Найти себя

[svv]

maximk в сообщении #980839 писал(а):

А что вы понимаете под систематичностью изучения?

В данном случае — «проходить новый материал только тогда, когда понятны и проработаны основы, на которых новый материал базируется».

maximk в сообщении #980839 писал(а):

ибо у меня постоянно меняются ориентиры

Конечно, это сбивает. Понятно, что в таком изменении виноваты не только Вы. Иногда есть такой выход. Вы, скажем, замечаете, что постоянно страдаете из-за отсутствия твердых знаний по линейной алгебре: «И здесь ЛА, и там ЛА, а у меня пробелы. Да сколько же можно, неужели все (даже черепашки) уже давно изучили, а я так и останусь???» Когда Вы достигли такой точки, ЛА как ориентир будет, надеюсь, уже меньше подвержен изменениям.

maximk в сообщении #980839 писал(а):

люто расходуется энергия

Это верный признак, что Вы что-то делаете не так, и пора что-то переосмыслить.

[arseniiv]

svv в сообщении #980837 писал(а):

А Вы понимаете, что такие вещи, хотя бы отчасти, возникают из-за отсутствия систематического изучения?

Присоединяюсь. Когда непонятно, что именно не так/непонятно — это как раз оно. Раз непонятно с фактор-множествами — посетите места вокруг них снова: разбиения, отношения эквивалентности. По смыслу, фактор-множество — это «огрубление» исходного, когда мы как бы перестаём различать эквивалентные элементы. На языке теории множеств это удобно выразить, собрав все такие эквивалентные элементы в одну кучу (потому что это можно сделать всегда, откуда бы множество ни взялось) и зовя уже такие кучи элементами результата — фактор-множества. Постройте, например, $\mathbb Z/{\sim}$, где $m\sim n\Leftrightarrow m\equiv n\pmod s$ и $s$ — целое неотрицательное (для нескольких первых).

svv в сообщении #980837 писал(а):

Кстати, несистематичность — это и моя беда.

И тут присоединяюсь. В некоторых местах эта несистематичность, конечно, настолько плотна, что её не отличить от систематичности, но… arseniiv, иди учи ТФКП и алгебру! Учи ТФКП и алгебру, кому сказал!

(Оффтоп)

Ну это так, для примера. Если выписывать целиком, получится несколько страниц. А эти вещи хотя бы ближе к интересам и, что самое страшное, книги все рядом, аж по нескольку на выбор.

[Munin]

maximk в сообщении #980803 писал(а):

Да, интересно было бы найти такие. А сейчас, видимо, прийдется составлять их самому в соответствии со своими прихотями.

Это почти нереально - надо сначала всё прочитать, а потом уже можно составлять "карту местности". То есть, единственный способ - это спросить кого-то знающего, а лучше не одного, а многих.

svv в сообщении #980837 писал(а):

В этом вопросе можно позавидовать Muninу, у которого программа самообразования расписана на 150 лет вперед.

:-) На самом деле, я и сам постоянно сталкиваюсь с этой проблемой. Но я по крайней мере знаю, что это проблема, знаю, что её надо решать, примерно знаю как: надо искать промежуточные ступени, и не лениться по ним взбираться.

А то, что я другим советую программы самообразования, то это чтобы облегчить эти трудности, избавить других от своих ошибок и неудач.

maximk в сообщении #980839 писал(а):

Раньше я тоже расписывал систему самообразования, но вижу, что зря делал это, ибо у меня постоянно меняются ориентиры

Ориентиры - это одно. А то, что нельзя пропускать промежуточные этапы - это другое.

maximk в сообщении #980803 писал(а):

В связи с таким подходом к изучению математики встаёт очень важный вопрос о составлении схемы зависимостей между книгами так, чтобы материал отдельных книг не пересекался без надобности его повторения

Важнее не отсутствие пересечений, а отсутствие пробелов.

