Ковариантный и контравариантный первый орт

[serval]

В процессе вычислений возник следующий объект

$\left(1,0,0\right) \left( \begin{array}{ccc} 0&a_{12}&a_{13}&\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{ccc} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$

Как можно его интерпретировать? Какой смысл имеет ковариантный и контравариантный первый орт?

[svv]

Ну, например, как значение билинейной формы на паре векторов, которые оба равны первому базисному вектору. Кстати, при такой интерпретации здесь есть только контравариантные компоненты, и по некоторым признакам (их равенство) это правильно.

[serval]

Можно ли получить какую-нибудь полезную информацию из анализа соотношения векторов

$\left(a_{12},a_{13}\right)$ и $\left( \begin{array}{cc} a_{21}\\ a_{31}\\ \end{array}\right)$ ?

[svv]

Для выводов недостаёт контекста.

И ещё, Вы же не могли не заметить, что в данном конкретном случае результат равен нулю, потому что такая пара векторов «выделяет» из матрицы элемент $a_{11}$, а он равен нулю по условию. (Кстати, это тоже интерпретация, взгляд под несколько другим углом.) Всё это загадочно.

[serval]

Я понял бы это как принадлежность такой пары векторов плоскости нормальной первому орту. Но меня смущает, то, что этих ортов два - разной "вариантности". Этого я не понимаю.

[svv]

Нет, не обязательно разной. Просто при попытке записать $a_{ik}x^i x^k$ в матричной форме Вы получите $x^T A x$.
При разной вариантности в общем случае ($\mathbf e_i\cdot\mathbf e_k=g_{ik}\neq \delta_{ik}$) набор контра- и ко-вариантных компонент вектора на вид не будет иметь ничего общего.

[serval]

Так в моем случае он и не имеет ничего общего. Иначе я поставил бы в матрице на нужных местах одинаковые элементы. Значит, всё же, "вариантность" разная?

[svv]

Я имею в виду совпадение компонент $\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$. Вы же о вариантности векторов спрашивали? Вот если бы это были соответственно, набор ко- и контравариантных компонент (хоть одного вектора, хоть двух различных), то в общем случае (неортонормированного базиса) с большой вероятностью они были бы совсем разные. Если же базис ортонормированный, ко- и контра- и различать не обязательно.

Не судите о вариантности по тому, вектор-строка это или столбец. Повторюсь, $a_{ik}x^i x^k = x^T A x$.

[serval]

Спасибо. Позже я выпишу матрицу в явном виде. Возможно, Вы подскажете как извлечь из нее полезную информацию.

[serval]

Скажите пожалуйста, а как будут выглядеть в матричном виде выражения $a_{i}^{\ k}x^{i}x_{k}$ и $a^{ik}x_{i}x_{k}$ ?

[Munin]

Точно так же: $x^\mathrm{T}\!Ax.$

[serval]

Значит, указанному мной объекту я могу придать по своему усмотрению любой удобный смысл?

[svv]

Давайте прежде уточним. У Вас базис ортонормированный, или это не обязательно?

[serval]

У меня нет никаких изначально установленных требований на базис.

[svv]

Вот и хорошо. Значит, матрица Грама $G$, составленная из скалярных произведений базисных векторов (они же компоненты метрического тензора $g_{ik}=\mathbf e_i\cdot \mathbf e_k$), может иметь вид не $\operatorname{diag}(1,1,1)$, а, например,
$G=\begin{pmatrix}6&-1&3\\-1&5&2\\3&2&7\end{pmatrix}$

Пусть вектор $x$ задан контравариантными компонентами $x^i$ (это естественный способ, это просто коэффициенты разложения по базису)
$(x^i)=(1,0,0)$.

Будут ли тогда ковариантные компоненты тоже $(1,0,0)$? Нет (чего ради?), $x_i=g_{ik}x^k$. Вычислим их в матричной форме:
$(x_i)=\begin{pmatrix}6&-1&3\\-1&5&2\\3&2&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-1\\3\end{pmatrix}$
А у Вас-то $x_i$ и $x^i$ совпадают.

И только в специальных случаях ковариантные компоненты $x_i$ могут быть численно равны контравариантным $x^i$.

Это и мешает Вашей интерпретации.