Некорректность в определении группы

[Padawan]

Группа кажется таким простым и хорошо известным понятием, что обсуждать её определение кажется бессмысленным. Но вопрос у меня возник в связи с другим понятием.

Рассмотрим определение системы целых чисел, если нам уже известно понятие системы натуральных чисел $(N,1,s)$ (как удовлетворяющей аксиомам Пеано)

Первое определение:
Тройка $(Z,+,1)$, где $Z$ -- непустое множество, $+\colon Z\times Z\to Z$ -- бинарная операция на множестве $Z$, $1\in Z$ -- элемент множества $Z$, называется системой целых чисел, если выполнены условия:
1. $(Z,+)$ -- коммутативная группа
2. Существует подмножество $N\subset Z$ такое, что:
2а. $1\in N$
2б. $N$ замкнуто относительно операции $s(x)=x+1$, т.е. из $x\in N$ следует $s(x)\in N$ для любого $x\in Z$
2в. $(N,1,s)$ -- система натуральных чисел
3. Если множество $M\subset Z$ удовлетворяет условиям: $N\subset M$, из $x,y\in M$ следует $x-y\in M$ для любых $x,y\in M$, то $M=Z$

Второе определение:
Тройка $(Z,+,1)$, где $Z$ -- непустое множество, $+\colon Z\times Z\to Z$ -- бинарная операция на множестве $Z$, $1\in Z$ -- элемент множества $Z$, называется системой целых чисел, если выполнены условия:
1. $(Z,+)$ -- коммутативная группа
2. Существует подмножество $N\subset Z$ такое, что
2а. $1\in N$
2б. $N$ замкнуто относительно операции $s(x)=x+1$, т.е. из $x\in N$ следует $s(x)\in N$ для любого $x\in Z$
2в. $(N,1,s)$ -- система натуральных чисел
2г. Если множество $M\subset Z$ удолетворяет условиям: $N\subset M$, из $x,y\in M$ следует $x-y\in M$ для любых $x,y\in M$, то $M=Z$

Третье определение:
Четверка $(Z,+,1,N)$, где $Z$ -- непустое множество, $+\colon Z\times Z\to Z$ -- бинарная операция на множестве $Z$, $1\in Z$ -- элемент множества $Z$, $N\subset Z$ -- подмножество множества $Z$, называется системой целых чисел, если выполнены условия:
1. $(Z,+)$ -- коммутативная группа
2. $1\in N$
3. $N$ замкнуто относительно операции $s(x)=x+1$, т.е. из $x\in N$ следует $s(x)\in N$ для любого $x\in Z$
4. $(N,1,s)$ -- система натуральных чисел
5. Если множество $M\subset Z$ удовлетворяет условиям: $N\subset M$, из $x,y\in M$ следует $x-y\in M$ для любых $x,y\in M$, то $M=Z$

Формально корректны второе и третье определение. Третье мне не нравится чрезмерно раздутой сигнатурой (множество $N$, удовлетворяющее
условиям 2 а,б,в второго определения единственно). Но все-таки я склоняюсь к формально некорректному первому определению.

[AGu]

Ну с этими кванторами мы уже разобрались, тут все просто и понятно, и мудрствовать тут можно только лукаво. Меня сейчас смутило другое — а именно, предлагаемое определение системы натуральных чисел как произвольной модели арифметики Пеано. Это, прямо скажем, необычный подход. Ведь среди таких моделей встречаются весьма экзотические экземпляры — например, несчетные. Вы намеренно решили разрушить имеющиеся на этот счет традиции?

[Munin]

AGu в сообщении #989879 писал(а):

Нет, так нельзя. (Там кванторы переплелись и второе условие потерялось.) Надо так:
$(\forall\,x)(\exists\,y)(\forall\,e)\bigl((\forall\,z)(e*z=z*e=z)\ \Rightarrow\ x*y=y*x=e\bigr)$
или, например, так:
$(\forall\,e)\bigl((\forall\,z)(e*z=z*e=z)\ \Rightarrow\ (\forall\,x)(\exists\,y)(x*y=y*x=e)\bigr)$

Да, $z$ я зевнул, а вот остальные кванторы - считал вынесенными в текстовую часть условия.

[Oleg Zubelevich]

я вот тоже что-то не въехал. пафос сообщения состоит в том, что между вторым и третьим пунктом надо проверить единственность единицы?

[Geen]

Oleg Zubelevich в сообщении #990017 писал(а):

я вот тоже что-то не въехал. пафос сообщения состоит в том, что между вторым и третьим пунктом надо проверить единственность единицы?

Видимо речь об абсолютно формальных (компьютерных) использованиях аксиом - в этом случае использование той же самой буквы ничего не значит.

-- 14.03.2015, 00:37 --

(Оффтоп)

Прошу прощения, а зачем нам вообще само мн-во $G$? (и обязательно непустое?)

-- 14.03.2015, 01:13 --

AGu в сообщении #989879 писал(а):

Главное — мы знаем, что при желании все это можно сделать строго формальным, и даже знаем, как это сделать. Но делать это на самом деле не обязательно и, как подсказывает печальный опыт сороконожки, даже вредно.

