Спин гравитона равен единице?

[Munin]

vlapay в сообщении #981602 писал(а):

Теперь уменьшим массу зарядов, а, для того, чтобы параметры вращения не изменилась, между зарядами запустим цепочку быстрых объектов небольшой массы (мячики), которые двигаются, упруго отражаясь от зарядов.

И как же эти "мячики" позволят не изменить параметров вращения?

vlapay в сообщении #981602 писал(а):

Электромагнитное поле системы не изменилось, квадрупольный момент изменился.

Расчёты?

vlapay в сообщении #981602 писал(а):

Когда летит мячик, он не излучает гравитационные, когда он ударяется о заряд, меняется его импульс, то есть, основной характеристикой этого процесса есть сила отталкивания между зарядами, которые обеспечивает цепочка мячиков.

Переведите все эти бессвязные словосочетания на русский язык. А потом на формулы. Если в процессе не исчезнет смысл, то значит, он изначально был. Если не справитесь - это показатель того, что смысла не было.

vlapay в сообщении #981602 писал(а):

Тензор напряжения электромагнитного поля зависит уже от произведения силы на расстояние между зарядами.

Нет, конечно, с какого бодуна?

vlapay в сообщении #981602 писал(а):

Как, например, в этом конкретном примере обеспечить связь квадрупольного момента с ТЭИ?

1. Сначала построить пример. Внятно и трезво.
2. Потом построить квадрупольные моменты. Отдельно электрический, отдельно гравитационный.
3. Потом посмотреть на квадрупольный гравитационный момент и на ТЭИ. На один - одним глазом, на другой - другим глазом. Убедиться, что они одинаковы.

[vlapay]

Будем следовать книге Зельдович, Новиков. "Теория тяготения и эволюция звезд." Ещё проще, чем два заряда, система из двух масс, связанных тросом. Массы раскручиваются, трос натягивается. На стр.81 пишется, что источником гравитационных волн есть тензор натяжения троса. Проверяем для направления по оси вращения, первая формула для изменения проекции квадрупольного момента, вторая формула для тензора напряжений:
$(mR^2\cos^2{(\omega t)})'''=4mR^2\omega^2\sin{(2\omega t)}$ (1)
$(2RF\cos^2{(\omega t)})'=4mR^2\omega^2\sin{(2\omega t)}$ (2)
Как и написано в книге - всё сходится. Рассмотрим второй вариант опыта - берём массы $m_1$, $m_1<m$, остальные переменные оставляем таким же. Чтобы натяжение троса не менялось, вводим обмен энергичными частицами (например, фотонами) между массами, с силой $F=(m-m_1)\omega^2R^2$. Масса энергичных частиц гораздо меньше, чем масса $m_1$, поэтому её можно не учитывать, как не учитывалась масса троса в ф. (1). Мы получаем те же два уравнения, но в первом уравнении фигурирует масса $m_1$, а во второй продолжает фигурировать масса $m$.
Нет однозначной всеобщей связи между ТЭИ и квадрупольным моментом масс, даже если смотреть третьем глазом.

[Munin]

vlapay в сообщении #981897 писал(а):

Масса энергичных частиц гораздо меньше, чем масса $m_1$, поэтому её можно не учитывать

Нельзя. В этом ваша ошибка. Посчитайте её честно.

[vlapay]

$m_2=\frac{2RF}{V^2}=\frac{m(\omega R)^2}{V^2}\ll m$

[Munin]

Это откуда вы такое выражение взяли?

[vlapay]

Как это - откуда? Есть такая наука - физика, а в ней есть формулы Ньютона. Вот оттуда. Желательно что-то увидеть по сути, как это делал ув.Cos(x-pi/2). У вас есть у кого учиться, Munin.

[Munin]

vlapay в сообщении #982042 писал(а):

Есть такая наука - физика, а в ней есть формулы Ньютона. Вот оттуда.

К сожалению, формулы Ньютона не дают выражение для массы системы фотонов.

vlapay в сообщении #982042 писал(а):

Желательно что-то увидеть по сути, как это делал ув.Cos(x-pi/2).

Будет суть - поговорим по сути. Пока у вас сути нет.

[Cos(x-pi/2)]

vlapay

(Оффтоп)

vlapay, не следует советовать участникам форума кому у кого учиться. В первую очередь учиться должен тот, кто вопросы задаёт; причём, учиться не по репликам на форумах, а по учебникам и по задачникам, по книгам и статьям. Munin объясняет это чётко, и всегда разъясняет то, что умещается в разумное количество строк. А вечерами напролёт готовить из всей науки физики разжёванную детскую кашицу для топик-стартеров здесь никто не обязан. У меня на такие упражнения тоже нет избытка жизненных ресурсов...

Раз уж обещал, то написал продолжение с картинками - про сравнение ЭМ-волн и грав. волн, но почти уверен, что подобные "простыни" нечитабельны. Неизвестно, возможен ли от них толк; явный результат пока такой: минус десяток вечеров из жизни плюс жена обижается...

(ЭМ-волна. Часть 1: учет запаздывания)

vlapay в сообщении #980802 писал(а):

учесть эффект запаздывания излучения от двух зарядов

Мысль верная. Однако давайте применим её к ЭМ-излучению без ошибок (у Вас ускорение написано с ошибкой из-за неучёта запаздывания положений зарядов, что в итоге даёт в 4 раза меньшую амплитуду поля на удвоенной частоте, чем должно быть). Геометрия задачи:



Рассмотрим сначала один заряд $q_1$ и выразим здесь $R_1$ через не зависящее от времени расстояние $| \overrightarrow{OP}|=R_0$ и зависящий от времени вектор положения $r_1$ заряда. Для этого умножим скалярно сами на себя стороны равенства $\vec{R_1}=\vec{R_0}-\vec{r_1}:$

$\vec{R}_1 \cdot \vec{R}_1 = R_1^2=R_0^2-2 \vec{R}_0 \cdot \vec{r}_1 +r_1^2$ ,

отбросим слагаемое второго порядка малости $r_1^2,$ и извлечём корень, сохранив члены опять-таки не выше первой степени по $r_1;$ имеем с указанной точностью:

$R_1=R_0(1-2\vec{R}_0 \cdot \vec{r}_1/R_0^2)^{1/2}=R_0(1-\vec{R}_0 \cdot \vec{r}_1/R_0^2)=R_0-\vec{n} \cdot \vec{r}_1$ , где

$\vec{n}=\vec{R}_0 / R_0$ есть единичный вектор направления из точки О на точку наблюдения P.

Значит, время $t'_1,$ отстоящее от текущего $t$ на время запаздывания, за которое световой сигнал доходит от заряда в точке $\vec{r}_1$ в точку Р, есть

$t'_1=t-\frac{R_1}{c}=t-\frac{R_0}{c}+\frac{\vec{r}_1 \cdot \vec{n}}{c}=t_{\text{зап}}+\frac{\vec{r}_1 \cdot \vec{n}}{c}$ ,

где введена переменная "запаздывающего времени", не зависящая от номеров зарядов:

$t_{\text{зап}}=t-\frac{R_0}{c}$ .

Она отличается от $t'_1$ только на малую величину $\Delta t =\vec{r}_1 \cdot \vec{n}/c.$ Будем далее все переменные векторы в системе излучающих зарядов выражать через $t_{\text{зап}}$ с поправками первого порядка по таким малым величинам. Обозначая производные по времени точками, получаем таким образом формулу для положения $\vec{r}_1(t'_1)$ заряда 1 с учётом запаздывания, т.е. - положение в момент $t'_1$:

$\vec{r}_1(t'_1)=\vec{r}_1(t_{\text{зап}})+\dot {\vec{r}}_1 \cdot (\vec{r}_1 \cdot \vec{n})/c$ .

Взяв здесь производную по времени, получим скорость заряда 1 с учётом запаздывания; с данной точностью все "эр" в правой стороне равенства относятся уже к моменту $t_{\text{зап}},$ их производные по времени обозначаем точками:

$\vec{v}_1(t'_1)=\dot{\vec{r}}_1+\ddot {\vec{r}}_1(\vec{r}_1 \cdot \vec{n})/c+\dot {\vec{r}}_1(\dot{\vec{r}}_1 \cdot \vec{n})/c$ .

Аналогично взяв следующую производную, получаем ускорение заряда 1 с учётом запаздывания:

$\vec{a}_1(t'_1)= \ddot{\vec{r}}_1 + \dddot {\vec{r}}_1 ( \vec{r}_1 \cdot \vec{n} ) / c +2\ddot {\vec{r}}_1(\dot{\vec{r}}_1 \cdot \vec{n})/c+\dot {\vec{r}}_1(\ddot{\vec{r}}_1 \cdot \vec{n})/c$ .

