Некорректность в определении группы

[Nemiroff]

Потому что из единственности обратного не следует единственность псевдообратного. Инверсные полугруппы имеют единственный обратный, но это не подходит под требования в теореме.

[iifat]

Nemiroff в сообщении #990911 писал(а):

$0$ и $1$ с обычным умножением формируют инверсную полугруппу

$0^{-1}=$???

[Nemiroff]

Ноль.

[Munin]

Ясно, то есть надо писать

$$\exists!\,y\quad xyx=x\qquad\overset{\textstyle\Rightarrow}{\underset{\textstyle\nLeftarrow}{}}\qquad\exists!\,y\quad xyx=x\wedge yxy=y.$$

-- 16.03.2015 14:49:17 --

И таким образом,

$$(\text{группы по теореме на math.SE})\qquad\overset{\textstyle\subseteq}{\underset{\textstyle\nsupseteq}{}}\qquad(\text{инверсные полугруппы})$$

[Nemiroff]

Munin в сообщении #991016 писал(а):

Ясно, то есть надо писать

Угу.

iifat в сообщении #991001 писал(а):

$0^{-1}=$???

Обратный для единицы при этом --- единица. В полугруппе два идемпотента, а потому это заведомо не группа.
Псевдообратный для единицы единствен, а для нуля нет.

[lek]

Хороший пример. Кстати, справедлив следующий аналог утверждения на math.SE: всякая регулярная полугруппа (т.е. полугруппа, в которой для всякого ее элемента $a$ существует хотя бы один такой элемент $x$, что $axa=a$) с единственным идемпотентом является группой.

[Mitrius_Math]

AGu в сообщении #990649 писал(а):

Mitrius_Math, если почитать эту ветку, то наверняка можно догадаться, что одним лишь навешиванием в пункте в) квантора $\exists\,e$ мы получим не группу, а... не знаю, как она называется. Для определенности я назову ее фигней (а точнее, фигней с правой единицей, хотя наверняка есть более подходящий термин). Беда в том, что в пунктах б) и в) эти самые $e$ чисто формально могут быть разными. (Мы это все уже неоднократно проходили.) Например, если в качестве $(G,{\odot})$ взять $\mathbb R^2$ с поточечным умножением, то получится фигня: это не группа (так как, например, у элементов $(0,0)$ и $(1,0)$ нет обратных), но всем аксиомам фигни удовлетворяет, причем в пункте б) в качестве $e$ можно взять честную единицу $e=(1,1)$, а в пункте в) — совсем наоборот, наглый ноль $e=(0,0)$.

Да что я! Можно же просто $\mathbb R$ взять с обычным умножением. Или даже $\mathbb Z$. И тоже будет фигня — ровно по той же причине.

См. Введение в теорию групп, Александров, с. 32.

[Nemiroff]

Mitrius_Math в сообщении #994552 писал(а):

См. Введение в теорию групп, Александров, с. 32.

И чего там?