2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 10:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12999
Ответ к задаче должен быть симметричен относительно боковых углов, возможно и неявно. Если в процессе решения эту симметрию культивировать (например, для медианы использовать две теоремы косинусов), то симметрия останется явной и ответ будет красивым и ясным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 13:15 


04/03/15
48
Цитата:
При $\gamma = \pi/2, \alpha=\beta=\pi/4$ должно быть $m^2$.
У Вас же что-то более громоздкое.


Спасибо. Я уже как-то подзабыл, что выведенные формулы нужно проверять по известным значениям.
Идея была верной.
Меня несколько дезориентировали обозначения введенные автором топика.
Вот так выглядит формула, где нет путаницы с обозначением углов и сторон треугольника

$S=\sin\beta\sin\gamma/\sin\alpha\cdot2m^2/(2+2(\sin\beta/\sin\alpha)^2-(\sin\gamma/\sin\alpha)^2)$

При $\gamma = \pi/2, \alpha=\beta=\pi/4$ выражение сокращается до $m^2$ (ч.т.д.)

Цитата:
ответ будет красивым и ясным.

А где в условии задачи было сказано, что ответ должен быть красивым и ясным?
Во всяком случае, мой способ решения не требует доказательств т.к. основан на очевидных предположениях и известных формулах.
Впрочем я сразу сказал, что изящным такое решение не назовешь.
С другой стороны, если, напимер вспомнить формулу для вычисления площади треугольника по трем высотам,
то там тоже мама не горюй)

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5626
Москва
Ну вот я имел в виду использовать выражение для длины медианы $4m^2=2a^2+2b^2-c^2$, для площади треугольника $S=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ и теорему синусов $\frac a {\sin\alpha}=\frac b {\sin\beta}=\frac c {\sin\gamma}=2R$
Подставляя третье в первое, получим
$4m^2=8R^2\sin^2\alpha+8R^2\sin^2\beta-4R^2\sin^2\gamma$
откуда $R^2=\frac {m^2}{2\sin^2\alpha+2\sin^2\beta-\sin^2\gamma}$
и $S=\frac {2m^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{2\sin^2\alpha+2\sin^2\beta-\sin^2\gamma}$
Вроде бьёт.

(Оффтоп)

Да, и что касается претензии "чересчур много формул знает" - наверно, она обоснована, если это чисто учебная или олимпиадная задача, там надо бы вывести, пользуясь минимумом сведений и, во всяком случае, без заглядывания в справочники, нет ли готового или почти готового решения. А если задача прикладная - то результат, выданный быстро, ценнее красивого, но потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 15:41 
Аватара пользователя


21/09/12
1660
Евгений Машеров
В итоговой формуле выражение на $2$ забыли умножить.
timtam, в Вашей формуле углы $\alpha$ и $\beta$ входят в выражение не симметрично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 16:39 


04/03/15
48
Цитата:
Вашей формуле углы $\alpha$ и $\beta$ входят в выражение не симметрично.

И что из того?
Проверил формулу также на равностороннем треугольнике - все сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 17:13 
Аватара пользователя


21/09/12
1660
timtam в сообщении #990684 писал(а):
Проверил формулу также на равностороннем треугольнике - все сходится.

Проверьте при $\alpha=\pi/6$ и $\beta=\pi/3$, а затем сравните результат с $\alpha=\pi/3$ и $\beta=\pi/6$. $\gamma=\pi/2$ в обоих случаях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5626
Москва
atlakatl в сообщении #990672 писал(а):
Евгений Машеров
В итоговой формуле выражение на $2$ забыли умножить.
timtam, в Вашей формуле углы $\alpha$ и $\beta$ входят в выражение не симметрично.


Спасибо.
Исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 18:00 


04/03/15
48
Цитата:
Проверьте при $\alpha=\pi/6$ и $\beta=\pi/3$, а затем сравните результат с $\alpha=\pi/3$ и $\beta=\pi/6$. $\gamma=\pi/2$ в обоих случаях.