Так. Идём далее. (Теперь уж до упора . Из Ваших слов

Цитата:

амплитуда излучения зависит, в основном, от ускорения зарядов

заключаю, что Вы знакомы с наглядным фейнмановским построением электрического поля излучения $\vec{E}(P,t):$ "... поле пропорционально ускорению заряда, спроектированному на плоскость, перпендикулярную лучу зрения..." (см. ФЛФ-3 и 6). Воспользуемся этим рецептом вместо стандартного расчёта напряжённости ЭМ-поля через запаздывающие потенциалы (т.е. вместо ЛЛ-2). Тогда формула эл. поля излучения, порождённого зарядом $q_1$, запишется в гауссовых единицах так:

$\vec{E}_1(P,t)=-\dfrac{1}{c^2 R_0} \, q_1 \, \vec{a}_1^T$ ,

где ускорение $\vec{a}_1$ даётся полученной выше формулой и зависит от $t$ через переменную $t_{\text{зап}},$ а символ T означает взятие поперечной части - проецирование вектора ускорения на плоскость, перпендикулярную "лучу зрения" $ \overrightarrow{OP}:$



Учтём также известные факты: на большом расстоянии от излучающих зарядов ЭМ-поле в любом малом участке пространства имеет вид плоской волны; векторы $\vec{E},$ $\vec{H}$ и $\vec{n}$ взаимно перпендикулярны и ориентированы так, как схематично показано на рис., а по величине электрическое и магнитное поля равны: $|\vec{E}|=|\vec{H}.|$ Поэтому проецирование можно заменить векторным умножением: ведь если разложить

$\vec{a}=\vec{a}^T+\vec{a}^L$

на поперечную (T) и продольную (L) части по отношению к направлению волны $\vec{n},$ то в векторное произведение с $\vec{n}$ даст вклад только поперечная часть (а продольную можно вообще отбросить или выбрать произвольной):

$[ \vec{a} \times \vec{n} ]=[ \vec{a}^T \times \vec{n} ]$ ,

причём этот вектор будет направлен как раз вдоль магнитного поля. Т.е., векторно умножив $\dfrac{1}{c^2 R_0} \, q_1 \, \vec{a}_1$ на $\vec{n},$ получим вектор магнитного поля, а повторно умножив его векторно на $\vec{n},$ получим эл. поле излучения от заряда 1.

Значит, чтобы находить этим методом суммарное поле излучения от всех зарядов-источников, полезно сначала сосчитать "заготовку для проецирования" - вектор, суммарный по зарядам (обозначим его как $\vec{C}$ - эта буква вроде бы ещё не использована :), который затем будем векторно умножать на $\vec{n}.$ Ускорения $\vec{a}_i(t'_i)$ зарядов $q_i$ вычисляются по формуле, аналогичной той, что уже была написана для заряда 1 (все "эр" там относятся к моменту времени $t_{\text{зап}},$ а постоянный вектор $\vec{n}$ для них всех общий); номер частиц $i$ ради краткости не пишем:

$\vec{C}=\dfrac{1}{c^2 R_0} \, \sum q \ddot{\vec{r}} + \dfrac{1}{c^3 R_0} \, \sum q (\dddot{\vec{r}}(\vec{r} \cdot \vec{n})+2\ddot{\vec{r}}(\dot{\vec{r}} \cdot \vec{n})+\dot{\vec{r}}(\ddot{\vec{r}} \cdot \vec{n}))=$

$=\vec{C}^{\text{диполь}} + \vec{C}^{\text{недип}}$ .

Первая сумма определяет дипольный вклад в излучение, ибо имеет вид

$\vec{C}^{\text{диполь}}=\dfrac{1}{c^2 R_0} \, \sum q \ddot{\vec{r}}=\dfrac{1}{c^2 R_0} \, \ddot{\vec{d}}$ , где

$\vec{d}=\sum q\vec{r}$ - электрический дипольный момент зарядов-источников. Оказывается, остальные члены (обозначенные как "недипольный" вклад), можно переписать в более удобном для вычислений виде; это навскидку не видно, но проверяется прямой подстановкой:

$\vec{C}^{\text{недип}} = \dfrac{1}{2c^3 R_0} \, \dddot{\vec{Q}} + \dfrac{1}{c^2 R_0} [\ddot{\vec{m}} \times \vec{n}]$ , где:

$\vec{Q}=\sum q \vec{r}(\vec{r} \cdot \vec{n})$ - есть вектор с компонентами $Q_{\alpha}=Q_{\alpha \beta} n_{\beta}.$

Греческие индексы у нас (как в ЛЛ) пробегают три значения: $x, \, y, \, z;$ по дважды повторяющемуся греч. индексу - сумма.

$Q_{\alpha \beta}=\sum q x_{\alpha} x_{\beta}$ - эти 9 величин называют тензором "вторых моментов" системы зарядов;

$\vec{m}= \dfrac{1}{2c} \sum q [\vec{r} \times \dot{\vec{r}}]$ - называется магнитным моментом системы зарядов.

Тогда итоговые выражения для ЭМ-поля принимают вид:

$\vec{H}=\vec{C} \times \vec{n} = \dfrac{1}{c^2 R_0} \, [\ddot{\vec{d}} \times \vec{n}] + \dfrac{1}{2c^3 R_0} \, [\dddot{\vec{Q}} \times \vec{n}] +\dfrac{1}{c^2 R_0} \, [[\ddot{\vec{m}} \times \vec{n}] \times \vec{n}]$ ,

$\vec{E}=\vec{H} \times \vec{n}=-\vec{C}^T$ ,

что совпадает с результатом в ЛЛ-2. В ЛЛ-2 вместо тензора $Q_{\alpha \beta}$ введена утроенная величина, $D_{\alpha \beta}$ (в ответ она входит с втрое меньшим коэффициентом), содержащая также слагаемые, которые дают лишь продольный вклад в $\vec{C}$ (наш $\vec{C}$ совпадает с $(1/c) \dot{\vec{A}}$ в ЛЛ), и поэтому не влияют на $\vec{H}$ и $\vec{E}:$

$D_{\alpha \beta}=\sum q (3x_{\alpha}x_{\beta}-\delta_{\alpha \beta}x_{\gamma}x_{\gamma})$ - тензор квадрупольного момента.

Нам проще пользоваться исходным тензором: $Q_{\alpha \beta}=\sum q x_{\alpha} x_{\beta}.$ Удобство указанного выше разбиения вектора $\vec{C}$ на дипольный, квадрупольный и магнито-дипольный вклады связано, в частности, с тем, что некоторые из них могут оказаться заведомо равными нулю. Как раз такие два примера мы и разберём: в них $\vec{d}=0$ и $\dot{\vec{m}}=0,$ так что ЭМ-волна определяется квадрупольным моментом.

Продолжение следует. (Не дают за один раз запостить больше 20000 знаков... )

[Cos(x-pi/2)]

(ЭМ-волна. Часть 2: два примера.)

Пример (а):

Пусть два одинаковых заряда $q$ образуют линейный "вибратор" длиной $L$ с частотой $\omega_0$ и амплитудой $A$. Выше vlapay уже привёл формулы радиус-векторов этих зарядов; в теперешних обозначениях для вычисления квадрупольного момента это будут $\vec{r}_1(t)$ и $\vec{r}_2(t)=-\vec{r}_1(t),$ причём здесь и далее $t$ означает $t_{\text{зап}}=t-\frac{R_0}{c}.$ Воспользуемся произволом в выборе координат и выберем ось $x$ вдоль вибратора, от заряда 2 к 1, а начало координат O выберем посередине вибратора; пользуясь произволом в выборе начала отсчёта времени, выберем начальную фазу $\varphi=\pi/2.$ Тогда у обоих зарядов отлична от нуля только х-координата, и для заряда 1 имеем:

$x(t)=L/2+A \cos(\omega_0t)$ .

Так как координаты обоих зарядов лишь противоположны по знаку, то они дают равные вклады в $Q_{\alpha \beta}.$ Имеем:

$Q_{xx}=2qx^2(t)$ , а остальные $Q_{\alpha \beta}=0$ .

Поэтому и вектор $Q_{\alpha}=Q_{\alpha \beta}n_{\beta}$ имеет лишь одну ненулевую компоненту:

$Q_x=Q_{xx}n_x$ . А с ним и вектор

$\vec{C}=\dfrac{1}{2c^3 R_0} \, \dddot{\vec{Q}}$

имеет только одну не равную нулю компоненту:

$C_x=\dfrac{1}{2c^3 R_0} \, \dddot{Q}_{xx}n_x$ .

