас должно выполняться $e^{i\varphi\hat{\tau}}=e^{i(\varphi+2\pi)\hat{\tau}}$. Казалось бы это накладывает на представления фермионов вполне четкое условие, они должны преобразовываться как $e^{in\varphi}$, где $n\in\mathbb{N}$. Таким образом, это накладывает условие квантования заряда. Как минимум в этом случае допустимо только $q_1/q_2\in\mathbb{Q}$

Но постоянную фазу у фермионов я могу съесть всегда за счет глобальной симметрии, что как будто бы убивает предыдущий аргумент для гладких калибровочных преобразований. Поэтому реальная разница должна быть для преобразований вида $e^{2in(x)\pi}$, $n:\mathbb{R}^4\mapsto\mathbb{N}$, которые ведут вообще говоря к добавлению $A_\mu$ обобщенной функции жуткого вида (или по крайней мере $\delta$-функции, если взять $e^{2i\theta(x)\pi}$). Однако с точки зрения компактной группы такая добавка к $A_\mu$ фиктивна и должна уйти, в отличии от некомпактной группы.

Ведет ли это к каким-либо реально проверяемым следствиям? Не думаю. Так что если только компактность не будет следовать из ее происхождения (например за счет спонтанного нарушения какой-нибудь GUT группы) вряд ли это будет играть роль

-- 22.03.2015, 18:33 --

(Оффтоп)

Думал уделить некоторое время топикстартеру... но... Не могу! Выше моих сил это!!! Если какой святой будет готов этим заняться, помощи в этом от меня не ждите

[fizeg]

fizeg в сообщении #994119 писал(а):

Поэтому реальная разница должна быть для преобразований вида $e^{2in(x)\pi}$, $n:\mathbb{R}^4\mapsto\mathbb{N}$, которые ведут вообще говоря к добавлению $A_\mu$ обобщенной функции жуткого вида (или по крайней мере $\delta$-функции, если взять $e^{2i\theta(x)\pi}$). Однако с точки зрения компактной группы такая добавка к $A_\mu$ фиктивна и должна уйти, в отличии от некомпактной группы.

Поясню, что я имею в виду - надо взять НЕпреобразованные фермионные поля и преобразованные векторные. В некомпактном случае добавку к векторному поля не убрать калибровкой, не испортив фермионные поля

[lek]

(Оффтоп)

Все же как ни крути, при замене $U(1)_{em}$ на $\mathbb{R}$ мы по-видимому "вылезаем" из $SU(2)\times U(1)_{Y}$ (ввиду неодносвязности $U(1)_{Y}$ и односвязности $\mathbb{R}$).