Комбинаторное тождество

[Ktina]

$$\textstyle C_{m+n}^k=\sum_{s=0}^{k}\textstyle C_{m}^s\textstyle C_{n}^{k-s}$$

Как понять математический смысл данного тождества? В чём его прелесть? Для решения каких задач нужно это тождество?

[grizzly]

Я думаю, Вам достаточно будет ссылки на Вики, там можно сориентироваться про древнюю историю открытия свёртки, о применениях (по доказательствам) и о прелестях далеко идущих обобщений.

По поводу различных применений и решения задач можете полистать первые страницы книги Дж. Риордана "Комбинаторные тождества". Там его называют наиболее используемым комбинаторным тожеством и с помощью относительно простой техники тут же получают из него множество красивых следствий с примерами к задачам.

[Otta]

Ktina, а что Вы имеете в виду под "математическим" смыслом? Комбинаторный достаточно очевиден. Он годится?

[Ktina]

Otta,
Я имею в виду, какую задачу можно решить при помощи этого тождества? Какой-нибудь пример из жизни.

[Otta]

Ну не придумывается нетривиальных примеров. Смысл-то простой.
Сколькими способами можно выбрать $k$ шариков из кучи, где намешаны $m$ белых и $n$ черных. Можно выбирать сразу. Это левая часть. А можно постепенно. Из белых 0, из черных соотв. $k$... ну и т.д. Это правая.
Вот и все, собссно.

[bot]

Или два способа подсчёта кратчайших ломаных со звеньями, параллельными координатным осям - один сразу из точки $(0;0)$ в точку $(m+n;k)$, а другой транзитом через точки прямой $x=m.$

[bot]

Виноват, не то ляпнул.
Правильная интертрепация - число путей из $(0;0)$ в $(m+n-k; k)$ транзитом через прямую $x+y=m.$

[dsge]

Ktina в сообщении #980675 писал(а):

Для решения каких задач нужно это тождество?

При умножении рядов Тэйлора функций нескольких переменных иногда упрощаются выкладки.

[Henrylee]

Разделив на $2^{m+n}$, получим, фактически, уравнение Колмогорова-Чепмена для простого случайного блуждания (bot примерно о том же уже сказал)