Векторно умножая на $\vec{n},$ находим компоненты магнитного поля:

$H_x=C_yn_z-C_zn_y=0$ ,
$H_y=C_zn_x-C_xn_z=-(1/(2c^3R_0)) \, \dddot{Q}_{xx}n_xn_z$ ,
$H_z=C_xn_y-C_yn_x= \, (1/(2c^3R_0)) \, \dddot{Q}_{xx}n_xn_y$ .

Поскольку излучатель имеет аксиальную симметрию с осью $ x $, то заранее ясно, что угловое распределение поля излучения здесь должно иметь такую же симметрию. Поэтому для его пояснения достаточно разобрать один пример, скажем, - с вектором $\vec{n}$ в плоскости $xz$. Тогда

$n_y=0,$ $\, n_x=\cos \theta,$ $ \, n_z=\sin \theta$ ,

так что магн. поле на рисунке "смотрит на нас" (если ось $y$ "от нас"), и описывается формулой

$H_y=C_zn_x-C_xn_z=-(1/(2c^3R_0)) \, \dddot{Q}_{xx}\cos \theta \sin \theta=$

$=-(1/(2c^3R_0))\, 2q \omega_0^3\, (LA \sin( \omega_0t)+4A^2\sin(2 \omega_0t)) \, \cos \theta \sin \theta$ ,

эл. поле $E$ ему перпендикулярно - ЭМ-волна линейно-поляризована в плоскости $zx$:



Для анализа симметричной картины поля можно также применить преобразование системы координат (СК); здесь такой метод нам послужит для проверки результата, а в следующих примерах он упростит сам вывод.

Идея метода: приспособить направление осей новой СК под положение плоскости, поперечной к лучу зрения (на рис. новые направления осей показаны пунктиром и обозначены штрихом). В данном примере видно, что поворот исходных осей вокруг оси $y$ по часовой стрелке на угол $\theta$ совмещает направление новой оси $x'$ с направлением волны $\vec{n}.$ Поэтому в повёрнутой так (штрихованной) СК вектор $\vec{n}$ имеет всего одну ненулевую компоненту, причём она равна единице:

$n'_x=1,$ $n'_y=0,$ $n'_z=0.$

Проецирование $\vec{C} \to \vec{C}^T$ при этом упрощается: достаточно у найденного в штрихованной СК вектора $\vec{C}$ просто отбросить (приравнять нулю) компоненту $C'_x,$ т.к. она продольная к $\vec{n}.$

Выполним переход в повёрнутую СК, начав с тензора моментов $Q_{\alpha \beta}.$ Это тензор 2-го ранга, ибо имеет 2 векторных индекса. Поэтому, согласно общим правилам тензорной алгебры, он преобразуется как 2-кратное произведение компонент вектора (что в данном случае очевидно, т.к. тензор $Q_{\alpha \beta}$ строится из 2-кратных произведений $x_{\alpha}x_{\beta}$ компонент радиус-векторов частиц):

$Q'_{\alpha \beta}=U_{\alpha \rho}U_{\beta \gamma}Q_{\rho \gamma}$ , где

$U_{\alpha \rho}=\vec{e'}_{\alpha} \cdot \vec{e}_{\rho}$ - косинусы углов между ортами штрихованной и исходной СК.

Видно, что вычисление преобразованого тензора 2-го ранга можно выполнить как перемножение трёх матриц: $\hat U,$ $\hat Q$ и транспонированной матрицы косинусов $\hat U^t,$ так что $\hat Q'=\hat U \hat Q \hat U^t.$ В нашем конкретном примере это преобразование даёт:

$\left [ \begin {array} {ccc} Q'_{xx} & Q'_{xy} & Q'_{xz} \\ Q'_{yx} & Q'_{yy} & Q'_{yz} \\ Q'_{zx} & Q'_{zy} & Q'_{zz} \end{array} \right ] = \left [ \begin {array} {ccc} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{array} \right ] \left [ \begin {array} {ccc} Q_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ] \left [ \begin {array} {ccc} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{array} \right ] = $

$=\left [ \begin {array} {ccc} Q_{xx}\cos^2 \theta & 0 & -Q_{xx}\sin \theta \cos \theta \\ 0 & 0 & 0 \\ -Q_{xx}\sin \theta \cos \theta & 0 & Q_{xx} \sin^2 \theta \end{array} \right]$ .

Тогда для вектора

$C'_{\alpha}=\dfrac{1}{2c^3 R_0} \, \dddot{Q'}_{\alpha \beta}n'_{\beta}$ с учётом того, что только $n'_x=1$ отлична от нуля, имеем:

$C'_x=(1/(2c^3 R_0)) \, \dddot{Q}_{xx} \cos^2 \theta$ ,
$C'_y =0$ ,
$C'_z=-(1/(2c^3 R_0)) \, \dddot{Q}_{xx} \cos \theta \sin \theta$ .

Составляющую $C'_x$ отбрасываем, а две оставшиеся берём с минусом - это и есть компоненты вектора эл. поля $\vec{E}$ в плоскости $y'z',$ т.е. в плоскости, поперечной к лучу зрения, проходящей через точку Р:


$E'_x=0$ ,
$E'_y=0$ ,
$E'_z=(1/(2c^3 R_0)) \, \dddot{Q}_{xx} \cos \theta \sin \theta$ .

Отсюда для магнитного поля $\vec{H}=[\vec{n} \times \vec{E}]$ имеем:

$H'_y=-E'_z=-(1/(2c^3R_0)) \, \dddot{Q}_{xx}\cos \theta \sin \theta, \, $ что совпадает с $H_y,$ найденным первым методом,
$H'_z=E'_y=0$ ,
$H'_x=0$ .

Таким образом, мы ещё раз убедились, что в данном примере ЭМ-волна поляризована линейно, и для напряжённостей поля получили прежний ответ.


Пример (б):

Рассмотрим аналогичным путём ЭМ-волну, излучаемую парой одинаковых зарядов, вращающихся в плоскости $xy:$



Ненулевые координаты заряда 1:

$x(t)=A \cos(\omega_0t)$ ,
$y(t)=A \sin(\omega_0t)$ .

Координаты обоих зарядов противоположны по знаку и дают равные вклады в $Q_{\alpha \beta}.$ Имеем:

$Q_{xx}=2qx^2(t)$ , $Q_{yy}=2qy^2(t)$ ,
$Q_{xy}=Q_{yx}=2qx(t)y(t)$ , остальные $Q_{\alpha \beta}=0$ .

Из рисунка ясно, что здесь для анализа угловой зависимости и поляризации ЭМ-волны мы можем воспользоваться тем же самым выбором $\vec{n}$ и тем же поворотом СК, что и в предыдущем примере (другим стал только тензор квадрупольного момента $Q_{\alpha \beta}).$ Получаем:

$\left [ \begin {array} {ccc} Q'_{xx} & Q'_{xy} & Q'_{xz} \\ Q'_{yx} & Q'_{yy} & Q'_{yz} \\ Q'_{zx} & Q'_{zy} & Q'_{zz} \end{array} \right ]=$ $\left [ \begin {array} {ccc} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{array} \right ]$ $ \left [ \begin {array} {ccc} Q_{xx} & Q_{xy} & 0 \\ Q_{xy} & Q_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]$ $ \left [ \begin {array} {ccc} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{array} \right ] = $

$=\left [ \begin {array} {ccc} Q_{xx}\cos^2 \theta & Q_{xy} \cos \theta & -Q_{xx} \sin \theta \cos \theta \\ Q_{xy} \cos \theta & Q_{yy} & -Q_{xy} \sin \theta \\ -Q_{xx} \sin \theta \cos \theta & -Q_{xy} \sin \theta & Q_{xx} \sin^2 \theta \end{array} \right ]$ .

Поскольку лишь компонента $n'_x=1$ отлична от нуля, то, как и в предыдущем примере, из этой матрицы нам нужен лишь первый столбец, причём не весь, а только второй и третий элементы (т.е. $Q'_{yx}$ и $Q'_{zx}$) - ими определяется вектор электрического поля в точке наблюдения Р:

$E'_y=-C'_y=-(1/(2c^3 R_0)) \, \dddot{Q'}_{yx} $ ,
$E'_z=-C'_z= \, -(1/(2c^3 R_0)) \, \dddot{Q'}_{zx} $ .
$E'_x=0$ .

