2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Комбинаторное тождество
Сообщение21.02.2015, 01:24 
Аватара пользователя


01/12/11
6092
Нацерет-Иллит
$$\textstyle C_{m+n}^k=\sum_{s=0}^{k}\textstyle C_{m}^s\textstyle C_{n}^{k-s}$$
Как понять математический смысл данного тождества? В чём его прелесть? Для решения каких задач нужно это тождество?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторное тождество
Сообщение21.02.2015, 02:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4904
Я думаю, Вам достаточно будет ссылки на Вики, там можно сориентироваться про древнюю историю открытия свёртки, о применениях (по доказательствам) и о прелестях далеко идущих обобщений.

По поводу различных применений и решения задач можете полистать первые страницы книги Дж. Риордана "Комбинаторные тождества". Там его называют наиболее используемым комбинаторным тожеством и с помощью относительно простой техники тут же получают из него множество красивых следствий с примерами к задачам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторное тождество
Сообщение21.02.2015, 02:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6460
Ktina, а что Вы имеете в виду под "математическим" смыслом? Комбинаторный достаточно очевиден. Он годится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторное тождество
Сообщение21.02.2015, 02:38 
Аватара пользователя


01/12/11
6092
Нацерет-Иллит
Otta,
Я имею в виду, какую задачу можно решить при помощи этого тождества? Какой-нибудь пример из жизни.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторное тождество
Сообщение21.02.2015, 03:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6460
Ну не придумывается нетривиальных примеров. Смысл-то простой.
Сколькими способами можно выбрать $k$ шариков из кучи, где намешаны $m$ белых и $n$ черных. Можно выбирать сразу. Это левая часть. А можно постепенно. Из белых 0, из черных соотв. $k$... ну и т.д. Это правая.
Вот и все, собссно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторное тождество
Сообщение21.02.2015, 05:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5492
Новосибирск
Или два способа подсчёта кратчайших ломаных со звеньями, параллельными координатным осям - один сразу из точки $(0;0)$ в точку $(m+n;k)$, а другой транзитом через точки прямой $x=m.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторное тождество
Сообщение21.02.2015, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5492
Новосибирск
Виноват, не то ляпнул.
Правильная интертрепация - число путей из $(0;0)$ в $(m+n-k; k)$ транзитом через прямую $x+y=m.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторное тождество
Сообщение21.02.2015, 13:49 
Заслуженный участник


05/08/14
1128
Ktina в сообщении #980675 писал(а):
Для решения каких задач нужно это тождество?

При умножении рядов Тэйлора функций нескольких переменных иногда упрощаются выкладки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторное тождество
Сообщение21.02.2015, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1211
Самара
Разделив на $2^{m+n}$, получим, фактически, уравнение Колмогорова-Чепмена для простого случайного блуждания (bot примерно о том же уже сказал)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group