Производящие функции с биномиальными коэффициентами

[balodja]

Доброго времени суток!

При решении одной задачи воспользовался методом производящих функций. Получилось почти дойти до ответа, остался один шаг, но вот не могу преобразовать нормально некоторые простые суммы с биномиальными коэффициентами. Собственно, вот они($h$ -- натуральное):

$$\sum\limits_{n = 0}^{h - 1} \binom{h + n}{2 n + 1} z^{2 n + 1}$$

$$\sum\limits_{n = 0}^{h - 1} \left[ \binom{h + n}{2 n + 2} + \binom{h + n + 1}{2 n + 2} \right] z^{2 n + 1}$$

.

Вполне неплохое замкнутое выражение для первой нашёл вольфрам:

$$\cfrac{(z^2 + 2 + z \sqrt{z^2+4})^h - (z^2 + 2 - z \sqrt{z^2+4})^h} {\sqrt{z^2 + 4}} \cdot 2^{-h} $$

У меня по этому поводу два вопроса:

1. Как самому получить это замкнутое выражение? Доказать-то его справедливость я смогу, но мне надо не это.
2. Как выглядит замкнутая формула для второго ряда, который вольфрам обработать не смог? К слову, то, что вольфрам не справился, это ещё ничего не значит, поскольку он не справляется и с первым рядом, если там верхним пределом поставить $+\infty$, а не $h - 1$.

[ИСН]

C детства помню, что биномиальные коэффициенты с одинаковыми $n$ и соседними $k$ хорошо складываются. Зачем Вы записали вторую сумму в таком виде?

[balodja]

Там же соседние $n$ и одинаковые $k$ -- эта сумма конечно преобразуется, но всё равно биномиальных коэффициентов остаётся два. Поэтому чернил так не сэкономишь.

P.S. Такая нотация для биномиальных коэффициентов тут не используется? Если тут на форуме принято вместо $\binom n k$ писать $C_n^k$, я исправлю.

[Vince Diesel]

Математика досчитывает вторую сумму: $\frac{4 \sinh ^2\left(h \sinh ^{-1}\left(\frac{z}{2}\right)\right)}{z}$.

[balodja]

О, ответ на второй вопрос -- это прекрасно, спасибо большое. Однако на его место встаёт вопрос такой же вопрос про это выражение, как и в первом случае. Как его получить вообще?

[grizzly]

Попробуйте посмотреть "Комбинаторные тождества" Дж.Риордана. Там продемонстрированы основные техники. В точности Ваших функций там, может, нет, но что-то похожее попадается. Посмотрите, для примера, задачи на стр.91 (я смотрю 1982 г. издания).

[arseniiv]

(Оффтоп)

balodja в сообщении #984087 писал(а):

P.S. Такая нотация для биномиальных коэффициентов тут не используется? Если тут на форуме принято вместо $\binom n k$ писать $C_n^k$, я исправлю.

Нормально, не берите в голову. Пишут здесь и так, и так.

[Vince Diesel]

Можно попробовать экспоненциальные производящие функции, т.е. домножить на $t^h/h!$ и просуммировать до $\infty$. Для первого, судя по ответу, получится хорошее выражение. А для обоснования есть всякие формулы. Много их в книге Гаспер Дж., Рахман М., "Базисные гипергеометрические ряды".

[balodja]

Для протокола. Обе суммы приводятся к симпатичному виду, если заменить $\sinh t = \frac z 2$:

$\cfrac {\sinh (h t)} {\cosh t}$ и $\cfrac {4 \sinh^2 (h t)} {\sinh t}$, соответственно.

Рекомендованную литературу пока только пролистал, ещё не вчитывался. Если что интересное на озвученную тему найду, отпишу.