У нас:

$\dddot{Q'}_{yx}=\dddot{Q}_{xy} \cos \theta=-8A^2q \omega_0^3 \cos(2\omega_0t) \cos \theta $ ,
$\dddot{Q'}_{zx}=-\dddot{Q}_{xx} \cos \theta \sin \theta=-8A^2q \omega_0^3 \sin(2\omega_0t) \cos \theta \sin \theta$ .

В итоге имеем полный ответ для ненулевых компонент $\vec{E}$ и $\vec{H}=[\vec{n} \times \vec{E}]:$

$E'_y=\dfrac{4A^2q \omega_0^3}{c^3 R_0} \, \cos(2 \omega_0t) \cos \theta $ ,
$E'_z=\dfrac{4A^2q \omega_0^3}{c^3 R_0} \, \sin(2 \omega_0t) \cos \theta \sin \theta$ ,

$H'_y=-E'_z$ ,
$H'_z=E'_y$ .

Из этих формул (совместно с рисунком, где были изображены оси) видно, что в данном примере ЭМ-волна поляризована эллиптически, с осями $y', \, z'.$ При $\theta \to 0$ поляризация переходит в линейную, с эл. полем вдоль оси $y'=y.$ При $\theta \to \pi /2$ поляризация стремится стать правой круговой; при этом амплитуда волны стремится к нулю. Наши формулы получены для азимутального угла $\alpha=0,$ но нетрудно провести расчёт при произвольном $\alpha;$ в ответе лишь заменяется $2 \omega_0t$ на $2 \omega_0t-2\alpha.$

(Полученная картина совпадает с ответом к задаче 733 в задачнике по электродинамике Батыгина и Топтыгина. Надо лишь учесть, что там ответ записан в сферической системе координат, где угол $\theta$ отсчитывается от оси $z,$ а не от оси $x,$ как предложил автор топика, и тогда синус и косинус "тета" в формулах меняются местами; кроме того, орты сферической СК связаны с ортами нашей штрихованной СК формулами $\vec{e}_{\theta}=-\vec{e}_{z'},$ $\vec{e}_{\alpha}=\vec{e}_{y'},$ поэтому $H_{\theta}=-H'_z,$ $H_{\alpha}=H'_y.$)

Угловое распределение усреднённой по периоду мощности ЭМ-излучения находим из суммы квадратов компонент вектора $\vec{E}$ или $\vec{H}$. В данном примере получаем вот такую зависимость для "мощность/площадка" от угла между осью $x$ и направлением $\vec{n}$ распространения ЭМ-волны:

$\cos^2 \theta+\cos^2 \theta \sin^2 \theta$ .

Окончание следует: будет рассказ про грав. волну.

[vlapay]

(Оффтоп)

Cos(x-pi/2) в сообщении #983600 писал(а):

vlapay
vlapay, не следует советовать участникам форума кому у кого учиться. В первую очередь учиться должен тот, кто вопросы задаёт; причём, учиться не по репликам на форумах, а по учебникам и по задачникам, по книгам и статьям. Munin объясняет это чётко, и всегда разъясняет то, что умещается в разумное количество строк.

У меня об участнике Munin сложилось своё, отличное от Вашего, мнение. И с течением времени оно только укрепляется.

Цитата:

А вечерами напролёт готовить из всей науки физики разжёванную детскую кашицу для топик-стартеров здесь никто не обязан. У меня на такие упражнения тоже нет избытка жизненных ресурсов...

Ответ по сути не обязательно должен быть долгим. Всегда есть какие-то ключевые моменты, на которые можно указать ТС, чтобы он самостоятельно разобрался в своей ошибке.

Цитата:

Раз уж обещал, то написал продолжение с картинками - про сравнение ЭМ-волн и грав. волн, но почти уверен, что подобные "простыни" нечитабельны. Неизвестно, возможен ли от них толк; явный результат пока такой: минус десяток вечеров из жизни плюс жена обижается...

Огромное спасибо, но, конечно, не в ущерб чему-то более важному. Я тоже листал литературу, чтобы чётче сформулировать свои нестыковки. Толк будет, я внимательно читаю Ваши сообщения, пока всё понятно. Математические выкладки проверяю не все, не люблю я их - слишком много делаю ошибок.

[Cos(x-pi/2)]

(Грав. волна. Часть1: тензорное поле, порождающее относительные ускорения)

vlapay в сообщении #980184 писал(а):

Разбегание или сближение пробных частиц, под действием гравитационной волны можно представить как число, характеризирующее относительное изменение расстояния за единицу времени. Для нашего трёхмерного мира это три числа по трём координатам, то есть его можно представить в виде вектора $\vec E$ <...> Дальше всё так же, как и для электрического квадрупольного вибратора.

Нет. "Разбегание или сближение" пробных частиц нельзя представить вектором, аналогичным вектору эл. поля $\vec{E}.$ Потому что вектор эл. поля определяет лишь силу $m\vec{a}=\vec{F}=q\vec{E}(P,t),$ действующую на частицу в точке Р в момент времени $t,$ а "разбегание или сближение" пробных частиц зависит от их начальных положений и скоростей.

Если уж вводить векторный аналог грав. поля - некое векторное поле $\vec{E}^{\text{грав}},$ - то оно должно действовать на каждую пробную частицу силой $\vec{F}$ типа электрической: $m\vec{a}=\vec{F}=m\vec{E}(P,t)^{\text{грав}}.$ (Силы магнитного типа игнорируем, считая скорости частиц малыми по сравнению с $c$.) Да, тут можно подумать, что грав. волна это векторное поле: что-то вроде $-\vec{C}^T_{\text{грав}}=\vec{E}^{\text{грав}},$ по аналогии с нашими примерами выше.

Но, если получше вдуматься, то... не получается аналогии с векторной волной ЭМ-сил!

Ведь здесь массы пробных частиц сокращаются: $\vec{a}=\vec{E}(P,t)^{\text{грав}}, $ так что ускорения всех пробных частиц в не слишком больших участках "плоскости, поперечной к лучу зрения" (см. рисунки выше), оказываются одинаковыми. Вот, что это значит наглядно: вообразите людей в вагоне, и пусть они вдруг начали одинаково ускоряться относительно вагона. Это то же самое, что люди не ускоряются (их траектории друг относительно друга не зависят от их одинакового ускорения), а ускоряется вагон. Ускорение вагона люди ещё могли бы заметить, и сказать - "ага, к нам пришла грав. волна!" Но в этом рассказе есть ошибка: на самом деле такая грав. волна должна действовать одинаково на всё - и на людей, и на вагон. Значит, она окажется лишь не обнаружимым локально "фоном". Заметными здесь могут быть лишь разности ускорений частиц, находящихся на больших расстояниях друг от друга, а не в малой окрестности одной точки Р.

В ОТО речь идёт о другой картине: об обнаружимой детекторами плоской грав. волне в окрестности "точки наблюдения Р", т.е. именно о локальных различиях ускорений пробных частиц! Значит, грав. поле такой волны не сводится к векторному полю; математическая конструкция типа $-\vec{C}^T_{\text{грав}}=\vec{E}^{\text{грав}}=\vec{F}/m$ здесь не годится. А что годится?

Учтём, что локальным детектором грав. волны должна служить не одна, а две пробные частицы, или больше. Одну из них примем за точку Р: это будет начало отсчёта локальной системы координат в "плоскости, поперечной к лучу зрения". Любая другая пробная частица находится в произвольной близкой точке P', и её положение описывается вектором $\vec{l}(t)=\overrightarrow{PP'}.$

Ускорение $\vec{F}/m$ пробной частицы P' относительно P должно зависеть от этого вектора $\vec{l}:$ ведь если устремить $\vec{l}$ к нулю, что означает слияние точки P' с P, то относительное ускорение должно тоже устремиться к нулю. Простейшее математическое соотношение между $\vec{F}/m$ и $\vec{l},$ при котором возможна указанная зависимость, - линейное. Самое общее математическое выражение линейной связи между двумя векторами $\vec{F}/m$ и $\vec{l}$ имеет вид:

$(1/m)F_x=C_{xx}l_x+C_{xy}l_y+C_{xz}l_z$ ,
$(1/m)F_y=C_{yx}l_x+C_{yy}l_y+C_{yz}l_z$ ,
$(1/m)F_z=C_{zx}l_x+C_{zy}l_y+C_{zz}l_z$ .

