Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?

[boriska]

Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция? $f(x)=x\sin\frac{1}{x}$ при $x>0,y>0$

$|x\sin\frac{1}{x}-y\sin\frac{1}{y}|\le L|x-y|$

Найти $L$ при маленьких $y$ просто $L=1$. При маленьких $x$-- тоже просто. $L=1$. Такая же константа будет при $x->\frac{\pi}2$ и $y->\frac{\pi}2$. Но как в общем случае?

[patzer2097]

попробуйте доказывать отдельно, что Ваша функция липшицева на $[1,\infty)$ и на $(0,1]$
и $L=1$ будет недостаточно, конечно

[boriska]

patzer2097 в сообщении #991290 писал(а):

докажите отдельно, что Ваша функция липшицева на $[1,\infty)$ и на $(0,1]$
и $L=1$ будет недостаточно, конечно

Я об этом думал, смотрел при малых и больших

[patzer2097]

Да, и при больших значениях переменной проблем не должно быть.
А при малых - другое дело: могут ли переменные $x$ и $y$ быть очень близки друг к другу, чтобы при этом разность $x\sin(1/x)-y\sin(1/y)$ была довольно велика? Придумайте какие-нибудь близкие точки $x$ и $y$, для которых $x\sin(1/x)$ и $y\sin(1/y)$ имеют разные знаки.

[boriska]

patzer2097 в сообщении #991297 писал(а):

Да, и при больших значениях переменной проблем не должно быть.
А при малых - другое дело: могут ли переменные $x$ и $y$ быть очень близки друг к другу, чтобы при этом разность $x\sin(1/x)-y\sin(1/y)$ была довольно велика? Придумайте какие-нибудь близкие точки $x$ и $y$, для которых $x\sin(1/x)$ и $y\sin(1/y)$ имеют разные знаки.

А $\dfrac{2}{\pi}$ и $\dfrac{2}{3\pi}$ считаются близкими?

[patzer2097]

boriska в сообщении #991326 писал(а):

А $\dfrac{2}{\pi}$ и $\dfrac{2}{3\pi}$ считаются близкими?

Считаются! А еще ближе есть?

[boriska]

patzer2097 в сообщении #991328 писал(а):

boriska в сообщении #991326 писал(а):

А $\dfrac{2}{\pi}$ и $\dfrac{2}{3\pi}$ считаются близкими?

Считаются! А еще ближе есть?

$\dfrac{2}{999999999997\pi}$ и $\dfrac{2}{999999999999\pi}$ Подойдет?

[patzer2097]

Вполне подойдет! Если $x=\dfrac{2}{999999999997\pi}$ и $y=\dfrac{2}{999999999999\pi}$, то чему равно $|x-y|$? А $|x\sin\frac{1}{x}-y\sin\frac{1}{y}|$? Как это позволяет нам оценить $L$ снизу? И как закончить решение?

[boriska]

patzer2097 в сообщении #991331 писал(а):

Вполне подойдет! Если $x=\dfrac{2}{999999999997\pi}$ и $y=\dfrac{2}{999999999999\pi}$, то чему равно $|x-y|$? А $|x\sin\frac{1}{x}-y\sin\frac{1}{y}|$? Как это позволяет нам оценить $L$ снизу? И как закончить решение?

Спасибоо!

$|x-y|=\dfrac{4}{999999999997\cdot 999999999999\pi}$

$|x\sin\frac{1}{x}-y\sin\frac{1}{y}|\le 2$

$L=999999999997\cdot 999999999999\pi$

Верно? Но разве это что-то доказывает?

[ewert]

boriska в сообщении #991275 писал(а):

Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция? $f(x)=x\sin\frac{1}{x}$

Тупо попытаться оценить сверху производную. Удастся это сделать?...

[TOTAL]

boriska в сообщении #991334 писал(а):

Верно? Но разве это что-то доказывает?

Найдите производную в точке $1/x=2k \pi$

[boriska]

TOTAL в сообщении #991432 писал(а):

boriska в сообщении #991334 писал(а):

Верно? Но разве это что-то доказывает?

Найдите производную в точке $1/x=2k \pi$

Спасибо!

$f'(x)=-\dfrac{\cos\frac1x}{x}+\sin\frac1x$

$f'(\frac1{2k\pi})=-2\pi k$

То есть функция все большими темпами возрастает или убывает при уменьшении $x$. Значит ее не получится ограничить, верно?

-- 17.03.2015, 13:20 --

Непосредственным вычислением проверил, что асимптота у $f(x)$ будет $y=1$. Получается, что $f(x)$ ограничена, значит и $f(x)-f(y)$ ограничена, осталось разобраться с малыми $x$, верно?

-- 17.03.2015, 13:23 --

Вот так себя ведет функция при малых $x$

[Brukvalub]

Воспользуйтесь тем, что производная есть предел отношения приращений функции и аргумента, большая производная означает, что это отношение иногда тоже бывает большим.

[TOTAL]

boriska в сообщении #991440 писал(а):

Получается, что $f(x)$ ограничена, значит и $f(x)-f(y)$ ограничена, осталось разобраться с малыми $x$, верно?

Осталось разобраться, как ограниченность связана с условием Липшица.

[boriska]

Brukvalub в сообщении #991455 писал(а):

Воспользуйтесь тем, что производная есть предел отношения приращений функции и аргумента, большая производная означает, что это отношение иногда тоже бывает большим.

Я понимаю, что задачу можно переформулировать так, что нужно найти такое $L$, что $\left|\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\right|\le L$.

При $\delta x\to 0$ это будет означать ограниченность производной, а производная неограничена, как уже выяснилось, значит нет такой $L$. Верно?

-- 17.03.2015, 14:07 --

TOTAL в сообщении #991456 писал(а):

boriska в сообщении #991440 писал(а):

Получается, что $f(x)$ ограничена, значит и $f(x)-f(y)$ ограничена, осталось разобраться с малыми $x$, верно?

Осталось разобраться, как ограниченность связана с условием Липшица.

Да, пока что мало как, там еще приращение аргумента нужно не забыть*