Определение расстояния пройденного парашютистом

[svv]

veez в сообщении #980846 писал(а):

$a = - kv \Rightarrow k = - \frac{a}{v} = - \frac{{9.8}}{{44.2}} = - 0.22$

Кроме того, ускорение непостоянно и во всяком случае не равно $g$.

[veez]

svv

Ну как я размышлял: в этот момент времени при таком ускорении скорость равна этому значению, а соотношение k будет одинаковым всегда.

Как же тогда найти k?

[svv]

veez в сообщении #980855 писал(а):

Ну как я размышлял: в этот момент времени при таком ускорении скорость равна этому значению, а соотношение k будет одинаковым всегда.

Почему так нельзя рассуждать.

В данной задаче принята такая идеализация:
$\bullet$ либо парашют уже раскрыт, и тогда ускорение определяется скоростью: $v'=-kv$; но тогда оно не равно $g$;
$\bullet$ либо парашют ещё не раскрыт, и тогда ускорение равно $g$, однако соотношение $v'=-kv$ ещё не выполняется, поэтому знание $v'=g$ и $v$ не дает возможности определить $k$.
В момент раскрытия парашюта ускорение скачком меняется с $g$ до $-kv$.

veez в сообщении #980855 писал(а):

Как же тогда найти k?

Так как $v'=-kv$, то $v=v_1 e^{-kt}$. Здесь $v_1$ — скорость в момент раскрытия (она-то скачком не меняется), а $t$ отсчитывается от этого момента.
Вы это соотношение писали ещё в первом сообщении, только нужно оно для определения $k$.

Следовательно, $v_2=v_1 e^{-k\Delta t}$, откуда $\ln\frac{v_2}{v_1}=-k\Delta t$
$\Delta t=5$ с, $v_2=4.3 м/с даны по условию.

[veez]

svv

Допустим, что так, но у меня опять возникает проблема:

$\[\begin{array}{l} k = - \frac{{\ln \frac{{{v_2}}}{{{v_1}}}}}{{\Delta t}} = - \frac{{\ln 0.09}}{5} = 0.46\\ s = - \frac{{\Delta v}}{k} = \frac{{40}}{{0.46}} = 87 \end{array}\]$

[svv]

А в чем проблема?

-- Сб фев 21, 2015 16:32:16 --

Проблема в том, что не сходится с ответом? Тем хуже для ответа. Сейчас мы устроим массированную проверку.

Что я утверждаю: путь, пройденный («пролетённый») с момента раскрытия, равен
$s(t)=\frac{v_1}{k}(1-e^{-kt})$, где
$t$ — время, прошедшее с момента раскрытия,
$v_1=44.272\text{ м/с}$ — скорость в момент раскрытия,
$k=0.46635\text{ с}^{-1}$.
В чем можно сейчас убедиться:
$\bullet$ что $s(0)=0$, как и должно быть.

Продифференцируем $s(t)$ по времени, получим:
$v(t)=v_1e^{-kt}$
В чем можно сейчас убедиться:
$\bullet$ $v(0)=v_1$
$\bullet$ $v(\Delta t)=4.3\text{ м/с}$
Проверка: WolframAlpha: v1*exp(-k*t) where v1=44.272, k=0.46635, t=5

Продифференцируем $v(t)$ по времени, получим:
$a(t)=-k v_1e^{-kt}$
В чем можно сейчас убедиться:
$\bullet$ $a(t)=-k v(t)$

Все условия удовлетворены, и смело считаем:
WolframAlpha: v1/k*(1-exp(-k*t)) where v1=44.272, k=0.46635, t=5

[veez]

svv

Спасибо.

[guryev]

veez в сообщении #975024 писал(а):

... если величина ускорения при его падении все время пропорциональна величине скорости ...

Тогда скорость парашютиста будет стремиться к нулю или к бесконечности. Не может такого быть! Правильное условие $\dot{v}=g-kv$
Кто, чёрт возьми, составлял задачу???

[svv]

Это уравнение гораздо лучше с точки зрения физики, но теперь $k$ придется находить из трансцендентного уравнения
$\frac{kv_2-g}{kv_1-g}=e^{-k(t_2-t_1)}$
Видимо, преподаватель не захотел пугать этим студентов и решил для их удобства подправить законы природы.

Кстати, в этом случае путь будет ещё меньше. Действительно, при заданном $k$ скорость теперь уменьшается медленнее благодаря $g$. Но если требовать, чтобы скорость упала с $v_1$ до $v_2$ за 5 секунд, как и раньше, это будет означать, что коэффициент $k$ теперь гораздо больше. И хотя в формуле для пути появляется дополнительное положительное слагаемое:
$s=\frac{v_1-v_2}{k}+\frac{g(t_2-t_1)}{k}$,
оно не спасает, и результат: примерно 40 метров.