Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.

[Andrei94]

Задача такая. В треугольнике $ABC$ известны углы $\angle(BAC)=\alpha$, $\angle(ABC)=\beta$, $\angle(BCA)=\gamma$. Медиана $AM=m$. Найдите площадь треугольника.



Надо попробовать связать все величины как-то. Я достроил до параллелограмма и ввел обозначения, может пригодится.

Искомая площадь $S=0,5ab\sin\alpha=bc\sin\gamma=ac\sin\beta$.

Можно написать связь диагоналей и сторон параллелограмма.

$2a^2+2b^2=4m^2+4c^2$.

Теорема косинусов для двух маленьких треугольников.

$m^2=c^2+b^2-bc\cos\gamma=a^2+c^2-2ac\cos\beta$.

Дальше пока не вижу -- в какую сторону думать. Подскажите, пожалуйста!

[Hasek]

Существуют формулы, выражающие площадь треугольника по одной из его сторон и двум прилежащим углам (или всем трем). Например, $S=\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2\sin \alpha} = \frac{c^2}{2(\ctg \alpha + \ctg \beta)}. Неизвестную сторону можно найти, зная медиану и углы.

[gris]

Если уж совсем в лоб, то с помощью теоремы синусов можно выразить через $c$, например, все остальные стороны. А далее по Вашим формулам всё и получится. Может быть, увидев ответ, Вы придумаете более изящное решение.

[ewert]

По теореме синусов $a=m\frac{\sin\delta}{\sin\beta}$ и $b=m\frac{\sin\delta}{\sin\gamma}$, где $\delta$ -- какой-либо из углов с вершиной в точке $M$. Для полного счастья не хватает $\sin^2\delta$ (квадрата, т.к. интересовать нас должно $ab$). Ну так выразите удвоенную медиану по теореме косинусов из треугольника $ABD$ и подставьте туда выражения для $a$ и $b$ -- сразу нужный квадрат синуса и выскочит.

[Andrei94]

ewert в сообщении #986368 писал(а):

По теореме синусов $a=m\frac{\sin\delta}{\sin\beta}$ и $b=m\frac{\sin\delta}{\sin\gamma}$, где $\delta$ -- какой-либо из углов с вершиной в точке $M$. Для полного счастья не хватает $\sin^2\delta$ (квадрата, т.к. интересовать нас должно $ab$). Ну так выразите удвоенную медиану по теореме косинусов из треугольника $ABD$ и подставьте туда выражения для $a$ и $b$ -- сразу нужный квадрат синуса и выскочит.

Именно для треугольника $ABD$ теорему косинусов? Там же нет угла $\delta$. Для какого угла там?

[ewert]

Andrei94 в сообщении #986376 писал(а):

Именно для треугольника $ABD$ теорему косинусов? Там же нет угла $\delta$.

Именно для него. Там этого угла нет, ну и не нужно -- он есть в выражениях для $a$ и $b$. После подстановки этих выражений в теорему косинусов $m^2$ сократится и останется только $\sin^2\delta$ (не считая известных углов).

[Евгений Машеров]

Как вариант - по формуле для медианы через стороны и теореме синусов определяем радиус описанной окружности R, затем подставляем в формулу для площади через R и углы.

[ewert]

(Оффтоп)

Hasek в сообщении #986365 писал(а):

Например, $S=\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2\sin \alpha} = \frac{c^2}{2(\ctg \alpha + \ctg \beta)}.

Евгений Машеров в сообщении #986452 писал(а):

по формуле для медианы через стороны и теореме синусов определяем радиус описанной окружности К, затем подставляем в формулу для площади через R и углы.

Ребята, вы слишком много формул знаете. Между тем: меньше знаешь -- лучше спишь.

[Евгений Машеров]

Не знаю, может, и перемудрил, но если даны три угла - сразу теорема синусов вспоминается, а в ней радиус описанной окружности. Если задана длина медианы - вспоминается её связь со сторонами. Единственная формула, которая вроде не из школьной программы (а может, просто забыл, и в силу склероза в справочник полез)
$S=\frac {abc}{4R}$

[ewert]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #987090 писал(а):

Не знаю, может, и перемудрил,

Не знаю, может и нет; но в моём представлении для треугольников существуют лишь две теоремы (не считая Пифагора, конечно): это -- теоремы синусов и косинусов. Все прочие примерно в 99.95% случаев бесполезны, в остальных же полезными могут оказаться разве что ради самоутверждения сочинителей.

Однако конкретно здесь сочинители вроде и не пытались самоутверждаться.

[Kras]

(Оффтоп)

Евгений Машеров, меньше знаешь -- лучше спишь.

Andrei94

Вы про скалярное произведение слышали что-нибудь? Обозначим $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{c}$, тогда медиана $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{m}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$.
Теперь с одной стороны $(-\overrightarrow{a})\overrightarrow{c}=ac\cos \beta$
С другой стороны $(-\overrightarrow{a})\overrightarrow{c}=(-\overrightarrow{a})(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=(-\overrightarrow{a})(\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{a} \overrightarrow{b})=\frac{1}{2}(a^2-ab\cos \alpha)$

Приравниваем, сокращаем на $a$, получаем уравнение. Теперь, как вы правильно заметили, нам поможет векторное произведение. Если у вас есть конкретные значения углов, то всё будет выглядеть намного проще.

[timtam]

Хотя автор темы с 6-го числа форум не посещал, попробую предложить еще такое решение.
Сначала построим подобный треугольник, задав одну из сторон произвольным образом.
Далее по Т. Синусов. найдем длины остальных сторон.
Посчитаем длину медианы получившегося треугольника по известной формуле.
Ну а далее - коэффициент подобия и, следовательно легко считается площадь искомого треугольника.
Может быть долго, зато не надо каких-то изощренных формул выискивать и, главное, ничего потом доказывать не надо,
т.к. все построения/рассчеты очевидны.

[timtam]

Для простоты составления формул я взял $a=1$

[timtam]

Если ничего не напутал получилась следующая формула:

$S=\sin\alpha\sin\beta/\sin\gamma\cdot4m^2/(2+2(\sin\alpha/\sin\beta)^2-(\sin\alpha/\sin\gamma)^2)$

[atlakatl]

timtam в сообщении #990447 писал(а):

Если ничего не напутал получилась следующая формула:

$S=\sin\alpha\sin\beta/\sin\gamma\cdot4m^2/(2+2(\sin\alpha/\sin\beta)^2-(\sin\alpha/\sin\gamma)^2)$

При $\gamma = \pi/2, \alpha=\beta=\pi/4$ должно быть $m^2$.
У Вас же что-то более громоздкое.