2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение10.03.2015, 23:48 
Аватара пользователя


17/10/13
726
Деревня
Добрый вечер! Столкнулся со следующей системой:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \dot{x}&=z_x& \\
\dot{y}&=z_y&\\
 \dot{z_x}&=(x_A-x)k_A+(x_B-x)k_B+(x_c-x)k_c- F \frac{z_x}{\sqrt{z_x^2+z_y^2}}& \\
\dot{z_y}&=(y_A-y)k_A+(y_B-y)k_B+(y_c-y)k_c- F \frac{z_y}{\sqrt{z_x^2+z_y^2}}&\\
\end{array}
\right.$$
Хотелось бы доказать, что решения данной системы - спирали, причем закручивающиеся вокруг стационарной точки: $x = \frac{k_Ax_A+k_Bx_B+k_Cx_C}{k_A+k_B+k_C}, y =\frac{k_Ay_A+k_By_B+k_Cy_C}{k_A+k_B+k_C}$
Пробовал решить эту проблему двумя путями:
1) Линеаризую систему, нахожу собст. числа, получаю, что действительная часть собственных чисел нулевая, т.е сказать ничего нельзя.
2) Пробовал перейти к полярным координатам, чтобы избавиться от производных в правой части, но не помогло: там $r$ вылезает в знаменателе и происходит деление на ноль.
Подскажите, пожалуйста, направление, в котором двигаться

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение10.03.2015, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Очень много ненужных букв. Всем ли интересно, что происходило в системе до того, как Вы объединили все константы, какие можно, и перенесли начало координат в интересующую нас точку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение11.03.2015, 00:02 
Аватара пользователя


17/10/13
726
Деревня
Соглсаен. Вот система, с началом координат в нужной точке:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \dot{u}&=z_x& \\
\dot{v}&=z_y&\\
 \dot{z_x}&=-u \cdot a- F \frac{z_x}{\sqrt{z_x^2+z_y^2}}& \\
\dot{z_y}&=-v \cdot a- F \frac{z_y}{\sqrt{z_x^2+z_y^2}}&\\
\end{array}
\right.$$
Где а - известная константа

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение11.03.2015, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Гораздо лучше. Теперь что такое $z_x$ и $z_y$? По смыслу написанного - это как бы ещё две независимые переменные. Зачем тогда каждая из них обозначается двумя буквами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение11.03.2015, 00:22 
Аватара пользователя


17/10/13
726
Деревня
Окей, можем переобозначить:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \dot{u}&=p& \\
\dot{v}&=h&\\
 \dot{p}&=-u \cdot a- F \frac{p}{\sqrt{p^2+h^2}}& \\
\dot{h}&=-v \cdot a- F \frac{h}{\sqrt{p^2+h^2}}&\\
\end{array}
\right.$$

-- 11.03.2015, 01:23 --

Или Вы имели в виду перейти к системе из двух дифф уравнений второго порядка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение11.03.2015, 00:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Нет, теперь норм, вот это и имел в виду. Теперь думать надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение11.03.2015, 00:45 
Аватара пользователя


17/10/13
726
Деревня
Собственно, вот у этой системы все собственные чисто мнимые.

-- 11.03.2015, 01:47 --

Вообще, может помочь следующая информация: это физическая модель маятника на трех пружинах с трением. Трение выражает последнее слагаемое. КОгда его нет все тривиально, можно даже в лоб решить: получаются эллипсы. Интуитивно понятно, трение будет тормозить эти эллипсы, отсюда и завитушка, но это совсем нестрого

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение11.03.2015, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Лень вникать, короче: нет ли у нас какой-нибудь величины, которая без трения сохраняется, а с трением - строго убывает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение11.03.2015, 00:54 
Аватара пользователя


17/10/13
726
Деревня
Энергия. Без трения сохраняется. С трением убывает, отдавая часть на работу силы трения

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение11.03.2015, 01:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Ну дак поэтому и выходят спирали, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение11.03.2015, 01:03 
Аватара пользователя


17/10/13
726
Деревня
А что, во всякой системе, где энергия убывает со временем спиральки появляются? довольно неочевидно.. Почему не какие-нибудь другие затухающие функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение11.03.2015, 01:07 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14514
Кронштадт
Не знаю, насколько это пригодно для использования в качестве "доказательства", но, по идее, рассматриваемая система для декартовых координат $(u,v)$ описывает два перпендикулярных гармонических колебания точки с одной и той же частотой (первые члены справа), причем на точку дополнительно действует чуть видоизмененная сила сопротивления среды (при $F>0$, вторые члены справа). В такой интерпретации результат становится очевидным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение11.03.2015, 21:24 
Аватара пользователя


17/10/13
726
Деревня
Так, с этим я понял. А как доказать то, что всякая траектория будет стремиться к точке $(0,0)$ (в координатах $uv$)?
Опять же, интуитивно понятно: был эллипс (когда не было трения), а сила трения смещает эллипс в центр. Но строго как доказать? Почему именно центр эллипса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение12.03.2015, 00:36 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14514
Кронштадт
MestnyBomzh в сообщении #988945 писал(а):
Опять же, интуитивно понятно: был эллипс (когда не было трения), а сила трения смещает эллипс в центр. Но строго как доказать? Почему именно центр эллипса?
Это минимум потенциальной энергии для "упругих" членов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений, спираль
Сообщение12.03.2015, 01:06 
Аватара пользователя


17/10/13
726
Деревня
Pphantom
То есть Вы хотите сказать, что $\frac{k_al^2_a}{2}+\frac{k_bl^2_b}{2}+\frac{k_cl^2_c}{2}$ принимает наименьшее значение в точке $x = \frac{k_Ax_A+k_Bx_B+k_Cx_C}{k_A+k_B+k_C}, y =\frac{k_Ay_A+k_By_B+k_Cy_C}{k_A+k_B+k_C}$? Пока что не очевидно....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group