2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение13.03.2015, 20:24 
Заслуженный участник


13/12/05
4673
Группа кажется таким простым и хорошо известным понятием, что обсуждать её определение кажется бессмысленным. Но вопрос у меня возник в связи с другим понятием.

Рассмотрим определение системы целых чисел, если нам уже известно понятие системы натуральных чисел $(N,1,s)$ (как удовлетворяющей аксиомам Пеано)

Первое определение:
Тройка $(Z,+,1)$, где $Z$ -- непустое множество, $+\colon Z\times Z\to Z$ -- бинарная операция на множестве $Z$, $1\in Z$ -- элемент множества $Z$, называется системой целых чисел, если выполнены условия:
1. $(Z,+)$ -- коммутативная группа
2. Существует подмножество $N\subset Z$ такое, что:
2а. $1\in N$
2б. $N$ замкнуто относительно операции $s(x)=x+1$, т.е. из $x\in N$ следует $s(x)\in N$ для любого $x\in Z$
2в. $(N,1,s)$ -- система натуральных чисел
3. Если множество $M\subset Z$ удовлетворяет условиям: $N\subset M$, из $x,y\in M$ следует $x-y\in M$ для любых $x,y\in M$, то $M=Z$

Второе определение:
Тройка $(Z,+,1)$, где $Z$ -- непустое множество, $+\colon Z\times Z\to Z$ -- бинарная операция на множестве $Z$, $1\in Z$ -- элемент множества $Z$, называется системой целых чисел, если выполнены условия:
1. $(Z,+)$ -- коммутативная группа
2. Существует подмножество $N\subset Z$ такое, что
2а. $1\in N$
2б. $N$ замкнуто относительно операции $s(x)=x+1$, т.е. из $x\in N$ следует $s(x)\in N$ для любого $x\in Z$
2в. $(N,1,s)$ -- система натуральных чисел
2г. Если множество $M\subset Z$ удолетворяет условиям: $N\subset M$, из $x,y\in M$ следует $x-y\in M$ для любых $x,y\in M$, то $M=Z$

Третье определение:
Четверка $(Z,+,1,N)$, где $Z$ -- непустое множество, $+\colon Z\times Z\to Z$ -- бинарная операция на множестве $Z$, $1\in Z$ -- элемент множества $Z$, $N\subset Z$ -- подмножество множества $Z$, называется системой целых чисел, если выполнены условия:
1. $(Z,+)$ -- коммутативная группа
2. $1\in N$
3. $N$ замкнуто относительно операции $s(x)=x+1$, т.е. из $x\in N$ следует $s(x)\in N$ для любого $x\in Z$
4. $(N,1,s)$ -- система натуральных чисел
5. Если множество $M\subset Z$ удовлетворяет условиям: $N\subset M$, из $x,y\in M$ следует $x-y\in M$ для любых $x,y\in M$, то $M=Z$

Формально корректны второе и третье определение. Третье мне не нравится чрезмерно раздутой сигнатурой (множество $N$, удовлетворяющее
условиям 2 а,б,в второго определения единственно). Но все-таки я склоняюсь к формально некорректному первому определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение13.03.2015, 22:11 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Ну с этими кванторами мы уже разобрались, тут все просто и понятно, и мудрствовать тут можно только лукаво. Меня сейчас смутило другое — а именно, предлагаемое определение системы натуральных чисел как произвольной модели арифметики Пеано. Это, прямо скажем, необычный подход. Ведь среди таких моделей встречаются весьма экзотические экземпляры — например, несчетные. Вы намеренно решили разрушить имеющиеся на этот счет традиции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение13.03.2015, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
AGu в сообщении #989879 писал(а):
Нет, так нельзя. (Там кванторы переплелись и второе условие потерялось.) Надо так:
$(\forall\,x)(\exists\,y)(\forall\,e)\bigl((\forall\,z)(e*z=z*e=z)\ \Rightarrow\ x*y=y*x=e\bigr)$
или, например, так:
$(\forall\,e)\bigl((\forall\,z)(e*z=z*e=z)\ \Rightarrow\ (\forall\,x)(\exists\,y)(x*y=y*x=e)\bigr)$

Да, $z$ я зевнул, а вот остальные кванторы - считал вынесенными в текстовую часть условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 00:17 


10/02/11
6786
я вот тоже что-то не въехал. пафос сообщения состоит в том, что между вторым и третьим пунктом надо проверить единственность единицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 00:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4790
Oleg Zubelevich в сообщении #990017 писал(а):
я вот тоже что-то не въехал. пафос сообщения состоит в том, что между вторым и третьим пунктом надо проверить единственность единицы?

Видимо речь об абсолютно формальных (компьютерных) использованиях аксиом - в этом случае использование той же самой буквы ничего не значит.

-- 14.03.2015, 00:37 --

(Оффтоп)

Прошу прощения, а зачем нам вообще само мн-во $G$? (и обязательно непустое?)


-- 14.03.2015, 01:13 --

AGu в сообщении #989879 писал(а):
Главное — мы знаем, что при желании все это можно сделать строго формальным, и даже знаем, как это сделать. Но делать это на самом деле не обязательно и, как подсказывает печальный опыт сороконожки, даже вредно.