Не вполне согласен. Т.е. вы-то знаете, но у подавляющего большинства студентов нет такого навыка/времени/понимания в чём именно нужно разобраться. В результате либо "интуитивно всё понятно - интуиция рулит", либо "меня дурят, причём с самого начала". В обоих случаях результат печальный (по себе знаю)

[iifat]

Padawan в сообщении #989912 писал(а):

определение системы целых чисел

А можно для особо тупых указать конкретное отличие первого от второго? Три раза перечёл — ну не вижу!

Oleg Zubelevich в сообщении #990017 писал(а):

пафос сообщения

Пафос, имхо, в том, что в третьей аксиоме не указано явно, что $e$ — та самая единица группы, про которую говорилось во второй. Благородному дону Padawan захотелось понимать эту запись как «к любому элементу найдётся перестановочный».

[Kras]

А почему бы не усложнить себе жизнь, и не написать, что
для любого $x\in G$ существует элемент $y\in G$ такой, что $xyx=yxx=xxy=x$

[iifat]

AGu в сообщении #989968 писал(а):

среди таких моделей встречаются весьма экзотические экземпляры — например, несчетные

Кстати, ссылочки под рукой не найдётся? Интересно почитать.

[Padawan]

AGu в сообщении #989968 писал(а):

предлагаемое определение системы натуральных чисел как произвольной модели арифметики Пеано

Речь о тех аксиомах Пеано, где аксиома индукции формулируется в логике второго порядка [url]https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиомы_Пеано[/url] Там уже никакой пакости не может быть.

iifat в сообщении #990046 писал(а):

А можно для особо тупых указать конкретное отличие первого от второго? Три раза перечёл — ну не вижу!

Во втором определении квантор $\exists N$ действует также и на условие 2г. А в первом определении в условии 3 непонятно, что означает буква $N$.

[Munin]

Kras в сообщении #990070 писал(а):

А почему бы не усложнить себе жизнь, и не написать, что
для любого $x\in G$ существует элемент $y\in G$ такой, что $xyx=yxx=xxy=x$

А это уже будет не обязательно группа.

[AGu]

Padawan в сообщении #990079 писал(а):

Речь о тех аксиомах Пеано, где аксиома индукции формулируется в логике второго порядка

А, ну тогда все в порядке. Спасибо. (Разве что, в пунктах 3, 2г и 5 вместо $N\subset Z$ должно быть $N\subset M$.)

iifat в сообщении #990077 писал(а):

AGu в сообщении #989968 писал(а):

среди таких моделей встречаются весьма экзотические экземпляры — например, несчетные

Кстати, ссылочки под рукой не найдётся? Интересно почитать.

Ну тут подойдет любой учебник по логике/теории моделей, а для затравки можно заглянуть в Wikipediю. (Только именно в англоязычную статью, а не в одноименную русскоязычную. Последняя — безобразная недокалька первой.)

Geen в сообщении #990023 писал(а):

AGu в сообщении #989879 писал(а):

Главное — мы знаем [..]

Не вполне согласен. Т.е. вы-то знаете, но [...]

Я имел в виду упоротую расстановку всех кванторов и т.п. Зануда не оставил бы третье условие в первоначальном виде, но адекватный зануда ограничился бы добавлением фразки «где $e$ — тот самый/любой/некоторый элемент, удовлетворяющий второму условию».

Это же относится и к определению системы целых чисел, которое привел Padawan: там тоже второе условие однозначно определяет $N$. Как бы то ни было, в приведенном виде это определение, конечно же, не будет предлагаться первокурсникам для самостоятельного осмысления и обязательно будет сопровождаться разъяснениями и/или упражнениями. (Иначе его следовало бы запретить как описание одного из способов самоубийства.) В частности, будет сказано, что фигурирующее во втором условии множество $N$ единственно, изоморфно «стандартному» $\mathbb N$ и равно $\{n1:n\in\mathbb N\}$; что $Z$ совпадает со своей подгруппой, порожденной $N$, и что ничего таинственного тут нет и на самом деле $Z=-N\cup\{0\}\cup N$.

Короче говоря, я — за адекватное занудство.

[Padawan]

(Оффтоп)

AGu в сообщении #990130 писал(а):

(Разве что, в пунктах 3, 2г и 5 вместо $N\subset Z$ должно быть $N\subset M$.)

Ой. Поздно было. Исправил, спасибо.

[Nemiroff]

Kras в сообщении #990070 писал(а):

для любого $x\in G$ существует элемент $y\in G$ такой, что $xyx=yxx=xxy=x$

Только если добавить "единственный элемент $y$".

-- Сб мар 14, 2015 11:20:20 --

Хм, нет, возможно тоже не хватит. Вот если оставить только $xyx=x$, то точно сойдёт.

[Munin]

$xyx=x\quad\nRightarrow\quad xy=e.$

[AGu]

Munin в сообщении #990174 писал(а):

$xyx=x\quad\nRightarrow\quad xy=e.$

Да, но если для любого $x$ имеется единственный $y$, дающий равенство $xyx=x$, то это будет группа. (Это известный факт, о котором как раз и напомнил Nemiroff.)