Проверил и сравнил. В обоих случаях $\surd3/2\cdot m^2$
(корень из трех пополам (просто не нашел как в техе корни и подкоренные корректно прописывать))
А у вас что-то другое?

И, да. Может быть явите, так сказать, на суд общественности вашу симметричную формулу? (естественно с кратким пояснением того, как она была получена)

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5626
Москва
На самом деле формулы timtam и моя одинаковы с точностью до умножения числителя и знаменателя на $\sin^2\alpha$

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 18:50 
Аватара пользователя


21/09/12
1660
timtam Да, всё верно. Это я ошибся.
timtam в сообщении #990723 писал(а):
Может быть явите, так сказать, на суд общественности вашу симметричную формулу? (естественно с кратким пояснением того, как она была получена)

Формула Евгений Машеров улучшению не поддаётся. И его вывод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 20:18 


04/03/15
48
Цитата:
Формула Евгений Машеров улучшению не поддаётся. И его вывод.

Аминь :-)
Можно задачу в архив переносить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4904

(timtam)

timtam в сообщении #990772 писал(а):
Можно задачу в архив переносить.

Вы же не ТС, чтобы об этом просить.
Впрочем, я ради другого. Если будете частым гостем (надеюсь), научитесь, пжл, правильно оформлять цитаты -- выделяете текст и нажимаете кнопочку "вставить" внизу данного (не другого!) сообщения. Тогда автор цитаты узнает, что вы на него ссылались. Да и просто всем удобнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 22:45 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
Хм, ну вот полное решение, безо всяких недомолвок.

По теореме синусов для треугольников $ABM$ и $ACM$: $c=m\frac{\sin\delta}{\sin\beta}$ и $b=m\frac{\sin\delta}{\sin\gamma}$, где $\delta$ -- какой-либо из углов с вершиной в точке $M$. Откуда $S=\frac12bc\sin\alpha=m^2\frac{\sin^2\delta\sin\alpha}{2\sin\beta\sin\gamma}$.

Остаётся лишь отыскать $\sin^2\delta$; напрашивается приплесть теорему косинусов для треугольника $ABD$, уж из неё-то оно никак не может не выскочить:

$(2m)^2=c^2+b^2-2bc\cos(\pi-\alpha), \qquad 4m^2=m^2\frac{\sin^2\delta}{\sin^2\beta}+m^2\frac{\sin^2\delta}{\sin^2\gamma}+2m^2\frac{\sin^2\delta}{\sin\beta\sin\gamma}\cos\alpha$,

откуда $\sin^2\delta=\frac{4\sin^2\beta\sin^2\gamma}{\sin^2\beta+\sin^2\gamma+2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha}$ и, соответственно, $S=m^2\frac{2\sin\beta\sin\gamma\sin\alpha}{\sin^2\beta+\sin^2\gamma+2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha}$.

И не нужно почти ничего не то что помнить, но даже и изобретать: всё практически на автомате.

(там на рисунке были нечаянно перепутаны буковки $a$ и $c$; я нечаянно исправил)

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 23:24 


04/03/15
48
ewert в сообщении #990847 писал(а):
Хм, ну вот полное решение, безо всяких недомолвок.

Ну что же. Еще один способ решить поставленную задачу.
(кстати, вариант "Евгений Машеров" мне видится наиболее изящным из всех предложенных)
И вам спасибо за вариант.
Лично мне всегда интересно не просто решить, а предложить несколько способов решений.
А тема-то ожила, взбодрилась :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.
Сообщение15.03.2015, 23:44 
Заслуженный участник


11/05/08
31333

(Оффтоп)

timtam в сообщении #990856 писал(а):
Еще один способ решить поставленную задачу.

Это был первый из предложенных в данной ветке явных способов, и изложен он был ещё в самом что ни на есть четвёртом посте. Изложен именно как наиболее тупой и очевидный.

Евгений Машеров в сообщении #987090 писал(а):
Единственная формула, которая вроде не из школьной программы (а может, просто забыл, и в силу склероза в справочник полез)
$S=\frac {abc}{4R}$

Она вполне школьная, но всё-таки -- периферийная.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group