Помогите разобраться с простой задачкой про множества!

[Дуняша]

Henrylee писал(а):

(другие и кроме этой это одно и то же)
другие точки... (дальше, дальше)

... принадлежащие множеству ?

[Henrylee]

Точно

[Capella]

Дуняша

Мне кажется, что Вы уже почти решили эту задачу. Вы сами написали вот этот вывод. Осталось лишь ответить на вопрос, ограничивается ли контур Вашего множества $M$ дугой окружности и дальше просто использовать определение.

[Дуняша]

По смылу понятно.
Вот попыталась изобразить предельные точки, но что-то сомневаюсь:

[Capella]

Не совсем понятно из чертежа, принадлежит ли $x = - \frac 1 2$ множеству $M$ или нет.
Рассмотрите такую окрестность при помощи теоремы о предельной точке для $x$: $-\frac 1 2 \pm \epsilon$ при $\epsilon \to 0$

исправлен знак, Я

[Henrylee]

Точки прямой, как я вижу, Вы отнесли к предельным, а окружноcти чем Вас обидели?

PPS И еще раз: проверяем определение.

Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд:

Capella писал(а):

Не совсем понятно из чертежа, принадлежит ли $x \ne - \frac 1 2$ множеству $M$ или нет.

Наеврно имели в виду, принадлежит ли $x=-\frac12$ множеству $M$.

[Capella]

Henrylee писал(а):

Точки прямой, как я вижу, Вы отнесли к предельным, а окружноcти чем Вас обидели?

Почему к предельным? Я так поняла из чертежа, что они вообще лежат в множестве $M$...

Добавлено спустя 1 минуту 2 секунды:

Henrylee

Да, прошу прощения!

[Henrylee]

Capella писал(а):

Почему к предельным? Я так поняла из чертежа, что они вообще лежат в множестве $M$...

Ну, во-первых, лежащие в множестве M точки (в данном случае) уже предельные. Но если Вы постмотрите на первоначальную систему, то точки прямой изначально исключены.

[Дуняша]

Ой, нет!
Тогда так:

[Capella]

Последний чертёж, на мой взгляд, верен.

Добавлено спустя 6 минут 44 секунды:

Henrylee писал(а):

Capella писал(а):

Почему к предельным? Я так поняла из чертежа, что они вообще лежат в множестве $M$...

Ну, во-первых, лежащие в множестве M точки (в данном случае) уже предельные. Но если Вы постмотрите на первоначальную систему, то точки прямой изначально исключены.

Возможно недоразумение: моя цитата относилась к чертежу Дуняши, а не к решению задачи.

[Дуняша]

Так, значит, правильно?

[Henrylee]

Capella писал(а):

Henrylee писал(а):

Capella писал(а):

Почему к предельным? Я так поняла из чертежа, что они вообще лежат в множестве $M$...

Ну, во-первых, лежащие в множестве M точки (в данном случае) уже предельные. Но если Вы постмотрите на первоначальную систему, то точки прямой изначально исключены.

Возможно недоразумение: моя цитата относилась к чертежу Дуняши, а не к решению задачи.

Кажется, мы про разные чертежи говорим. Предпоследний чертеж относится к предельным точкам множества $M$. (там так и написано).

Добавлено спустя 7 минут 21 секунду:

Дуняша писал(а):

Так, значит, правильно?

Формально правильно, но зачем отрезки прямой рисовать. Раз они входят в множесто предельных точек, то их стереть можно, получится кольцо с двуми дырками и все (все окружности, как Вы и изобразили, входят).

Добавлено спустя 4 минуты 34 секунды:

Для полной ясности:
в данном случае множество предельных точек в точности совпадает с замыканием.

[Дуняша]

Henrylee
Хорошо, ошибка ясна.
И последнее - точки прикосновения.
Точки прикосновения - это точки самого мн-ва, а также его предельные точки, ему не принадлежащие.
Это, как я поняла, как раз мой последний чертеж. Т.е. замыкание+отрезки прямой.

[Brukvalub]

Верно. Непонятно только, зачем Вы отдельно выделяете эти отрезки?

[Capella]

Вообще решения подобного типа лучше делать карандашом одного цвета, без всяких пунктирных и полных линий (поскольку в противном случае возникает вероятность, что эти линии не относятся к решению). Но это уже дополнение, за отсутствие которого преподаватель навряд ли будет снижать оценку.