Знания - это как острова в море, или кочки на болоте. Нельзя прыгать слишком далеко. Можно только строить короткие мостики от одного острова к следующему ближайшему (или мостить гать от одной кочки к другой). И тогда по цепочке мостов можно добраться от начального острова к желаемому.

maximk в сообщении #980830 писал(а):

И я всё пытаюсь перевести на "человеческий" язык, чтобы придерживаться почвы

Это одна из ключевых ошибок. Надо наоборот, переводить себя на новый математический язык, и привыкать к новым словам и понятиям, чтобы они становились как раз базовыми в работе мысли.

Частности:

maximk в сообщении #980830 писал(а):

Я до сих пор не могу до конца отчётливо понять, что же такое фактормножество (ну и как следствие все термины "фактор-типа").

Здесь надо опираться на начальный курс высшей алгебры: там есть понятие фактор-группы, и так вот, все остальные "факторы" в математике нарисованы по этому образцу. Сюда же и понятие "факторизации".

maximk в сообщении #980830 писал(а):

Не так уж давно познакомился с понятием гомологии, но до сих пор продолжаю вдумываться в это определение. Что есть факторизация группы n-мерных циклов по группе n-мерных границ? Что есть ядро гомоморфизма вообще (как понимать множество элементов, переходящих в нейтральный элемент, наверняка вы задумывались над "простой интуитивной интерпретацией")?

Здесь стоит, во-первых, опять хорошенько вспомнить (или изучить) алгебру, а во-вторых, поработать с какой-нибудь наглядной демонстрацией этих понятий.

Например, в двухтомнике Прасолова по началам топологии - излагается теория на примере симплициальных гомологий. Симплексы - это многомерные тетраэдры, и из них склеиваются по граням произвольные многомерные комплексы. И вот у этих штук изучается топология, и понятия цепей, циклов и границ становятся довольно ясны. (И заодно, бонусом, коцепей, коциклов и кограниц.)

maximk в сообщении #980830 писал(а):

Не могу до сих пор до конца разобраться, почему же это множество так названо, что послужило мотивацией для такого наименования (ядро)?

Это просто термин из алгебры, его надо запомнить. Его образный смысл лежит далеко в другой области.

maximk в сообщении #980839 писал(а):

Ну непонимание термина "ядра группы" возникает скорее из непонимания термина "ядра" в русском языке.

Нету ядра группы, есть ядро отображения. У отображения есть ядро и образ (а также коядро и кообраз).

[maximk]

Nataly-Mak, да, знакомо всё это. Думаю, нужно задаться каким-нибудь конкретным вопросом, на который хочется получить ответ, наметить пути подхода к решению, разбить каждый из путей на несколько более простых задач, подзадачи разбить еще на более простые и т.д.. Нет необходимости читать очень много (и тем более заучивать), чтобы всё знать для решения конкретных задач, ведь можно просто пытаться найти один из возможных путей решения и строить конструкции (при необходимости) (или использовать уже готовые, которых не так уж и мало, нужно только найти) для преодоления определенных трудностей.

Кому-то проще работать с группами перестановок, кому-то с группами целых чисел, а кто-то умеет считать пределы - вариантов решения куча, важно уметь сводить задачу к тому, в чем есть навык. Чем больше думаешь над задачей, тем больше ее понимаешь и больше подходов к ее решению удается увидеть.

Еще не пробовал, но предполагаю, что рациональнее решать задачу вместе с группой людей, ибо каждый видит задачу по-своему и имеет определенный навык в определенной области, что позволяет разносторонне рассматривать задачу и помогать друг-другу, когда образуются сложности (если вы не скупы в случае, если это одна из задач миллениума ). В связи с этим замечание Nataly-Mak становится особенно важным.

[arseniiv]

Munin в сообщении #980854 писал(а):

Здесь надо опираться на начальный курс высшей алгебры: там есть понятие фактор-группы, и так вот, все остальные "факторы" в математике нарисованы по этому образцу. Сюда же и понятие "факторизации".

Почему же, фактор-множество ничем не хуже, фактор-группа и все остальные — это фактор-множества по «индуцированному» отношению эквивалентности (ну и операцией, но её и так всегда описывают явно). Хотя без операции действительно всего не уловишь, у множеств многие интересные вещи совпадают именно из-за отсутствия структуры…

[maximk]

Запоминать термины конечно можно, но теперь мне гораздо интереснее манипулировать ими путем сопоставления им образа в сознании. Так вот мне и интересно (объясните вкратце, если не сложно), какова природа "ядра".
Что самое интересное, то решить задачи по всем этим темам для меня не составляет труда, но таки понять эти термины до конца так и не удалось (с тем же успехом посчитал несколько групп гомологий, но это никак не повлияло на уровень понимания).

