2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 00:55 
Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция? $f(x)=x\sin\frac{1}{x}$ при $x>0,y>0$

$|x\sin\frac{1}{x}-y\sin\frac{1}{y}|\le L|x-y|$

Найти $L$ при маленьких $y$ просто $L=1$. При маленьких $x$-- тоже просто. $L=1$. Такая же константа будет при $x->\frac{\pi}2$ и $y->\frac{\pi}2$. Но как в общем случае?

 
 
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 01:26 
попробуйте доказывать отдельно, что Ваша функция липшицева на $[1,\infty)$ и на $(0,1]$
и $L=1$ будет недостаточно, конечно

 
 
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 01:32 
patzer2097 в сообщении #991290 писал(а):
докажите отдельно, что Ваша функция липшицева на $[1,\infty)$ и на $(0,1]$
и $L=1$ будет недостаточно, конечно

Я об этом думал, смотрел при малых и больших

 
 
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 01:39 
Да, и при больших значениях переменной проблем не должно быть.
А при малых - другое дело: могут ли переменные $x$ и $y$ быть очень близки друг к другу, чтобы при этом разность $x\sin(1/x)-y\sin(1/y)$ была довольно велика? Придумайте какие-нибудь близкие точки $x$ и $y$, для которых $x\sin(1/x)$ и $y\sin(1/y)$ имеют разные знаки.

 
 
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 04:07 
patzer2097 в сообщении #991297 писал(а):
Да, и при больших значениях переменной проблем не должно быть.
А при малых - другое дело: могут ли переменные $x$ и $y$ быть очень близки друг к другу, чтобы при этом разность $x\sin(1/x)-y\sin(1/y)$ была довольно велика? Придумайте какие-нибудь близкие точки $x$ и $y$, для которых $x\sin(1/x)$ и $y\sin(1/y)$ имеют разные знаки.


А $\dfrac{2}{\pi}$ и $\dfrac{2}{3\pi}$ считаются близкими?

 
 
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 04:16 
boriska в сообщении #991326 писал(а):
А $\dfrac{2}{\pi}$ и $\dfrac{2}{3\pi}$ считаются близкими?

Считаются! А еще ближе есть? :-)

 
 
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 04:20 
patzer2097 в сообщении #991328 писал(а):
boriska в сообщении #991326 писал(а):
А $\dfrac{2}{\pi}$ и $\dfrac{2}{3\pi}$ считаются близкими?

Считаются! А еще ближе есть? :-)


$\dfrac{2}{999999999997\pi}$ и $\dfrac{2}{999999999999\pi}$ Подойдет?

 
 
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 04:24 
Вполне подойдет! Если $x=\dfrac{2}{999999999997\pi}$ и $y=\dfrac{2}{999999999999\pi}$, то чему равно $|x-y|$? А $|x\sin\frac{1}{x}-y\sin\frac{1}{y}|$? Как это позволяет нам оценить $L$ снизу? И как закончить решение?

 
 
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 04:34 
patzer2097 в сообщении #991331 писал(а):
Вполне подойдет! Если $x=\dfrac{2}{999999999997\pi}$ и $y=\dfrac{2}{999999999999\pi}$, то чему равно $|x-y|$? А $|x\sin\frac{1}{x}-y\sin\frac{1}{y}|$? Как это позволяет нам оценить $L$ снизу? И как закончить решение?


Спасибоо!

$|x-y|=\dfrac{4}{999999999997\cdot 999999999999\pi}$

$|x\sin\frac{1}{x}-y\sin\frac{1}{y}|\le 2$

$L=999999999997\cdot 999999999999\pi$

Верно? Но разве это что-то доказывает?

 
 
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 11:01 
boriska в сообщении #991275 писал(а):
Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция? $f(x)=x\sin\frac{1}{x}$

Тупо попытаться оценить сверху производную. Удастся это сделать?...

 
 
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 12:57 
Аватара пользователя
boriska в сообщении #991334 писал(а):
Верно? Но разве это что-то доказывает?
Найдите производную в точке $1/x=2k \pi$

 
 
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 13:09 
TOTAL в сообщении #991432 писал(а):
boriska в сообщении #991334 писал(а):
Верно? Но разве это что-то доказывает?
Найдите производную в точке $1/x=2k \pi$

Спасибо!

$f'(x)=-\dfrac{\cos\frac1x}{x}+\sin\frac1x$

$f'(\frac1{2k\pi})=-2\pi k$

То есть функция все большими темпами возрастает или убывает при уменьшении $x$. Значит ее не получится ограничить, верно?

-- 17.03.2015, 13:20 --

Непосредственным вычислением проверил, что асимптота у $f(x)$ будет $y=1$. Получается, что $f(x)$ ограничена, значит и $f(x)-f(y)$ ограничена, осталось разобраться с малыми $x$, верно?

-- 17.03.2015, 13:23 --

Вот так себя ведет функция при малых $x$

Изображение

 
 
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 13:51 
Аватара пользователя
Воспользуйтесь тем, что производная есть предел отношения приращений функции и аргумента, большая производная означает, что это отношение иногда тоже бывает большим.

 
 
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 13:51 
Аватара пользователя
boriska в сообщении #991440 писал(а):
Получается, что $f(x)$ ограничена, значит и $f(x)-f(y)$ ограничена, осталось разобраться с малыми $x$, верно?
Осталось разобраться, как ограниченность связана с условием Липшица.

 
 
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 14:06 
Brukvalub в сообщении #991455 писал(а):
Воспользуйтесь тем, что производная есть предел отношения приращений функции и аргумента, большая производная означает, что это отношение иногда тоже бывает большим.

Я понимаю, что задачу можно переформулировать так, что нужно найти такое $L$, что $\left|\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\right|\le L$.

При $\delta x\to 0$ это будет означать ограниченность производной, а производная неограничена, как уже выяснилось, значит нет такой $L$. Верно?

-- 17.03.2015, 14:07 --

TOTAL в сообщении #991456 писал(а):
boriska в сообщении #991440 писал(а):
Получается, что $f(x)$ ограничена, значит и $f(x)-f(y)$ ограничена, осталось разобраться с малыми $x$, верно?
Осталось разобраться, как ограниченность связана с условием Липшица.

Да, пока что мало как, там еще приращение аргумента нужно не забыть*

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group