Т.е.: $F_{\alpha}=C_{\alpha \beta}l_{\beta}m$ ,

где коэффициенты $C_{\alpha \beta}$ уже не зависят от масс пробных частиц и их траекторий.Так вот, появившийся здесь тензор 2-го ранга $C_{\alpha \beta},$ не зависящий от свойств и поведения частиц-детекторов, как раз и служит количественным описанием грав. волны; этот тензор 2-го ранга заменяет собой непригодное для данных целей поле 1-го ранга $C_{\alpha},$ т.е. вектор $\vec{C}.$

В книге МТУ-3 рассмотрена плоская грав. волна, распространяющаяся вдоль оси $z;$ она описана в плоскости, "поперечной к лучу зрения" $\overrightarrow{OP},$ с координатами $x,\, y.$ Нам, для сравнения с ЭМ-примерами, будет удобно пользоваться координатами $x, \, y, \, z$ в описании частиц-источников волны, а грав. волну вблизи детектора описывать в повёрнутых осях $x', \, y', \, z',$ как это пояснялось выше на рисунках в примерах с ЭМ-волной. Вектор направления распространения волны $\vec{n}=\overrightarrow{OP}/R_0$ мы выберем, как и раньше, - с компонентами $n'_x=1,$ $n'_y=0$ и $n'_z=0.$ Тогда осями, поперечными к "лучу зрения", будут $y',\, z'.$ Тензор грав. волны $C'_{\alpha \beta}$ будем рассматривать в этих штрихованных осях.

При описании ЭМ-волны мы заранее учли её свойства поперечности, основываясь на готовых ответах в ФЛФ (или ЛЛ-2) вместо вывода решения ур-й Максвелла. Так же и теперь: учтём ряд свойств грав. поля волны (поперечность, бесследовость, симметрию по индексам), полагаясь на готовое описание решений линеаризованных уравнений ОТО в МТУ-3. Выделение поперечной части грав. волны у нас сводится просто к отбрасыванию тех компонент тензора $C'_{\alpha \beta},$ которые содержат значок $x'.$ (В МТУ-3 оно описано в терминах оператора проецирования $P_{\alpha \beta} = \delta_{\alpha \beta} - n_{\alpha}n_{ \beta}.)$

Т.е. аналогом проецирования вектора $\vec{C} \to \vec{C}^T$ на плоскость поперечную к лучу зрения, которое заключалось в отбрасывании (приравнивании к нулю) продольной компоненты $C'_x,$ теперь служит проецирование тензора $\hat C \to \hat C^T,$ которое в нашей штрихованной СК заключается в отбрасывании (приравнивании нулю) элементов $C'_{\alpha \beta}$ верхней строки и левого столбца матрицы тензора $\hat C'.$ Этому отвечает понятная физическая картина - поперечная грав. волна $\hat C^T$ создаёт силу только в плоскости, поперечной к лучу зрения, причём сила зависит лишь от поперечных же компонент вектора положения $\vec{l}$ пробной частицы Р':

$(1/m)F'_x=0$ ,
$(1/m)F'_y=C'_{yy}l'_y+C'_{yz}l'_z$ ,
$(1/m)F'_z=C'_{zy}l'_y+C'_{zz}l'_z$ .

Тензор грав. волны ${C'^T}_{\alpha \beta}$ подчиняется условию равенства нулю следа ("TT" - поперечный и бесследовый: transverse traceless). Здесь след это сумма оставшихся ненулевых диагональных элементов, $C'_{yy}+C'_{zz},$ а взятие бесследовой части матрицы сводится просто к вычитанию из этих диагональных элементов половины следа. Наконец, учтём ещё одно свойство тензора грав. поля - симметрию по индексам: $C'_{\alpha \beta}=C'_{\beta \alpha}.$ Тогда легко заметить, что самый общий вид матрицы $\hat C'^{TT}$ со всеми перечисленными свойствами таков (причём, такую матрицу всегда можно представить суммой двух симметричных матриц, также обладающих свойствами "ТТ"):

$\left [ \begin {array} {cc} C'_{yy} & C'_{yz} \\ C'_{zy} & C'_{zz} \end{array} \right]=\left [ \begin {array} {cc} a & b \\ b & -a \end{array} \right] = \left [ \begin {array} {cc} a & 0 \\ 0 & -a \end{array} \right] + \left [ \begin {array} {cc} 0 & b \\ b & 0 \end{array} \right]$

Таким образом, грав. поле волны в области детектора определяется всего двумя величинами: $a$ и $b$ - это две независимые функции от $t$ и $x'.$ Если расматривать их значения только в одной "плоскости, поперечной к лучу зрения", то можно полагать $x'=0,$ так что $a$ и $b$ у нас будут зависеть лишь от времени. Чтобы уяснить их смысл, достаточно рассмотреть два частных случая:

1) При $b=0$ поле сил, которые могут действовать на пробную частицу P' в плоскости, поперечной к лучу зрения, описывается простыми формулами с одной только функцией $a:$

$(1/m)F'_y \, =\, a \, l'_y$ ,
$(1/m)F'_z\, =\, -a \, l'_z$ .

2) Аналогично и при $a=0$ поле сил описывается простыми формулами, с одной лишь функцией $b:$

$(1/m)F'_y\, = \, b \, l'_z$ ,
$(1/m)F'_z\, = \, b \, l'_y$ .

Тут пример расчета "по точкам" векторов сил по этим формулам, схематично изображённый на клетчатой бумаге (в 7х7 точках плоскости $y',z'):$

vlapay в сообщении #980184 писал(а):

Почему-то в учебниках ничего похожего на потенциалы Лиенара-Вихерта для гравитации нет, хоть слабые поля складываются линейно.

В ОТО есть формула, аналогичная формуле запаздывающего векторного потенциала в электродинамике; см. ф-лу (36.38) в МТУ-3 или (110.3 и 4) в ЛЛ-2 издание 7 1988 г. Сейчас мы к ней подберёмся (ес-нно, опуская все нюансы).

Математический язык ОТО - дифф. геометрия; на этом языке информация о "грав. поле" содержится в метрическом тензоре $g_{mn}$ пространства-времени. Для наших целей важна его пространственная часть $g_{\alpha \beta}.$ Будем рассматривать только слабую грав. волну в линеаризованной ОТО в простейших приближениях; тогда в нулевом приближении, т.е. в отсутствие грав. волны, $g^{(0)}_{\alpha \beta}=\delta_{\alpha \beta},$ - как того требует формула Пифагора для квадратов расстояний $ds$ между точками неискривлённого пространства:

$(ds)^2=g^{(0)}_{\alpha \beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}=(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2$ .

Грав. волна привносит малые добавки $h_{\alpha \beta}$ к метрическому тензору нулевого приближения, ибо она влияет на расстояния между свободными пробными частицами. Тогда относительные ускорения свободных частиц, вызванные грав. волной, должны быть связаны со вторыми производными по времени от $h_{\alpha \beta}.$ Наш тензор грав. поля $C^{TT}_{\alpha \beta},$ о котором шла речь выше, напрямую вычисляется через эти производные (обозначаем производные по времени точками):

$C^{TT}_{\alpha \beta}=\frac{1}{2} \ddot{h}^{TT}_{\alpha \beta}$ .

Сам же волновой "метрический тензор" $h_{\alpha \beta}(P,t)$ в окрестности точки наблюдения Р вычисляется по формуле запаздывающего потенциала, порождаемого тензором энергии-импульса (ТЭИ) $T_{\alpha\beta}$ источника волны:

$h_{\alpha \beta}=\dfrac{4G}{c^4} \int dV \dfrac{(T_{\alpha \beta})_{t-R/c}}{R}$ ,

где $R$ - расстояние между элементом объема $dV$ в источнике и точкой наблюдения Р. Будем рассматривать поле на больших расстояниях $R_0$ от источника, и ограничимся случаями медленного движения тел в источнике: $|\dot{\vec{r}}_i| \ll c.$ Тогда можно заменить $R$ на $R_0$ и вынести его в знаменателе из под знака интеграла; при этом все величины, от которых зависит ТЭИ, берутся в "запаздывающее время" $t_{\text{зап}}=t-R_0/c$ (это низшее приближение по запаздыванию, в ЭМ-задаче оно соответствовало бы дипольному приближению):

$h_{\alpha \beta}=\dfrac{4G}{c^4 R_0} \int T_{\alpha \beta} \, dV$ ,

где $T_{\alpha \beta}$ берётся при $t_{\text{зап}}.$

Разберём примеры, в которых излучающими телами будут точечные частицы с радиус-векторами $\vec{r}_i$ и массами $m_i,$ соединённые невесомыми стержнями или пружинами (конкретно: можно рассматривать два тела, показаннные выше на рис.) Тогда ТЭИ запишется в виде:

$T_{\alpha \beta}= \sum_i \delta (\vec{r}-\vec{r}_i) m_i \dot{x}_i^{\alpha} \dot{x}_i^{\beta} + T_{\alpha \beta}^{\text{напряж}}$ ,

где второй член - вклад в ТЭИ, происходящий от тензора механических напряжений $\sigma_{\alpha \beta}$ стержней или пружин:

$T_{\alpha \beta}^{\text{напряж}}=-\sigma_{\alpha \beta}$ .

