Помогите разобраться с простой задачкой про множества!

[Дуняша]

Заданы неравенства. Линии, определяемые неравенствами, я построила.
Закрасила область, задаваемую неравенствами.
Вот неравенства:
x^2+y^2 <64,
(x+5)^2+y^2 >1,
x^2+y^2 \geq9,
(x-5)^2+y^2 \geq 1,
x \not= - \frac{1}{2}

Помогите, пожалуйста, изобразить на картинке:
1. внутренность (это, как я поняла, и есть область, определяемая неравенствами, -то, что я закрасила)
2. предельные точки ( не знаю, возможно, они идут по границам области)
3. замыкание (точки прикосновения) - непонятно ???
4. границу множества - это я изобразила.




Очень прошу помочь! Искала книги в инете, но там нигде нет графической интерпретации этих определений, только сплошные формулы!
Очень надо до завтра!

[Brukvalub]

Решения последнего неравенства изображены неверно.

Дуняша писал(а):

предельные точки ( не знаю, возможно, они идут по границам области)

Это не только границы (см. определение).

Дуняша писал(а):

замыкание (точки прикосновения) - непонятно ???

В данном случае замыкание множества - это множество со своей границей.
Точки прикосновения - это точки самого мн-ва, а также его предельные точки, ему не принадлежащие.

[PAV]

PAV:

Наберите формулы текстом. Саму картинку, если уж она так нужна, разместите в более приличном месте, где нет порнушных слылок

[Дуняша]

Вот я добавила картинку. Так?

[PAV]

PAV:

Еще формулы наберите. Инструкцию см. здесь - там все очень просто.

[Дуняша]

Сделала и картинку, и формулы (см. 1 пост)

[Алексей К.]

Дуняша писал(а):

Сделала и картинку, и формулы

Труд немалый. Но, заметьте, Ваша вертикальная прямая соответствует $x\not=\mbox{\bf\huge +}\dfrac{1}{2}$ (а надо минус).

[Дуняша]

Алексей К.
Да, точно. Это я промахнулась.

Добавлено спустя 2 минуты 14 секунд:

Brukvalub
Если замыкание множества - это множество со своей границей,то как это показать в виде точек? или просто словами написать?

[Brukvalub]

Дуняша писал(а):

Brukvalub
Если замыкание множества - это множество со своей границей,то как это показать в виде точек? или просто словами написать?

Этот факт верен не всегда, но в случае метрических пространств ( как у Вас) - верен. Я бы на исходном чертеже изобразил штихами те границы, которые мн-ву не принадлежат, а на отдельном чертеже заштриховал множество с его границей ( при этом часть линий на чертеже просто пропадет, а часть из штрихованных станет сплошными) и подписал - "замыкание". Но бывают (например, в теории конформных отображений) и другие договорённости об изображении множеств и их границ.

[Дуняша]

Brukvalub
Да, наверное, правильнее и нагляднее будет, если все на разных картинках сделать.
Вот тут я изобразила границы множества (сплошные линии - границы, принадлежащие множеству, а пунктирные - не принадлежащие):


Дальше идет закрашенная внутренность (здесь я не стала разными линями показывать принадлежащие и не принадлежащие линии):


Ниже замыкание (границы+закрашенная область):


А вот предельные точки и прикосновение я не поняла.
Определение:
Точка $x_0$ называется предельной точкой множества $M$, если в каждой окрестности точки $x_0$ имеется точка множества $x\in M$, не совпадающая с $x_0$.
При этом точка $x_0$ не обязана принадлежать множеству $M$.

Ну просто представить себе не могу, как это изобразить.
Проверьте то, что я сделала, пожалуйста, и подскажите, как показать предельные точки и прикосновение.

[Brukvalub]

Дуняша писал(а):

Проверьте то, что я сделала, пожалуйста

Мне не понравилось - уже первый чертеж - неверный (Ваши слова:

Дуняша писал(а):

Вот тут я изобразила границы множества (сплошные линии - границы, принадлежащие множеству, а пунктирные - не принадлежащие)

- расходятся с делом). Поэтому теряются существенные различия, которые должны отличать последующие чертежи от первого. Например, на изображении внутренности.

[Дуняша]

Brukvalub
А может быть, есть какие-то материалы в инете, где можно посмотреть именно графическую интерпретацию подобных задач.
Все, что я нашла, описывается в словесно-формульном виде. Просто уже не успеваю, чтобы очень глубоко вникать в суть.

[Henrylee]

Подсказка: еще раз внимательно посмотрите на
1) точки пересечения рпямой $x=-\frac12$ с окружностями
2) большую окружность

[Дуняша]

Henrylee
Ну вот получается:
1.точки пересечения прямой с большой окружностью одновременно принадлежат и окружности, и прямой. Но и у прямой, и у окружности неравенства строгие, т.е. эти точки, также, как и прямая с большой окружностью, не входят в множество.
2. точки пересечения прямой с малой окружностью (неравенство №3) одновременно принадлежат и окружности, и прямой. Но у прямой неравенство строгое, а у малой окружности нестрогое, т.е. эти точки не входят в множество.
3. Да, я опять сделала глупую ошибку: нарисовала границу большой окружности сплошной линией, а надо пунктирной, т.к. она не входит.

[Henrylee]

Дуняша писал(а):

Но у прямой неравенство строгое

Точнее сказать "не-ревенство"
А серьезно, фраза "строгое неравенство у прямой" странное выражение. Проще: все точки прямой не принадлежат множеству.