Векторный анализ

[Red_Herring]

watmann
Тут похожие вещи считаются и объясняются

[watmann]

Red_Herring писал(а):

Ваши "картинки" (плохо сделанные снимки с помощью мобильника) та же самая фигня. Напишите задание как оно было, без всяких "улучшений"!

1) $\operatorname{grad} (A \cdot B) = A \times \operatorname{rot} B + B \times \operatorname{rot}A + (B \cdot \nabla)A+ (A \cdot \nabla)B$

2) $ C \cdot \nabla (A \cdot B) = A \cdot (C \cdot \nabla)B+ B \cdot (C \cdot \nabla)A$

3) $(A \times \nabla) \times B = (A \cdot \nabla)B + A \times (\nabla \times B) - A(\nabla \cdot B)$

-- 09.03.2015, 04:05 --

Nemiroff писал(а):

Скажите, а вас нисколько не смущает, что в процессе решения вы получаете бред вида $A\times B\times\nabla$, что бы эта запись ни значила, а потом этот бред пытаетесь какими-то фокусами "замести под ковёр"?

Я конечно очень извиняюсь, но да, я - тупой студент, которому векторный анализ читали примитивно 3 семинара. А двойное векторное произведение вообще не выносилось в основной курс алгебры. И да у меня начинается электродинамика. Нам дали задание. Сказали разобраться. Поэтому я очень прошу не писать что-то вроде "а вас не смущает?", а что-то вроде " так не может быть потому что".

-- 09.03.2015, 04:09 --

Nemiroff писал(а):

Я, честно говоря, не умею решать подобные задачи способами "со стрелочками" и тому подобными. Я могу вспомнить страшные слова вида "символ Леви-Чивиты" или поднапрячься с чем-то, отдалённо напоминающим алгебру, ответ один будет.
А стрелочки — это вот я что-то не соображаю.

Стрелочки - это просто что бы не запутаться на что действует набла. С символами леви-чивита я находила выкладки на иностранных сайтах, но там я ещё больше (да, представляете бывает ещё больше) запуталась.

[Nemiroff]

watmann в сообщении #987661 писал(а):

я - тупой студент, которому векторный анализ читали примитивно 3 семинара. А двойное векторное произведение вообще не выносилось в основной курс алгебры. И да у меня начинается электродинамика. Нам дали задание. Сказали разобраться.

Я так люблю эти душераздирающие истории.

watmann в сообщении #987661 писал(а):

Поэтому я очень прошу не писать что-то вроде "а вас не смущает?", а что-то вроде " так не может быть потому что".

Хорошо. Так не может быть, потому что набла — это не полноценный вектор. Это оператор дифференцирования. И он должен что-то дифференцировать.
Давайте попробуем по-вашему (только вместо стрелок я буду ставить точки). Будет, как и у вас, получаться бредятина, но мы не будем смущаться, а будем смело крутить и вертеть.

Итак $\nabla (A \cdot B) = \nabla (\dot A \cdot B) + \nabla (A \cdot \dot B)$ — это правило Лейбница. Всюду далее точка будет пониматься как указатель на то, что дифференцируется. Если точки над штукой не стоит, штука не дифференцируется, а потому её спокойно можно менять местами с наблой — набла и так на неё не действует.
Далее, двойное векторное: $a\times(b\times c)=b(a\cdot c)-c(a\cdot b)$. О скалярном произведении мы знаем полезную штуку: оно коммутативно. Запомним.
Теперь для первого слагаемого в правой части нашего правила Лейбница делаем так: пусть $a=B$, $b=\nabla$, $c=\dot A$.
Получаем $B\times(\nabla\times \dot A)=\nabla(B\cdot \dot A)-\dot A(B\cdot \nabla)$. Переносим влево-вправо: $\nabla(B\cdot \dot A)=B\times(\nabla\times \dot A)+\dot A(B\cdot \nabla)$ — слева стоит то же самое, что и в правиле Лейбница, только внутри скобок порядок другой.
Справа: $\nabla\times \dot A$ — это ротор, это определение; $\dot A(B\cdot \nabla)$ — это какая-то бредятина, однако формально $\dot A$ — это вектор, а $(B\cdot \nabla)$ — это "число", а потому поменяем их местами ($2\vec{x}=\vec{x}\cdot 2$). Получаем ровно то, что нужно: $\nabla (\dot A \cdot B)=B\times(\nabla\times \dot A) + (B\cdot \nabla)\dot A$.

Повторяем для второго слагаемого: $\nabla (A \cdot \dot B)=A\times(\nabla\times \dot B) + (A\cdot \nabla)\dot B$

Замечаем, что у нас всюду после наблы стоит величина с точкой, и величина с точкой стоит только после наблы — а потому убираем точки. Выходит ваша формула.

Видимо, как-то так предполагается решать.