2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение06.03.2015, 11:54 


22/11/11
380
Задача такая. В треугольнике $ABC$ известны углы $\angle(BAC)=\alpha$, $\angle(ABC)=\beta$, $\angle(BCA)=\gamma$. Медиана $AM=m$. Найдите площадь треугольника.

Изображение

Надо попробовать связать все величины как-то. Я достроил до параллелограмма и ввел обозначения, может пригодится.

Искомая площадь $S=0,5ab\sin\alpha=bc\sin\gamma=ac\sin\beta$.

Можно написать связь диагоналей и сторон параллелограмма.

$2a^2+2b^2=4m^2+4c^2$.

Теорема косинусов для двух маленьких треугольников.

$m^2=c^2+b^2-bc\cos\gamma=a^2+c^2-2ac\cos\beta$.

Дальше пока не вижу -- в какую сторону думать. Подскажите, пожалуйста!

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение06.03.2015, 12:12 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Существуют формулы, выражающие площадь треугольника по одной из его сторон и двум прилежащим углам (или всем трем). Например, $S=\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2\sin \alpha} = \frac{c^2}{2(\ctg \alpha + \ctg \beta)}. Неизвестную сторону можно найти, зная медиану и углы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение06.03.2015, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13259
Если уж совсем в лоб, то с помощью теоремы синусов можно выразить через $c$, например, все остальные стороны. А далее по Вашим формулам всё и получится. Может быть, увидев ответ, Вы придумаете более изящное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение06.03.2015, 12:20 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
По теореме синусов $a=m\frac{\sin\delta}{\sin\beta}$ и $b=m\frac{\sin\delta}{\sin\gamma}$, где $\delta$ -- какой-либо из углов с вершиной в точке $M$. Для полного счастья не хватает $\sin^2\delta$ (квадрата, т.к. интересовать нас должно $ab$). Ну так выразите удвоенную медиану по теореме косинусов из треугольника $ABD$ и подставьте туда выражения для $a$ и $b$ -- сразу нужный квадрат синуса и выскочит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение06.03.2015, 12:47 


22/11/11
380
ewert в сообщении #986368 писал(а):
По теореме синусов $a=m\frac{\sin\delta}{\sin\beta}$ и $b=m\frac{\sin\delta}{\sin\gamma}$, где $\delta$ -- какой-либо из углов с вершиной в точке $M$. Для полного счастья не хватает $\sin^2\delta$ (квадрата, т.к. интересовать нас должно $ab$). Ну так выразите удвоенную медиану по теореме косинусов из треугольника $ABD$ и подставьте туда выражения для $a$ и $b$ -- сразу нужный квадрат синуса и выскочит.

Именно для треугольника $ABD$ теорему косинусов? Там же нет угла $\delta$. Для какого угла там?

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение06.03.2015, 12:52 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
Andrei94 в сообщении #986376 писал(а):
Именно для треугольника $ABD$ теорему косинусов? Там же нет угла $\delta$.

Именно для него. Там этого угла нет, ну и не нужно -- он есть в выражениях для $a$ и $b$. После подстановки этих выражений в теорему косинусов $m^2$ сократится и останется только $\sin^2\delta$ (не считая известных углов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение06.03.2015, 14:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5946
Москва
Как вариант - по формуле для медианы через стороны и теореме синусов определяем радиус описанной окружности R, затем подставляем в формулу для площади через R и углы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение06.03.2015, 15:38 
Заслуженный участник


11/05/08
31483

(Оффтоп)

Hasek в сообщении #986365 писал(а):
Например, $S=\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2\sin \alpha} = \frac{c^2}{2(\ctg \alpha + \ctg \beta)}.

Евгений Машеров в сообщении #986452 писал(а):
по формуле для медианы через стороны и теореме синусов определяем радиус описанной окружности К, затем подставляем в формулу для площади через R и углы.

Ребята, вы слишком много формул знаете. Между тем: меньше знаешь -- лучше спишь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение07.03.2015, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5946
Москва
Не знаю, может, и перемудрил, но если даны три угла - сразу теорема синусов вспоминается, а в ней радиус описанной окружности. Если задана длина медианы - вспоминается её связь со сторонами. Единственная формула, которая вроде не из школьной программы (а может, просто забыл, и в силу склероза в справочник полез)
$S=\frac {abc}{4R}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение07.03.2015, 20:52 
Заслуженный участник


11/05/08
31483

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #987090 писал(а):
Не знаю, может, и перемудрил,

Не знаю, может и нет; но в моём представлении для треугольников существуют лишь две теоремы (не считая Пифагора, конечно): это -- теоремы синусов и косинусов. Все прочие примерно в 99.95% случаев бесполезны, в остальных же полезными могут оказаться разве что ради самоутверждения сочинителей.

Однако конкретно здесь сочинители вроде и не пытались самоутверждаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение07.03.2015, 23:05 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/

(Оффтоп)

Евгений Машеров, меньше знаешь -- лучше спишь.

Andrei94
Изображение
Вы про скалярное произведение слышали что-нибудь? Обозначим $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{c}$, тогда медиана $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{m}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$.
Теперь с одной стороны $(-\overrightarrow{a})\overrightarrow{c}=ac\cos \beta$
С другой стороны $(-\overrightarrow{a})\overrightarrow{c}=(-\overrightarrow{a})(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=(-\overrightarrow{a})(\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{a} \overrightarrow{b})=\frac{1}{2}(a^2-ab\cos \alpha)$

Приравниваем, сокращаем на $a$, получаем уравнение. Теперь, как вы правильно заметили, нам поможет векторное произведение. Если у вас есть конкретные значения углов, то всё будет выглядеть намного проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение14.03.2015, 19:43 


04/03/15
48
Хотя автор темы с 6-го числа форум не посещал, попробую предложить еще такое решение.
Сначала построим подобный треугольник, задав одну из сторон произвольным образом.
Далее по Т. Синусов. найдем длины остальных сторон.
Посчитаем длину медианы получившегося треугольника по известной формуле.
Ну а далее - коэффициент подобия и, следовательно легко считается площадь искомого треугольника.
Может быть долго, зато не надо каких-то изощренных формул выискивать и, главное, ничего потом доказывать не надо,
т.к. все построения/рассчеты очевидны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение14.03.2015, 20:49 


04/03/15
48
Для простоты составления формул я взял $a=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 00:33 


04/03/15
48
Если ничего не напутал получилась следующая формула:

$S=\sin\alpha\sin\beta/\sin\gamma\cdot4m^2/(2+2(\sin\alpha/\sin\beta)^2-(\sin\alpha/\sin\gamma)^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 04:27 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
timtam в сообщении #990447 писал(а):
Если ничего не напутал получилась следующая формула:

$S=\sin\alpha\sin\beta/\sin\gamma\cdot4m^2/(2+2(\sin\alpha/\sin\beta)^2-(\sin\alpha/\sin\gamma)^2)$

При $\gamma = \pi/2, \alpha=\beta=\pi/4$ должно быть $m^2$.
У Вас же что-то более громоздкое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group