После интегрирования по объёму имеем:

$\int T_{\alpha \beta} \, dV=\sum_i m_i \dot{x}_i^{\alpha} \dot{x}_i^{\beta}-\int \sigma_{\alpha \beta} \,dV $ .

Рассмотрим подробнее вклад тензора напряжений (при этом можно держать перед глазами показанную выше наглядную картинку стержня (или пружины) с двумя массами на концах). И при вращении, и в случае линейного колебания на массу $m_i$ действует сила $m_i\ddot{\vec{r}}_i,$ направленная параллельно стержню (или пружине). Поскольку "вектор силы действия равен с минусом вектору силы противодействия", то когда масса $m_i$ испытывает ускорение $\ddot{\vec{r}}_i$ под действием торца стержня, то она же действует на торец с силой $\vec{F}_i=-m_i\ddot{\vec{r}}_i$, создавая в стержне одноосное напряжение величиной $F_i/S,$ где $S$ - площадь поперечного сечения стержня, $F_i$ - величина силы, понимаемая как проекция силы на направление стержня: при растяжении стержня она положительная, а при сжатии - отрицательная. Обозначим: $\vec{e}_i=\vec{r}_i/r_i$ - единичный вектор в направлении к телу $m_i$ вдоль стержня. Тогда тензор напряжения в i-ом стержне есть:

$\sigma_i^{\alpha \beta}=F_i e_i^{\alpha} e_i^{\beta}/S=-\frac{1}{2}m_i \ddot{x}_i^{\alpha}e_i^{\beta}/S-\frac{1}{2}m_i e_i^{\alpha} \ddot{x}_i^{\beta}/S $ .

Последнее выражение записано в симметризованном по индексам виде, т.к. тензор напряжений явно симметричен: $\sigma_i^{\alpha \beta}=\sigma_i^{\beta \alpha}.$ Интегрирование по объёму i-го стержня сводится к умножению на объём $V_i=r_iS.$ Заметим, что $r_ie_i^{\gamma}=x_i^{\gamma}.$ В итоге, суммируя по номеру i (в примере с двумя массами это означает сложение двух вкладов от двух половин стержня суммарной длины $r_1+r_2$), получим:

$\int T_{\alpha \beta}^{\text{напряж}} \, dV=\frac{1}{2} \sum_i m_i (\ddot{x}_i^{\alpha}x_i^{\beta}+x_i^{\alpha} \ddot{x}_i^{\beta})$ ,

так что вместе с вкладом масс имеем:

$\int T_{\alpha \beta} \, dV=\sum_i m_i \dot{x}_i^{\alpha} \dot{x}_i^{\beta}+\frac{1}{2} \sum_i m_i (\ddot{x}_i^{\alpha}x_i^{\beta}+x_i^{\alpha} \ddot{x}_i^{\beta})$ .

vlapay в сообщении #981540 писал(а):

Вы можете объяснить, как получается квадрупольный момент масс из ТЭИ?

Да. Он у нас уже почти получился. Аналогично ситуации в ЭМ-задаче, нам будет удобнее иметь дело с квадрупольным моментом в форме "вторых моментов масс" $I_{\alpha \beta}:$

$I_{\alpha \beta}=\sum_i m_i x_i^{\alpha} x_i^{\beta}$ .

Половина от его второй производной по времени как раз равна $\int T_{\alpha \beta} \, dV:$

$\frac{1}{2} \ddot{I}_{\alpha\beta}=\sum_i m_i (\dot{x}_i^{\alpha} \dot{x}_i^{\beta}+\frac{1}{2}\ddot{x}_i^{\alpha}x_i^{\beta}+\frac{1}{2}x_i^{\alpha} \ddot{x}_i^{\beta})$ .

Следовательно:

$h_{\alpha \beta}=\dfrac{2G}{c^4 R_0}\ddot{I}_{\alpha\beta}$ , и поэтому:

$C^{TT}_{\alpha \beta} \, = \, \dfrac{G}{c^4} \dfrac{1}{R_0} \, \ddddot{I}^{TT}_{\alpha\beta}$ .

Окончание (т.е. его часть 2) следует: будут рассмотрены два примера для сравнения с примерами ЭМ-волны.

[Cos(x-pi/2)]

(Грав. волна. Часть 2, окончание: два примера)

Пример (а), аналогичный ЭМ-примеру с линейным вибратором:

Пусть две одинаковых точечных массы $m$ на концах пружинки длиной $L$ образуют линейный "вибратор" с частотой $\omega_0$ и амплитудой $A$. Тогда вычисление $I'_{\alpha \beta}$ в повёрнутых осях даст точно такую же матрицу, что и в ЭМ-примере (берём матрицу из ЭМ-примера и просто-напросто заменяем везде буквы $q$ и $Q$ буквами $m$ и $I):$

$\left [ \begin {array} {ccc} I'_{xx} & I'_{xy} & I'_{xz} \\ I'_{yx} & I'_{yy} & I'_{yz} \\ I'_{zx} & I'_{zy} & I'_{zz} \end{array} \right]= \left [ \begin {array} {ccc} I_{xx}\cos^2 \theta & 0 & -I_{xx}\sin \theta \cos \theta \\ 0 & 0 & 0 \\ -I_{xx}\sin \theta \cos \theta & 0 & I_{xx} \sin^2 \theta \end{array} \right]$

Взятие поперечной части в ЭМ-примере означало взятие левого столбца, а здесь оно означает взятие блока, получающегося вычёркиванием левого столбца и верхней строки:

$\hat I'^T=\left [ \begin {array} {cc} I'_{yy} & I'_{yz} \\ I'_{zy} & I'_{zz} \end{array} \right]= \left [ \begin {array} {cc} 0 & 0 \\ 0 & I_{xx} \sin^2 \theta \end{array} \right]$

След этой матрицы равен $I_{xx} \sin^2 \theta.$ Вычитая из этой матрицы половину следа, умноженную на единичную матрицу $\delta_{\alpha \beta}$ размером 2х2, получаем бесследовую часть поперечной части:

$\hat I'^{TT}= \left [ \begin {array} {cc} -\frac{1}{2} I_{xx} \sin^2 \theta& 0 \\ 0 & \frac{1}{2}I_{xx} \sin^2 \theta \end{array} \right]$

Ну, дальше осталось взять 4-ю производную по времени от $I_{xx}=2mx^2(t)=2m(L/2+A \cos(\omega_0t))^2,$ подставить вместо $t$ переменную $t_{\text{зап}}=t-R_0/c$ и умножить всё на $\frac{G}{c^4} \frac{1}{R_0}.$

Поленюсь выписывать ответ полностью, т.к. структура итогового тензора $\hat C'^{TT}$ уже ясна - она такая же, как у найденной матрицы $\hat I'^{TT}:$

$ \hat C'^{TT}=\left [ \begin {array} {cc} C'_{yy} & C'_{yz} \\ C'_{zy} & C'_{zz} \end{array} \right]= \left [ \begin {array} {cc} -C(t) \sin^2 \theta & 0 \\ 0 & C(t) \sin^2 \theta \end{array} \right] = \left [ \begin {array} {cc} a & 0 \\ 0 & -a \end{array} \right ]$

Т.е. из двух возможных типов поляризации грав. волны (см. рис. в посте выше) здесь имеет место первый. Амплитуда волны пропорциональна $\sin^2 \theta,$ и, если мощность пропорциональна квадрату амплитуды, то, значит, угловое распределение мощности ведёт себя как $\sin^4 \theta,$ где $\theta$ - угол между направлением вибратора и направлением распространения волны. В отличие от ЭМ-примера здесь излучение получилось максимальным в направлениях, перпендикулярных направлению вибратора. Понятно, что это связано с различием "свойства поперечности" у векторного и у тензорного поля (что выразилось в различии операций выделения "поперечных частей" поля).


