Система дифф. уравнений, спираль

[MestnyBomzh]

Добрый вечер! Столкнулся со следующей системой:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x}&=z_x& \\ \dot{y}&=z_y&\\ \dot{z_x}&=(x_A-x)k_A+(x_B-x)k_B+(x_c-x)k_c- F \frac{z_x}{\sqrt{z_x^2+z_y^2}}& \\ \dot{z_y}&=(y_A-y)k_A+(y_B-y)k_B+(y_c-y)k_c- F \frac{z_y}{\sqrt{z_x^2+z_y^2}}&\\ \end{array} \right.$$

Хотелось бы доказать, что решения данной системы - спирали, причем закручивающиеся вокруг стационарной точки: $x = \frac{k_Ax_A+k_Bx_B+k_Cx_C}{k_A+k_B+k_C}, y =\frac{k_Ay_A+k_By_B+k_Cy_C}{k_A+k_B+k_C}$
Пробовал решить эту проблему двумя путями:
1) Линеаризую систему, нахожу собст. числа, получаю, что действительная часть собственных чисел нулевая, т.е сказать ничего нельзя.
2) Пробовал перейти к полярным координатам, чтобы избавиться от производных в правой части, но не помогло: там $r$ вылезает в знаменателе и происходит деление на ноль.
Подскажите, пожалуйста, направление, в котором двигаться

[ИСН]

Очень много ненужных букв. Всем ли интересно, что происходило в системе до того, как Вы объединили все константы, какие можно, и перенесли начало координат в интересующую нас точку?

[MestnyBomzh]

Соглсаен. Вот система, с началом координат в нужной точке:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{u}&=z_x& \\ \dot{v}&=z_y&\\ \dot{z_x}&=-u \cdot a- F \frac{z_x}{\sqrt{z_x^2+z_y^2}}& \\ \dot{z_y}&=-v \cdot a- F \frac{z_y}{\sqrt{z_x^2+z_y^2}}&\\ \end{array} \right.$$

Где а - известная константа

[ИСН]

Гораздо лучше. Теперь что такое $z_x$ и $z_y$? По смыслу написанного - это как бы ещё две независимые переменные. Зачем тогда каждая из них обозначается двумя буквами?

[MestnyBomzh]

Окей, можем переобозначить:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{u}&=p& \\ \dot{v}&=h&\\ \dot{p}&=-u \cdot a- F \frac{p}{\sqrt{p^2+h^2}}& \\ \dot{h}&=-v \cdot a- F \frac{h}{\sqrt{p^2+h^2}}&\\ \end{array} \right.$$

-- 11.03.2015, 01:23 --

Или Вы имели в виду перейти к системе из двух дифф уравнений второго порядка?

[ИСН]

Нет, теперь норм, вот это и имел в виду. Теперь думать надо.

[MestnyBomzh]

Собственно, вот у этой системы все собственные чисто мнимые.

-- 11.03.2015, 01:47 --

Вообще, может помочь следующая информация: это физическая модель маятника на трех пружинах с трением. Трение выражает последнее слагаемое. КОгда его нет все тривиально, можно даже в лоб решить: получаются эллипсы. Интуитивно понятно, трение будет тормозить эти эллипсы, отсюда и завитушка, но это совсем нестрого

[ИСН]

Лень вникать, короче: нет ли у нас какой-нибудь величины, которая без трения сохраняется, а с трением - строго убывает?

[MestnyBomzh]

Энергия. Без трения сохраняется. С трением убывает, отдавая часть на работу силы трения

[ИСН]

Ну дак поэтому и выходят спирали, нет?

[MestnyBomzh]

А что, во всякой системе, где энергия убывает со временем спиральки появляются? довольно неочевидно.. Почему не какие-нибудь другие затухающие функции?

[Pphantom]

Не знаю, насколько это пригодно для использования в качестве "доказательства", но, по идее, рассматриваемая система для декартовых координат $(u,v)$ описывает два перпендикулярных гармонических колебания точки с одной и той же частотой (первые члены справа), причем на точку дополнительно действует чуть видоизмененная сила сопротивления среды (при $F>0$, вторые члены справа). В такой интерпретации результат становится очевидным.

[MestnyBomzh]

Так, с этим я понял. А как доказать то, что всякая траектория будет стремиться к точке $(0,0)$ (в координатах $uv$)?
Опять же, интуитивно понятно: был эллипс (когда не было трения), а сила трения смещает эллипс в центр. Но строго как доказать? Почему именно центр эллипса?

[Pphantom]

MestnyBomzh в сообщении #988945 писал(а):

Опять же, интуитивно понятно: был эллипс (когда не было трения), а сила трения смещает эллипс в центр. Но строго как доказать? Почему именно центр эллипса?

Это минимум потенциальной энергии для "упругих" членов.

[MestnyBomzh]

Pphantom
То есть Вы хотите сказать, что $\frac{k_al^2_a}{2}+\frac{k_bl^2_b}{2}+\frac{k_cl^2_c}{2}$ принимает наименьшее значение в точке $x = \frac{k_Ax_A+k_Bx_B+k_Cx_C}{k_A+k_B+k_C}, y =\frac{k_Ay_A+k_By_B+k_Cy_C}{k_A+k_B+k_C}$? Пока что не очевидно....