Да, линейная алгебра долго не давала мне возможности сталкиваться с областями математики, где она существенно используется (верней я просто не любил ее и никоим образом не хотел с ней сталкиваться, хоть и проблем особо не было с ней, просто опять же не хватало интуитивного уровня понимания). Сейчас почитываю ее по конспектам лекций младших курсов, а потом и за учебник возьмусь. Читал не так давно несколько учебников по базовым курсам алгебры (штук 7), конспектировал их и естественно в итоге бросил чтение всех (много энергии отнимает). Понравился учебник Винберга, но все-таки почему-то все эти конструкции в его изложении довольно сложны в понимании для меня лично (не говоря уже о задачах из этого учебника). Надеюсь, что когда-нибудь возьмусь за систематическое изучение этого учебника вместе с решением задач по нему, когда прийдет время (с этим разберусь). Пока что мне хватает параллельного краткого изучения материала для заполнения пробелов тогда, когда в этом есть необходимость при изучении более сложного материала. Опять же не вижу смысла учить все подряд (я просто читаю, время от времени возвращаясь для повторения, когда есть необходимость), все равно забуду.

Прасолова почитаю, спасибо. Одно время перечитывал тетрадь с конспектами "Алгебры" Ленга (и сейчас перечитываю) и рисовал вводимые в учебнике понятия для большего понимания (но теперь все же предпочитаю представлять это в уме, ибо лень рисовать, время занимает (хотя может это и в минус, но это мой выбор)).

Почему-то топологическое понятие факторизации для меня более понятно, чем теоретико-множественное и алгебраическое (хотя несомненно это всё суть одно и то же) (наверное как раз таки в связи с моей любовью к отображению в уме всех этих абстрактных понятий).

svv, с чем это может быть связано? Пока что я не планирую капитально бросать математику, а просто изучаю ее помаленьку для души, не стремясь быть лучшим. Мне некуда спешить. Вот, что я пока что для себя переосмыслил.

[Xaositect]

maximk в сообщении #980868 писал(а):

Nataly-Mak, да, знакомо всё это. Думаю, нужно задаться каким-нибудь конкретным вопросом, на который хочется получить ответ, наметить пути подхода к решению, разбить каждый из путей на несколько более простых задач, подзадачи разбить еще на более простые и т.д.. Нет необходимости читать очень много (и тем более заучивать), чтобы всё знать для решения конкретных задач, ведь можно просто пытаться найти один из возможных путей решения и строить конструкции (при необходимости) (или использовать уже готовые, которых не так уж и мало, нужно только найти) для преодоления определенных трудностей.

Тут надо соблюдать баланс, потому что при незнании известных путей решения есть две опасности: их можно не заметить там, где они полезны, и их придется переизобретать тогда, когда лучше было бы их просто применить.
В экстремальном случае получается что-то типа этого поста: post892629.html#p892629 : очевидные методы решения придумываются, а для того, чтобы понять их несостоятельность, знаний не хватает. Можете, кстати, подумать над той задачей, к ней в разное время были успешно применены помимо очевидных вещей такие вещи, как двойственность Стоуна, классическая алгебраическая геометрия, теория представлений. Может, и гомологии куда-нибудь влезут. Но без понимания понятия ядра отображения там вряд ли что-то можно сделать.

[Nataly-Mak]

Xaositect в сообщении #980880 писал(а):

Тут надо соблюдать баланс, потому что при незнании известных путей решения есть две опасности: их можно не заметить там, где они полезны, и их придется переизобретать тогда, когда лучше было бы их просто применить.