Пример (б), аналогичный ЭМ-примеру с вращающимся излучателем:

Действуя как и выше, т.е. пользуясь результатом вычислений в ЭМ-примере, имеем:

$\left [ \begin {array} {ccc} I'_{xx} & I'_{xy} & I'_{xz} \\ I'_{yx} & I'_{yy} & I'_{yz} \\ I'_{zx} & I'_{zy} & I'_{zz} \end{array} \right]= \left [ \begin {array} {ccc} I_{xx}\cos^2 \theta & I_{xy} \cos \theta & -I_{xx}\sin \theta \cos \theta \\ I_{xy} \cos \theta & I_{yy} & - I_{xy} \sin \theta \\ -I_{xx}\sin \theta \cos \theta & - I_{xy} \sin \theta & I_{xx} \sin^2 \theta \end{array} \right]$

Выполняем TT-проецирование, т.е. вычеркиваем левый столбец и верхнюю строку, а из элементов $I'_{yy}$ и $I'_{zz}$ в оставшейся матрице вычитаем половину её следа, равную $(1/2)( I_{yy}+I_{xx} \sin^2 \theta).$ Получаем:

$\hat I'^{TT}= \left [ \begin {array} {cc} \frac{1}{2} (I_{yy}-I_{xx} \sin^2 \theta)& -I_{xy} \sin \theta \\ -I_{xy} \sin \theta & -\frac{1}{2} (I_{yy}-I_{xx} \sin^2 \theta) \end{array} \right]$ .

Сюда входят две независимые величины (от них нам нужно будет взять 4-е производные по времени):

$\frac{1}{2} (I_{yy}-I_{xx} \sin^2 \theta)=-mA^2 \, \cos(2 \omega_0t) \, \dfrac{1+\sin^2 \theta}{2}+\frac{mA^2}{2} \cos^2 \theta$ ,

$ -I_{xy} \sin \theta=-mA^2 \, \sin(2 \omega_0t) \, \sin \theta$ .

Не зависящее от времени слагаемое не даёт вклада в производные; в итоге имеем ответ:

$\hat C'^{TT}=\left [ \begin {array} {cc} a & b \\ b & -a \end{array} \right]$ , где:

$a=-\dfrac{G}{c^4R_0} mA^2 \, 16 \omega_0^4 \, \cos(2\omega_0 t_{\text{зап}}) \, \dfrac{1+\sin^2 \theta}{2}$ ,

$b=-\dfrac{G}{c^4R_0} mA^2 \, 16 \omega_0^4 \, \sin(2\omega_0 t_{\text{зап}}) \, \sin \theta$ .

Видно, что здесь в $\hat C'^{TT}$ колебания с двумя типами поляризации суммируются в "квадратурной фазировке" и с разными амплитудами, т.е. в общем случае в точку наблюдения приходит грав. волна с "эллиптической поляризацией". При наблюдении в плоскости вращения источника, т.е. при $\theta=0,$ функция $b$ обращается в ноль, так что остаётся только вклад "линейной" поляризации первого типа. В направлении же перпендикулярном плоскости вращения источника, т.е. при $\theta=\pi/2,$ амплитуды колебаний $a$ и $b$ равны: поляризация становится "круговой".

Видно, что сумма квадратов амплитуд обеих поляризаций, характеризующая угловое распределение мощности излучения, в общем случае пропорциональна выражению вида:

$ (\frac{1+\sin^2 \theta}{2})^2+\sin^2 \theta$ ,

т.е. пропорциональна выражению:

$(1+6\sin^2 \theta+\sin^4 \theta).$

Эта картина углового распределения мощности совпадает с описанной для аналогичного примера в литературе (с заменой синуса на косинус при отсчёте угла от оси $z);$ см. задачу 1 к параграфу 110 ЛЛ-2 1988 г.

(P.S. про опечатки в напечатанных мной кучах формул)

В посты с длинными формулами у меня всегда сослепу лезут опечатки, увы. Вероятно и в этой теме я допустил немало брака. Имхо, мне нет смысла искать и здесь перечислять все дефекты, а то ж придётся потом делать список опечаток в списке опечаток... Прошу простить мне глупые описки, если они есть и если их вообще кто-нибудь заметит; а если всё-таки потребуется прояснить что-то совсем невнятное, то постараюсь ответить на вопросы.

Хороший понятный и краткий рассказ про "что такое грав. волна" есть в начале старенькой статьи Торна и Пресса:
Гравитационно-волновая астрономия, УФН 1973 г.

(Статья ,была написана с большим оптимизмом, хотя и с оговоркой, что не хватает порядка, или больше, в чувствительности детекторов для обнаружения грав. волн даже от самых мощных предполагаемых источников во Вселенной. В те годы надеялись на быстрый прогресс техники детектирования. Аналогичных современных обзоров на эту тему я пока не удосужился нагуглить; если у кого уже есть под рукой хорошие ссылки, то выложите, плз.)

[Munin]

vlapay в сообщении #983681 писал(а):

У меня об участнике Munin сложилось своё, отличное от Вашего, мнение. И с течением времени оно только укрепляется.

Очень жаль, что у вас не сложилось мнения о физике и математике.

vlapay в сообщении #983681 писал(а):

Я тоже листал литературу, чтобы чётче сформулировать свои нестыковки.

Продуктивней было бы её читать (а то и штудировать), чтобы их исправить.

vlapay в сообщении #983681 писал(а):

Математические выкладки проверяю не все, не люблю я их - слишком много делаю ошибок.

Именно в них вся суть сообщения. Ну а то, что вы делаете ошибки, говорит сами понимаете о чём...

Cos(x-pi/2) в сообщении #983739 писал(а):

Аналогичных современных обзоров на эту тему я пока не удосужился нагуглить; если у кого уже есть под рукой хорошие ссылки, то выложите, плз.

Тот же УФН, два обзора:
2000 г. В.Б. Брагинский Гравитационно-волновая астрономия: новые методы измерений http://ufn.ru/ru/articles/2000/7/c/
2001 г. Л.П. Грищук и др. Гравитационно-волновая астрономия: в ожидании первого зарегистрированного источника http://ufn.ru/ru/articles/2001/1/a/

Может, есть и посвежее (не в УФН, но на arXiv), но всё пессимистичные: сигнала так и не зарегистрировано, оценки снижаются, при том, что новые инструменты вводятся в строй, старые апгрейдятся.

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #983888 писал(а):

УФН, два обзора <...> Может, есть и посвежее (не в УФН, но на arXiv), но всё пессимистичные: сигнала так и не зарегистрировано, оценки снижаются, при том, что новые инструменты вводятся в строй, старые апгрейдятся.

Спасибо, будем посмотреть, как говорится.

[vlapay]

Cos(x-pi/2) в сообщении #983600 писал(а):

Из Ваших слов

Цитата:

амплитуда излучения зависит, в основном, от ускорения зарядов

заключаю, что Вы знакомы с наглядным фейнмановским построением электрического поля излучения $\vec{E}(P,t):$ "... поле пропорционально ускорению заряда, спроектированному на плоскость, перпендикулярную лучу зрения..." (см. ФЛФ-3 и 6).

Нет, я об этом не знал, спасибо за новую информацию. Странно только то, что у Фейнмана формула напряжённости поля отличается от формулы Лиенара-Вихерта.

Cos(x-pi/2) в сообщении #983704 писал(а):

Нет. "Разбегание или сближение" пробных частиц нельзя представить вектором, аналогичным вектору эл. поля $\vec{E}.$

Точно, это я тормознул. Посмотрел только на линейную поляризацию гравитационной волны, где пробные частицы движутся по прямой, и не учёл, что есть и круговое движение пробных частиц, то есть, движение перпендикулярно радиус-вектору. То есть, надо две переменные, характеризующие движение пробных частиц, на одну координату, которые нельзя представить вектором, а только тензором, как Вы подробно расписали.

Цитата:

Если уж вводить векторный аналог грав. поля - некое векторное поле $\vec{E}^{\text{грав}},$ - то оно должно действовать на каждую пробную частицу силой $\vec{F}$ типа электрической: $m\vec{a}=\vec{F}=m\vec{E}(P,t)^{\text{грав}}.$ (Силы магнитного типа игнорируем, считая скорости частиц малыми по сравнению с $c$.) Да, тут можно подумать, что грав. волна это векторное поле: что-то вроде $-\vec{C}^T_{\text{грав}}=\vec{E}^{\text{грав}},$ по аналогии с нашими примерами выше.

Но, если получше вдуматься, то... не получается аналогии с векторной волной ЭМ-сил!