Не вполне согласен. Т.е. вы-то знаете, но у подавляющего большинства студентов нет такого навыка/времени/понимания в чём именно нужно разобраться. В результате либо "интуитивно всё понятно - интуиция рулит", либо "меня дурят, причём с самого начала". В обоих случаях результат печальный (по себе знаю) :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 02:01 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
Padawan в сообщении #989912 писал(а):
определение системы целых чисел
А можно для особо тупых указать конкретное отличие первого от второго? Три раза перечёл — ну не вижу!
Oleg Zubelevich в сообщении #990017 писал(а):
пафос сообщения
Пафос, имхо, в том, что в третьей аксиоме не указано явно, что $e$ — та самая единица группы, про которую говорилось во второй. Благородному дону Padawan захотелось понимать эту запись как «к любому элементу найдётся перестановочный».

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 04:26 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
А почему бы не усложнить себе жизнь, и не написать, что
для любого $x\in G$ существует элемент $y\in G$ такой, что $xyx=yxx=xxy=x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 05:26 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
AGu в сообщении #989968 писал(а):
среди таких моделей встречаются весьма экзотические экземпляры — например, несчетные
Кстати, ссылочки под рукой не найдётся? Интересно почитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 05:46 
Заслуженный участник


13/12/05
4673
AGu в сообщении #989968 писал(а):
предлагаемое определение системы натуральных чисел как произвольной модели арифметики Пеано

Речь о тех аксиомах Пеано, где аксиома индукции формулируется в логике второго порядка [url]https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиомы_Пеано[/url] Там уже никакой пакости не может быть.

iifat в сообщении #990046 писал(а):
А можно для особо тупых указать конкретное отличие первого от второго? Три раза перечёл — ну не вижу!

Во втором определении квантор $\exists N$ действует также и на условие 2г. А в первом определении в условии 3 непонятно, что означает буква $N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 10:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Kras в сообщении #990070 писал(а):
А почему бы не усложнить себе жизнь, и не написать, что
для любого $x\in G$ существует элемент $y\in G$ такой, что $xyx=yxx=xxy=x$

А это уже будет не обязательно группа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 10:35 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Padawan в сообщении #990079 писал(а):
Речь о тех аксиомах Пеано, где аксиома индукции формулируется в логике второго порядка
А, ну тогда все в порядке. Спасибо. (Разве что, в пунктах 3, 2г и 5 вместо $N\subset Z$ должно быть $N\subset M$.)

iifat в сообщении #990077 писал(а):
AGu в сообщении #989968 писал(а):
среди таких моделей встречаются весьма экзотические экземпляры — например, несчетные
Кстати, ссылочки под рукой не найдётся? Интересно почитать.
Ну тут подойдет любой учебник по логике/теории моделей, а для затравки можно заглянуть в Wikipediю. (Только именно в англоязычную статью, а не в одноименную русскоязычную. Последняя — безобразная недокалька первой.)

Geen в сообщении #990023 писал(а):
AGu в сообщении #989879 писал(а):
Главное — мы знаем [..]
Не вполне согласен. Т.е. вы-то знаете, но [...]
Я имел в виду упоротую расстановку всех кванторов и т.п. Зануда не оставил бы третье условие в первоначальном виде, но адекватный зануда ограничился бы добавлением фразки «где $e$ — тот самый/любой/некоторый элемент, удовлетворяющий второму условию».

Это же относится и к определению системы целых чисел, которое привел Padawan: там тоже второе условие однозначно определяет $N$. Как бы то ни было, в приведенном виде это определение, конечно же, не будет предлагаться первокурсникам для самостоятельного осмысления и обязательно будет сопровождаться разъяснениями и/или упражнениями. (Иначе его следовало бы запретить как описание одного из способов самоубийства.) В частности, будет сказано, что фигурирующее во втором условии множество $N$ единственно, изоморфно «стандартному» $\mathbb N$ и равно $\{n1:n\in\mathbb N\}$; что $Z$ совпадает со своей подгруппой, порожденной $N$, и что ничего таинственного тут нет и на самом деле $Z=-N\cup\{0\}\cup N$.

Короче говоря, я — за адекватное занудство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 10:56 
Заслуженный участник


13/12/05
4673

(Оффтоп)

AGu в сообщении #990130 писал(а):
(Разве что, в пунктах 3, 2г и 5 вместо $N\subset Z$ должно быть $N\subset M$.)

Ой. Поздно было. Исправил, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 11:07 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Kras в сообщении #990070 писал(а):
для любого $x\in G$ существует элемент $y\in G$ такой, что $xyx=yxx=xxy=x$
Только если добавить "единственный элемент $y$".

-- Сб мар 14, 2015 11:20:20 --

Хм, нет, возможно тоже не хватит. Вот если оставить только $xyx=x$, то точно сойдёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
$xyx=x\quad\nRightarrow\quad xy=e.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 14:23 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Munin в сообщении #990174 писал(а):
$xyx=x\quad\nRightarrow\quad xy=e.$
Да, но если для любого $x$ имеется единственный $y$, дающий равенство $xyx=x$, то это будет группа. (Это известный факт, о котором как раз и напомнил Nemiroff.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 83 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group