Определение расстояния пройденного парашютистом

[veez]

Парашютист, пролетев 100м, раскрыл парашют и через 5 секунд его скорость уменьшилась до 4,3 м\с. На какое расстояние опустился парашютист за это время, если величина ускорения при его падении все время пропорциональна величине скорости?
Ответ: 141,5 м

На другом форуме человек предложил найти скорость до раскрытия парашюта через $\[{V_0} = \sqrt {2gh} \]$, и потом найти скорость после по формуле $\[v = {v_0}{e^{ - kt}}\]$, но я не могу понять, что за коэффициент K, не помню, что бы мы его проходили по физике.

Подскажите пожалуйста, есть ли более простое решение? Просто задача была дана после прохождения кинематики материальной точки, даже до вращательного движения, вряд ли препод даст такую задачу без прохождения этой темы.

Вот мои наработки:

$\[\begin{array}{l} {v_0} = \sqrt {2gh} = \sqrt {2 \cdot 10 \cdot 100} = 44.2m\backslash s\\ a = \frac{{v - v0}}{t} = \frac{{4.3 - 44.2}}{5} \approx - 8m\backslash {s^2}\\ S = {S_0} + {v_0}t + \frac{{a{t^2}}}{2} = 100 + 44.2 \cdot 5 + \frac{{ - 8 \cdot 25}}{2} = 220m \end{array}\]$

Каким образом получается 141 м - не понимаю. И смущает указание, что ускорение пропорционально скорости.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[DimaM]

Ускорение, как известно, производная скорости по времени, $a=\dfrac{dv}{dt}$. Запишите вашу зависимость и попробуйте умножить обе части на $dt$.

[rustot]

в условии "ускорение пропорционально скорости", то есть $a = - k v$, где $k$ коэффициент этой пропорциональности. а вы решили для случая постоянного ускорения

$a(t) = \frac{d}{dt} v(t) = - k v(t)$
$\frac{d}{dt} v(t) + k v(t) = 0$

если вам дали эту задачу то вы уже должны уметь решать уравнения вида $x' + k x = 0$

[DimaM]

rustot в сообщении #979792 писал(а):

если вам дали эту задачу то вы уже должны уметь решать уравнения вида $x' + k x = 0$

В данной задаче это как раз не требуется (зависимость скорости от времени не нужна, нужна зависимость от пройденного расстояния).
Для задач с линейным законом сопротивления есть стандартный прием, про который я писал выше.

[rustot]

да, $dv = -k v dt = k dh$, прикольно, не догадался бы

[мат-ламер]

veez в сообщении #975024 писал(а):

На другом форуме человек предложил найти скорость до раскрытия парашюта через $\[{V_0} = \sqrt {2gh} \]$, и потом найти скорость после по формуле $\[v = {v_0}{e^{ - kt}}\]$, но я не могу понять, что за коэффициент K, не помню, что бы мы его проходили по физике.

Для решения данной задачи можно не понимать, что за коэффициент $k$. Достаточно его вычислить, исходя из скорости парашютиста в конечной точке.

[veez]

rustot

Как $\[ - kvdt\]$ преобразуется в $kdh$?

DimaM

$\[\begin{array}{l} a = - kv\\ \frac{{dv}}{{dt}} = - kv\\ dv = - kvdt\\ dv = kdh \end{array}\]$

А как быть дальше?

[svv]

veez в сообщении #980824 писал(а):

Как $\[ - kvdt\]$ преобразуется в $kdh$?

$v=-\frac{dh}{dt}$
Знак минус здесь потому, что направление положительной скорости противоположно направлению возрастания координаты ($h$ — высота, растет вверх, положительная скорость у нас направлена вниз). От минуса можно было бы избавиться, считая координатой, например, путь $s$, проделанный парашютистом (тоже рос бы вниз).

Дальше. Из последнего равенства $dv=kdh$ следует (поскольку $k$ константа), что
$dh=d(\frac v k)$
Посмотрите внимательно. Изменение двух величин, $h$ и $\frac v k$, за любой бесконечно малый промежуток $dt$ совпадают. Значит?

[veez]

svv в сообщении #980832 писал(а):

veez в сообщении #980824 писал(а):

Как $\[ - kvdt\]$ преобразуется в $kdh$?

$v=-\frac{dh}{dt}$
Знак минус здесь потому, что направление положительной скорости противоположно направлению возрастания координаты ($h$ — высота, растет вверх, положительная скорость у нас направлена вниз). От минуса можно было бы избавиться, считая координатой, например, путь $s$, проделанный парашютистом (тоже рос бы вниз).

Дальше. Из последнего равенства $dv=kdh$ следует (поскольку $k$ константа), что
$dh=d(\frac v k)$
Посмотрите внимательно. Изменение двух величин, $h$ и $\frac v k$, за любой бесконечно малый промежуток $dt$ совпадают. Значит?

Следовательно, нужно проинтегрировать?

[svv]

Да, но интегрирование такое тривиальное, что язык не поворачивается его так назвать.
Это попросту переход от
$dh=d(\frac v k)$
к
$\Delta h=\Delta(\frac v k)=\frac{v_2-v_1}k$
Не забудьте, что искомый путь $s=-\Delta h$ (эх, всё-таки надо было координату вниз направить).

[veez]

svv

$\[\begin{array}{l} a = - kv \Rightarrow k = - \frac{a}{v} = - \frac{{9.8}}{{44.2}} = - 0.22\\ s = - \frac{{\Delta v}}{k} = \frac{{40}}{{0.2}} = 181 \end{array}\]$

Мне кажется, что то пошло не так

[Aritaborian]

Да уж, если при делении $40$ на $0{,}2$ вы получаете $181$, то что-то по-любому «не так».

[veez]

Aritaborian
Прошу прощения, на калькуляторе делил на 0.22, здесь забылся и округлил.