2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Определение расстояния пройденного парашютистом
Сообщение21.02.2015, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10886
Crna Gora
veez в сообщении #980846 писал(а):
$a =  - kv \Rightarrow k =  - \frac{a}{v} =  - \frac{{9.8}}{{44.2}} =  - 0.22$
Кроме того, ускорение непостоянно и во всяком случае не равно $g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение расстояния пройденного парашютистом
Сообщение21.02.2015, 15:45 


28/10/14
64
svv

Ну как я размышлял: в этот момент времени при таком ускорении скорость равна этому значению, а соотношение k будет одинаковым всегда.

Как же тогда найти k?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение расстояния пройденного парашютистом
Сообщение21.02.2015, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10886
Crna Gora
veez в сообщении #980855 писал(а):
Ну как я размышлял: в этот момент времени при таком ускорении скорость равна этому значению, а соотношение k будет одинаковым всегда.
Почему так нельзя рассуждать.

В данной задаче принята такая идеализация:
$\bullet$ либо парашют уже раскрыт, и тогда ускорение определяется скоростью: $v'=-kv$; но тогда оно не равно $g$;
$\bullet$ либо парашют ещё не раскрыт, и тогда ускорение равно $g$, однако соотношение $v'=-kv$ ещё не выполняется, поэтому знание $v'=g$ и $v$ не дает возможности определить $k$.
В момент раскрытия парашюта ускорение скачком меняется с $g$ до $-kv$.

veez в сообщении #980855 писал(а):
Как же тогда найти k?
Так как $v'=-kv$, то $v=v_1 e^{-kt}$. Здесь $v_1$ — скорость в момент раскрытия (она-то скачком не меняется), а $t$ отсчитывается от этого момента.
Вы это соотношение писали ещё в первом сообщении, только нужно оно для определения $k$.

Следовательно, $v_2=v_1 e^{-k\Delta t}$, откуда $\ln\frac{v_2}{v_1}=-k\Delta t$
$\Delta t=5$ с, $v_2=4.3 м/с даны по условию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение расстояния пройденного парашютистом
Сообщение21.02.2015, 16:27 


28/10/14
64
svv

Допустим, что так, но у меня опять возникает проблема:

$\[\begin{array}{l}
k =  - \frac{{\ln \frac{{{v_2}}}{{{v_1}}}}}{{\Delta t}} =  - \frac{{\ln 0.09}}{5} = 0.46\\
s =  - \frac{{\Delta v}}{k} = \frac{{40}}{{0.46}} = 87
\end{array}\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение расстояния пройденного парашютистом
Сообщение21.02.2015, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10886
Crna Gora
А в чем проблема?

-- Сб фев 21, 2015 16:32:16 --

Проблема в том, что не сходится с ответом? Тем хуже для ответа. Сейчас мы устроим массированную проверку.

Что я утверждаю: путь, пройденный («пролетённый») с момента раскрытия, равен
$s(t)=\frac{v_1}{k}(1-e^{-kt})$, где
$t$ — время, прошедшее с момента раскрытия,
$v_1=44.272\text{ м/с}$ — скорость в момент раскрытия,
$k=0.46635\text{ с}^{-1}$.
В чем можно сейчас убедиться:
$\bullet$ что $s(0)=0$, как и должно быть.

Продифференцируем $s(t)$ по времени, получим:
$v(t)=v_1e^{-kt}$
В чем можно сейчас убедиться:
$\bullet$ $v(0)=v_1$
$\bullet$ $v(\Delta t)=4.3\text{ м/с}$
Проверка: WolframAlpha: v1*exp(-k*t) where v1=44.272, k=0.46635, t=5

Продифференцируем $v(t)$ по времени, получим:
$a(t)=-k v_1e^{-kt}$
В чем можно сейчас убедиться:
$\bullet$ $a(t)=-k v(t)$

Все условия удовлетворены, и смело считаем:
WolframAlpha: v1/k*(1-exp(-k*t)) where v1=44.272, k=0.46635, t=5

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение расстояния пройденного парашютистом
Сообщение21.02.2015, 17:55 


28/10/14
64
svv

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение расстояния пройденного парашютистом
Сообщение21.02.2015, 18:24 


27/02/09
253
veez в сообщении #975024 писал(а):
... если величина ускорения при его падении все время пропорциональна величине скорости ...
Тогда скорость парашютиста будет стремиться к нулю или к бесконечности. Не может такого быть! Правильное условие $\dot{v}=g-kv$
Кто, чёрт возьми, составлял задачу???

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение расстояния пройденного парашютистом
Сообщение21.02.2015, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10886
Crna Gora
Это уравнение гораздо лучше с точки зрения физики, но теперь $k$ придется находить из трансцендентного уравнения
$\frac{kv_2-g}{kv_1-g}=e^{-k(t_2-t_1)}$
Видимо, преподаватель не захотел пугать этим студентов и решил для их удобства подправить законы природы.

Кстати, в этом случае путь будет ещё меньше. Действительно, при заданном $k$ скорость теперь уменьшается медленнее благодаря $g$. Но если требовать, чтобы скорость упала с $v_1$ до $v_2$ за 5 секунд, как и раньше, это будет означать, что коэффициент $k$ теперь гораздо больше. И хотя в формуле для пути появляется дополнительное положительное слагаемое:
$s=\frac{v_1-v_2}{k}+\frac{g(t_2-t_1)}{k}$,
оно не спасает, и результат: примерно 40 метров.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group