2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Производящие функции с биномиальными коэффициентами
Сообщение01.03.2015, 13:07 


30/01/12
23
Доброго времени суток!

При решении одной задачи воспользовался методом производящих функций. Получилось почти дойти до ответа, остался один шаг, но вот не могу преобразовать нормально некоторые простые суммы с биномиальными коэффициентами. Собственно, вот они($h$ -- натуральное):
$$\sum\limits_{n = 0}^{h - 1} \binom{h + n}{2 n + 1} z^{2 n  + 1}$$
$$\sum\limits_{n = 0}^{h - 1} \left[ \binom{h + n}{2 n + 2} + \binom{h + n  + 1}{2 n + 2} \right] z^{2 n  + 1}$$.

Вполне неплохое замкнутое выражение для первой нашёл вольфрам:
$$\cfrac{(z^2 + 2 + z \sqrt{z^2+4})^h - (z^2 + 2 - z \sqrt{z^2+4})^h} {\sqrt{z^2 + 4}} \cdot 2^{-h} $$

У меня по этому поводу два вопроса:
  1. Как самому получить это замкнутое выражение? Доказать-то его справедливость я смогу, но мне надо не это.
  2. Как выглядит замкнутая формула для второго ряда, который вольфрам обработать не смог? К слову, то, что вольфрам не справился, это ещё ничего не значит, поскольку он не справляется и с первым рядом, если там верхним пределом поставить $+\infty$, а не $h - 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящие функции с биномиальными коэффициентами
Сообщение01.03.2015, 13:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
C детства помню, что биномиальные коэффициенты с одинаковыми $n$ и соседними $k$ хорошо складываются. Зачем Вы записали вторую сумму в таком виде?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящие функции с биномиальными коэффициентами
Сообщение01.03.2015, 13:25 


30/01/12
23
Там же соседние $n$ и одинаковые $k$ -- эта сумма конечно преобразуется, но всё равно биномиальных коэффициентов остаётся два. Поэтому чернил так не сэкономишь.

P.S. Такая нотация для биномиальных коэффициентов тут не используется? Если тут на форуме принято вместо $\binom n k$ писать $C_n^k$, я исправлю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящие функции с биномиальными коэффициентами
Сообщение01.03.2015, 14:57 
Заслуженный участник


25/02/11
1586
Математика досчитывает вторую сумму: $\frac{4 \sinh ^2\left(h \sinh ^{-1}\left(\frac{z}{2}\right)\right)}{z}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящие функции с биномиальными коэффициентами
Сообщение01.03.2015, 16:28 


30/01/12
23
О, ответ на второй вопрос -- это прекрасно, спасибо большое. Однако на его место встаёт вопрос такой же вопрос про это выражение, как и в первом случае. Как его получить вообще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящие функции с биномиальными коэффициентами
Сообщение01.03.2015, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5455
Попробуйте посмотреть "Комбинаторные тождества" Дж.Риордана. Там продемонстрированы основные техники. В точности Ваших функций там, может, нет, но что-то похожее попадается. Посмотрите, для примера, задачи на стр.91 (я смотрю 1982 г. издания).

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящие функции с биномиальными коэффициентами
Сообщение01.03.2015, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа

(Оффтоп)

balodja в сообщении #984087 писал(а):
P.S. Такая нотация для биномиальных коэффициентов тут не используется? Если тут на форуме принято вместо $\binom n k$ писать $C_n^k$, я исправлю.
Нормально, не берите в голову. Пишут здесь и так, и так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящие функции с биномиальными коэффициентами
Сообщение01.03.2015, 21:50 
Заслуженный участник


25/02/11
1586
Можно попробовать экспоненциальные производящие функции, т.е. домножить на $t^h/h!$ и просуммировать до $\infty$. Для первого, судя по ответу, получится хорошее выражение. А для обоснования есть всякие формулы. Много их в книге Гаспер Дж., Рахман М., "Базисные гипергеометрические ряды".

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящие функции с биномиальными коэффициентами
Сообщение02.03.2015, 13:35 


30/01/12
23
Для протокола. Обе суммы приводятся к симпатичному виду, если заменить $\sinh t = \frac z 2$:

$\cfrac {\sinh (h t)} {\cosh t}$ и $\cfrac {4 \sinh^2 (h t)} {\sinh t}$, соответственно.

Рекомендованную литературу пока только пролистал, ещё не вчитывался. Если что интересное на озвученную тему найду, отпишу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group