2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 00:55 


11/08/13
126
Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция? $f(x)=x\sin\frac{1}{x}$ при $x>0,y>0$

$|x\sin\frac{1}{x}-y\sin\frac{1}{y}|\le L|x-y|$

Найти $L$ при маленьких $y$ просто $L=1$. При маленьких $x$-- тоже просто. $L=1$. Такая же константа будет при $x->\frac{\pi}2$ и $y->\frac{\pi}2$. Но как в общем случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 01:26 
Заслуженный участник


14/03/10
867
попробуйте доказывать отдельно, что Ваша функция липшицева на $[1,\infty)$ и на $(0,1]$
и $L=1$ будет недостаточно, конечно

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 01:32 


11/08/13
126
patzer2097 в сообщении #991290 писал(а):
докажите отдельно, что Ваша функция липшицева на $[1,\infty)$ и на $(0,1]$
и $L=1$ будет недостаточно, конечно

Я об этом думал, смотрел при малых и больших

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 01:39 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Да, и при больших значениях переменной проблем не должно быть.
А при малых - другое дело: могут ли переменные $x$ и $y$ быть очень близки друг к другу, чтобы при этом разность $x\sin(1/x)-y\sin(1/y)$ была довольно велика? Придумайте какие-нибудь близкие точки $x$ и $y$, для которых $x\sin(1/x)$ и $y\sin(1/y)$ имеют разные знаки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 04:07 


11/08/13
126
patzer2097 в сообщении #991297 писал(а):
Да, и при больших значениях переменной проблем не должно быть.
А при малых - другое дело: могут ли переменные $x$ и $y$ быть очень близки друг к другу, чтобы при этом разность $x\sin(1/x)-y\sin(1/y)$ была довольно велика? Придумайте какие-нибудь близкие точки $x$ и $y$, для которых $x\sin(1/x)$ и $y\sin(1/y)$ имеют разные знаки.


А $\dfrac{2}{\pi}$ и $\dfrac{2}{3\pi}$ считаются близкими?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 04:16 
Заслуженный участник


14/03/10
867
boriska в сообщении #991326 писал(а):
А $\dfrac{2}{\pi}$ и $\dfrac{2}{3\pi}$ считаются близкими?

Считаются! А еще ближе есть? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 04:20 


11/08/13
126
patzer2097 в сообщении #991328 писал(а):
boriska в сообщении #991326 писал(а):
А $\dfrac{2}{\pi}$ и $\dfrac{2}{3\pi}$ считаются близкими?

Считаются! А еще ближе есть? :-)


$\dfrac{2}{999999999997\pi}$ и $\dfrac{2}{999999999999\pi}$ Подойдет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 04:24 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Вполне подойдет! Если $x=\dfrac{2}{999999999997\pi}$ и $y=\dfrac{2}{999999999999\pi}$, то чему равно $|x-y|$? А $|x\sin\frac{1}{x}-y\sin\frac{1}{y}|$? Как это позволяет нам оценить $L$ снизу? И как закончить решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 04:34 


11/08/13
126
patzer2097 в сообщении #991331 писал(а):
Вполне подойдет! Если $x=\dfrac{2}{999999999997\pi}$ и $y=\dfrac{2}{999999999999\pi}$, то чему равно $|x-y|$? А $|x\sin\frac{1}{x}-y\sin\frac{1}{y}|$? Как это позволяет нам оценить $L$ снизу? И как закончить решение?


Спасибоо!

$|x-y|=\dfrac{4}{999999999997\cdot 999999999999\pi}$

$|x\sin\frac{1}{x}-y\sin\frac{1}{y}|\le 2$

$L=999999999997\cdot 999999999999\pi$

Верно? Но разве это что-то доказывает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 11:01 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
boriska в сообщении #991275 писал(а):
Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция? $f(x)=x\sin\frac{1}{x}$

Тупо попытаться оценить сверху производную. Удастся это сделать?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4627
Нов-ск
boriska в сообщении #991334 писал(а):
Верно? Но разве это что-то доказывает?
Найдите производную в точке $1/x=2k \pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 13:09 


11/08/13
126
TOTAL в сообщении #991432 писал(а):
boriska в сообщении #991334 писал(а):
Верно? Но разве это что-то доказывает?
Найдите производную в точке $1/x=2k \pi$

Спасибо!

$f'(x)=-\dfrac{\cos\frac1x}{x}+\sin\frac1x$

$f'(\frac1{2k\pi})=-2\pi k$

То есть функция все большими темпами возрастает или убывает при уменьшении $x$. Значит ее не получится ограничить, верно?

-- 17.03.2015, 13:20 --

Непосредственным вычислением проверил, что асимптота у $f(x)$ будет $y=1$. Получается, что $f(x)$ ограничена, значит и $f(x)-f(y)$ ограничена, осталось разобраться с малыми $x$, верно?

-- 17.03.2015, 13:23 --

Вот так себя ведет функция при малых $x$

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Воспользуйтесь тем, что производная есть предел отношения приращений функции и аргумента, большая производная означает, что это отношение иногда тоже бывает большим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4627
Нов-ск
boriska в сообщении #991440 писал(а):
Получается, что $f(x)$ ограничена, значит и $f(x)-f(y)$ ограничена, осталось разобраться с малыми $x$, верно?
Осталось разобраться, как ограниченность связана с условием Липшица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить, удовлетворяет ли Липщица функция?
Сообщение17.03.2015, 14:06 


11/08/13
126
Brukvalub в сообщении #991455 писал(а):
Воспользуйтесь тем, что производная есть предел отношения приращений функции и аргумента, большая производная означает, что это отношение иногда тоже бывает большим.

Я понимаю, что задачу можно переформулировать так, что нужно найти такое $L$, что $\left|\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\right|\le L$.

При $\delta x\to 0$ это будет означать ограниченность производной, а производная неограничена, как уже выяснилось, значит нет такой $L$. Верно?

-- 17.03.2015, 14:07 --

TOTAL в сообщении #991456 писал(а):
boriska в сообщении #991440 писал(а):
Получается, что $f(x)$ ограничена, значит и $f(x)-f(y)$ ограничена, осталось разобраться с малыми $x$, верно?
Осталось разобраться, как ограниченность связана с условием Липшица.

Да, пока что мало как, там еще приращение аргумента нужно не забыть*

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group