Ведь здесь массы пробных частиц сокращаются: $\vec{a}=\vec{E}(P,t)^{\text{грав}}, $ так что ускорения всех пробных частиц в не слишком больших участках "плоскости, поперечной к лучу зрения" (см. рисунки выше), оказываются одинаковыми. Вот, что это значит наглядно: вообразите людей в вагоне, и пусть они вдруг начали одинаково ускоряться относительно вагона. Это то же самое, что люди не ускоряются (их траектории друг относительно друга не зависят от их одинакового ускорения), а ускоряется вагон. Ускорение вагона люди ещё могли бы заметить, и сказать - "ага, к нам пришла грав. волна!" Но в этом рассказе есть ошибка: на самом деле такая грав. волна должна действовать одинаково на всё - и на людей, и на вагон. Значит, она окажется лишь не обнаружимым локально "фоном". Заметными здесь могут быть лишь разности ускорений частиц, находящихся на больших расстояниях друг от друга, а не в малой окрестности одной точки Р.

На самом деле это всё не аргумент. Если у нас есть только электрические заряды с одинаковым соотношением заряд/масса (как в гравитации), то мы получим точно такую же картину. Но, из наших трудностей, в этом случае, с регистрацией электромагнитных волн, ещё не следует что векторных электромагнитных волн не существует.

Cos(x-pi/2) в сообщении #983600 писал(а):

Учтём также известные факты: на большом расстоянии от излучающих зарядов ЭМ-поле в любом малом участке пространства имеет вид плоской волны; векторы $\vec{E},$ $\vec{H}$ и $\vec{n}$ взаимно перпендикулярны и ориентированы так, как схематично показано на рис., а по величине электрическое и магнитное поля равны: $|\vec{E}|=|\vec{H}.|$ Поэтому проецирование можно заменить векторным умножением: ведь если разложить

$\vec{a}=\vec{a}^T+\vec{a}^L$

на поперечную (T) и продольную (L) части по отношению к направлению волны $\vec{n},$ то в векторное произведение с $\vec{n}$ даст вклад только поперечная часть (а продольную можно вообще отбросить или выбрать произвольной):

$[ \vec{a} \times \vec{n} ]=[ \vec{a}^T \times \vec{n} ]$ ,

причём этот вектор будет направлен как раз вдоль магнитного поля. Т.е., векторно умножив $\dfrac{1}{c^2 R_0} \, q_1 \, \vec{a}_1$ на $\vec{n},$ получим вектор магнитного поля, а повторно умножив его векторно на $\vec{n},$ получим эл. поле излучения от заряда 1.

Значит, чтобы находить этим методом суммарное поле излучения от всех зарядов-источников, полезно сначала сосчитать "заготовку для проецирования" - вектор, суммарный по зарядам (обозначим его как $\vec{C}$ - эта буква вроде бы ещё не использована :), который затем будем векторно умножать на $\vec{n}.$ Ускорения $\vec{a}_i(t'_i)$ зарядов $q_i$ вычисляются по формуле, аналогичной той, что уже была написана для заряда 1 (все "эр" там относятся к моменту времени $t_{\text{зап}},$ а постоянный вектор $\vec{n}$ для них всех общий); номер частиц $i$ ради краткости не пишем:

$\vec{C}=\dfrac{1}{c^2 R_0} \, \sum q \ddot{\vec{r}} + \dfrac{1}{c^3 R_0} \, \sum q (\dddot{\vec{r}}(\vec{r} \cdot \vec{n})+2\ddot{\vec{r}}(\dot{\vec{r}} \cdot \vec{n})+\dot{\vec{r}}(\ddot{\vec{r}} \cdot \vec{n}))=$

Подождите, подождите, а как это может быть - в формуле для напряжённости электромагнитного поля получилась третья производная по времени от координаты, если в формуле потенциала Лиенара-Вихерта фигурирует только вторая производная? Так быть не может и не должно, это вопрос принципиально важный.
Для примера рассмотрим излучение электрического квадрупольного вибратора:

Cos(x-pi/2) в сообщении #983668 писал(а):

$E'_x=0$ ,
$E'_y=0$ ,
$E'_z=(1/(2c^3 R_0)) \, \dddot{Q}_{xx} \cos \theta \sin \theta$ .

Предположим, что квадрупольный момент меняется по циклу - в первой четверти цикла третья производная квадрупольного момента равна нулю, а в остальное время цикла синусоидальное движение зарядов.
$t\in[0..T/4]$
$Q_{1xx}(t)=2q((L-A)^2+LA 8\pi t^2/T^2)$
$t\in[T/4...T]$
$Q_{2xx}(t)=2q(L-LA\cos{(2\pi t/T)})^2$
$A=2-\pi/2$
Можно убедиться в том, что при таких параметрах происходит плавная сшивка функций:
$Q_{1xx}(0)=Q_{2xx}(0)$ и $Q_{1xx}'(0)=Q_{2xx}'(0)$
$Q_{1xx}(T/4)=Q_{2xx}(T/4)$ и $Q_{1xx}'(T/4)=Q_{2xx}'(T/4)$
Координаты и скорость зарядов меняются плавно. Вычислим теперь средний импульс, который приобретает заряд под действием волны за один период:
$p=q_0\int_0^TE'_zdt=(\int_0^{T/4}\dddot{Q}_{1xx}dt+\int_{T/4}^T\dddot{Q}_{2xx}dt )\frac{q_0\cos \theta \sin \theta}{2c^3 R_0}\neq 0
Получается абсолютно невозможный результат. Якобы точный вывод, который Вы сделали на основе фейнмановского подхода к излучению, в учебнике Ландау-Лифшица получен как первое приближение запаздывающих потенциалов по параметру $\frac{\vec r\vec n}{cT}$. Несмотря на плавность движения зарядов, в моём примере, на точках сшивки, происходят скачки ускорения. Из-за запаздывания сигнала от двух удалённых зарядов, на точках сшивки происходит, как-бы короткий "всплеск" дипольного излучения. Для этих "всплесков" вышеупомянутый параметр не является малым, поэтому данное приближение не является достаточным. Как раз эти "всплески" и дают недостающий импульс пробному заряду $q_0$.
Здесь надо брать точную формулу потенциала Лиенара-Вихерта и можно убедится что, в этом случае, $p=q_0\int_0^TE'_zdt=0$, так как и должно быть.



Теперь перейдём к гравитации. Вы получили формулу тензора относительных ускорений для гравитационной волны в виде

Cos(x-pi/2) в сообщении #983704 писал(а):

$C^{TT}_{\alpha \beta} \, = \, \dfrac{G}{c^4} \dfrac{1}{R_0} \, \ddddot{I}^{TT}_{\alpha\beta}$

Для квадрупольного вибратора это волна в виде
$a(t) = \, \dfrac{G}{c^4} \dfrac{1}{2R_0} \, \ddddot{I}_{xx}\sin^2\theta$
Для моего примера относительный импульс пробного тела за один период $p_y=\int_0^Tml'_ya(t)dt=ml'_y(\int_0^{T/4}\ddddot{I}_{1xx}dt+\int_{T/4}^T\ddddot{I}_{2xx}dt ) \dfrac{G}{c^4} \dfrac{\sin^2\theta}{2R_0}\neq 0$.
Формулы вроде похожи и для электромагнитного и для гравитационного излучений, а суть разная. Если мы возьмём $\sin\theta=1$, то время запаздывания одинакова для всех точек квадрупольного вибратора. Если электромагнитного излучения, в этом случае, нет, то гравитационное есть. Как ни крути, но уже никак нельзя что-то изменить, учитывая запаздывания сигналов, как в случае электромагнитных волн. Поэтому и формулы ОТО для гравитационного излучения ошибочны.
Ну не может быть источником гравитационных волн изменение тензора энергии-импульса. Источником волн может быть только сохраняющаяся величина - электрический заряд для электромагнитных волн или энергия, для гравитации. И реальный гравитон не может иметь спин двойку - максимум единицу. Интересно было бы посмотреть на формулы ОТО для гравитационной волны со спином единица.

(Оффтоп)

Уважаемый Cos(x-pi/2). Я восхищаюсь Вашим детальным и последовательным изложением столь сложной темы. Если Вы раньше не писали учебников, то можно только сожалеть об этом.

Munin в сообщении #983888 писал(а):

Может, есть и посвежее (не в УФН, но на arXiv), но всё пессимистичные: сигнала так и не зарегистрировано, оценки снижаются, при том, что новые инструменты вводятся в строй, старые апгрейдятся.

Если нет гравитационных волн в том виде, в котором их предсказывает ОТО, то их нельзя зарегистрировать на Земле. Гравитоны со спином единица не регистрируются, максимум - рассеиваются на этих приборах.