А между прочим, в процессе "переизобретения" исследователь приобретает колоссальный опыт.
Приведу один пример. В самом начале своего трудного и многолетнего пути (уже после того, как большой вынужденный перерыв закончился - 2005 год) я приступила к исследованию классических пандиагональных квадратов 5-го порядка. Ещё ничего (совсем!) не знала о латинских квадратах и о методе латинских квадратов.
В Интернете, конечно, нашла сайт, где метод этот был описан. Но поскольку по-английски ни бельмеса, о ЛК - ничего, описание это мне мало что дало.
И ВСЕ пандиагональные классические квадраты 5-го порядка (а их 3600 штук) я построила сама, ручками (конечно, не без помощи компьютера)
Представляете, какой гигантский опыт я приобрела?
Потом, через какое-то время узнала и ЛК и метод латинских квадратов. И построила все эти 3600 квадратов данным методом за минуту.
Ну, а вот если бы я сразу применила метод латинских квадратов и всё за одну минуту построила, был бы у меня такой опыт?

[Munin]

maximk в сообщении #980876 писал(а):

Так вот мне и интересно (объясните вкратце, если не сложно), какова природа "ядра".

Если честно, не знаю, откуда в конечном счёте пошло это слово. Для меня "ядро" - это прежде всего ядро отображения линейных пространств.

Линейная алгебра мне всегда была интересна, видимо, потому что я в детстве ещё восхитился мощью аналитической геометрии. После этого было очевидно, что линейная алгебра - это путь к пониманию геометрии многомерных пространств. Ну а кому не интересны многомерные пространства?..

Кроме того, линейная алгебра становится остро практически нужна сразу же в цикле "матановских" курсов: она нужна, например, для обсуждения дифференциальных уравнений, для построения преобразования Фурье и других преобразований и разложений. Далее функциональный анализ, дифференциальная геометрия, группы и алгебры Ли. И это не говоря уже о нематематических курсах, например, в физике специальная теория относительности, теория поля, квантовая механика. Буквально ни семестра нет отвлечься от линейной алгебры.

[maximk]

Не слышал ничего о пандиагональных квадратах ранее.
Xaositect, не возьмусь за эту задачу, ибо не хватает познаний даже в теории сложности вычислений и теории алгоритмов (они у меня нулевые), ведь нужно вычислить за возможно меньшее число операций.. Тут и комбинаторику неплохо бы знать, а я и с ней не очень подружился. В общем, не для меня задача.
Munin, ясно. Да, многомерные пространства - тема. Пожалуй поизучаю линейную алгебру, а вместе с тем и узнаю, что такое ядро отображения линейных пространств.

[Nataly-Mak]

maximk в сообщении #980936 писал(а):

Не слышал ничего о пандиагональных квадратах ранее.

Мало говорят, да?
Хорошо ещё, если плохое не слышали.

Цитата:

Тут и комбинаторику неплохо бы знать, а я и с ней не очень подружился.

Если вы с комбинаторикой не дружите, тогда и пандиагональные квадраты не для вас.

[maximk]

А я и не собирался ими заниматься.

[ex-math]

maximk в сообщении #980830 писал(а):

А заниматься всякими оценками сумм и интегралов, придумывать различные методы (наподобие метода тригонометрических сумм и прочих), следить за безграничным потоком новых статей со всё более сложными оценками и методами, мне всё таки больше не хочется.

Во-первых, в других областях будет точно такой же "безграничный поток" (кавычки потому, что это сильное преувеличение, если говорить о действительно новых оценках и методах). Во-вторых, из Ваших слов следует, что Вы уже придумали метод наподобие метода триг.сумм. Не поделитесь?

[Nataly-Mak]

Ну вот, ничего о них ещё даже и не слышали, а уже не собирались ими заниматься
Может, вы и с теорией чисел не дружите? Это уже совсем плохо. Советую подружиться

[maximk]

Да, не дружить с какой-то областью математики - это вообще ужас.

Занимался как-то теорией чисел, используя элементарный анализ, ничего нового не придумал, просто решал задачки наподобие тех, что в учебнике Виноградова, ну и разложил функцию Li(x) в бесконечный ряд, доказал его расходимость (зря время тратил, ибо не знал, что это уже было сделано). Просто уже понял, что меня ждет, если я продолжу этим заниматься, неплохо будет учить тфкп (основной инструмент аналитической теории чисел), но и с этим у меня нелады, не захватила меня красота этой теории.