2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение15.02.2015, 17:54 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Спасибо.
Значит, этот объект определяет два вектора принадлежащие плоскости с нормалью $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение15.02.2015, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Простите, тут не понял Вас. Этот объект — да, он как-то сконструирован, но его значением является просто число. И в Вашем случае оно равно нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение15.02.2015, 18:43 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Умножив матрицу слева на первый орт я получу вектор ортогональный ему (первому орту). Умножив эту же матрицу справа на первый орт я получу другой вектор ортогональный ему же (первому орту). Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение15.02.2015, 19:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
serval в сообщении #978793 писал(а):
Умножив матрицу слева на первый орт я получу вектор ортогональный ему (первому орту).
1) Если у нас ортонормированный базис, мы можем утверждать, что вектор $x=(1,0,0)$ ортогонален вектору $y=Ax=(0, a^2{}_1, a^3{}_1)$, потому что в таком базисе
$(x, y)=x^T y=x^1 y^1+x^2 y^2+x^3 y^3=0$.
А если неортонормированный, то нет:
$(x, y)=x^T G y = g_{12}a^2{}_1+g_{13}a^3{}_1$

2) OK, допустим, базис ортонормированный. Тогда да, в Вашем примере $(e_1, Ae_1)=0$. Но не подумайте, что так будет для любого вектора $x$. Уже для второго орта получим $(e_2, Ae_2)=a^2{}_2$, что необязательно равно нулю.

В ортонормированном базисе свойством
$(x, Ax)=0$ для любого $x$
обладают антисимметричные матрицы $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение15.02.2015, 19:26 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
У меня не любой $\vec x$ а именно первый орт. А ортонормированность базиса Вы, как я понял, обосновали. Или не понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение15.02.2015, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Из ортонормированности базиса следовало бы, что векторы $x=(1,0,0)$ и $Ax=(0, a^2{}_1, a^3{}_1)$ ортогональны. Я так понимаю, Вам этого хотелось бы.

Наоборот — нет. Из их ортогональности не следует ортонормированность базиса, это гораздо более сильное свойство, и оно обычно следует из способа построения базиса, а не из того, что мы хотим, чтобы два наших вектора были ортогональны.

С другой стороны, и в неортонормированном базисе те два вектора будут ортогональны, если вдруг случайно $g_{12}a^2{}_1+g_{13}a^3{}_1=0$.

Не запутал? Упрощать не хотелось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение15.02.2015, 20:57 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Указанные Вами векторы ортогональны или нет? Есть ли способ, кроме скалярного произведения, это определить?
У меня есть только явный вид матрицы. Можно ли из него извлечь информацию о базисе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение15.02.2015, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
(Подправил в сообщениях индексы, с учетом другой интерпретации матрицы: $y^i=a^i{}_k x^k$).
serval в сообщении #978846 писал(а):
Указанные Вами векторы ортогональны или нет?
Неизвестно, зависит от $G$, а о ней ничего не известно.
Более конкретно — ортогональность зависит от того, равно или нет нулю выражение $g_{12}a^2{}_1+g_{13}a^3{}_1$
serval в сообщении #978846 писал(а):
У меня есть только явный вид матрицы. Можно ли из него извлечь информацию о базисе?
Нет. У Вас есть матрица $A$. Информация о базисе — это матрица Грама $G$.

P.S. Кстати, всех этих проблем нет в интерпретации с билинейной формой и двумя контравариантными векторами. Там $a_{ik}$ даёт $y_i=a_{ik}x^k$, а чтобы найти $x^i y_i$, зная $x^i$ и $y_i$, метрический тензор не нужен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение16.02.2015, 09:52 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Значит, я могу своим произволом задать удобную мне матрицу Грама? А в случае с билинейной формой я должен буду, так же волюнтаристски, задать два контравариантных вектора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение16.02.2015, 11:33 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Меня вот так и подмывает спросить, в $3 + 4 = 7$ слагаемые — это размерности евклидовых пространств или псевдоевклидовых.

serval, разве не проще ли брать смысл конструкций из того, откуда они получены, а не пытаться приписать его отдельно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение16.02.2015, 11:34 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Еще мне известно $LU$-разложение матрицы $A$ .

arseniiv, они получены из комбинаторики. А какой там смысл у ко- и контравариантных компонентов мне не известно тем более :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение16.02.2015, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
serval в сообщении #979035 писал(а):
А какой там смысл у ко- и контравариантных компонентов мне не известно тем более :-)

Дело даже не в этом. Дело в вашей конкретной задаче: чего считаете то? А ко- и контра- вариантность тут ни при чем, скорее всего у вас это просто удобная форма записи.

(о моделях)

Как-то раз знакомая из соседнего отдела принесла мне листок со значками и попросила помочь составить математическую модель. Там была таблица, строки помечены годами 19 века (не подряд и с повторениями), а в столбцах были разбросаны какие-то значки: треугольники, кружочки и т.п. Она и говорит: я уж пыталась через крайние справа значки линию провести, интерполировать ее многочленом.
Я, естественно, спросила, что это за информация. Оказалась, строки соответствуют стихотворениям Тютчева, а смысл значков она и сама не знает. И при чем же тут интерполяция? :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение16.02.2015, 11:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
serval в сообщении #979035 писал(а):
они получены из комбинаторики. А какой там смысл у ко- и контравариантных компоненто

Там -- никакого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение16.02.2015, 12:07 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Указанный мной объект получается, путем рутинных вычислений, как следствие существования пифагоровых троек. Или наоборот - пифагоровы тройки существуют потому что существует он. Получить его просто, теперь нужно интерпретировать. Понять - как из его свойств следует существование пифагоровых троек? И чем здесь может быть полезен тензорный аппарат?
Если интересно, я могу привести все промежуточные вычисления и представить его в явном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантный и контравариантный первый орт
Сообщение16.02.2015, 12:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Тензорный аппарат -- вряд ли, хотя чем черт не шутит. Вот с "объектом" непонятно. Нам представлено произведение матрицы на два конкретных вектора, равное 0. Кроме того, что оно равно 0, ничего конкретного сказать нельзя.

Что-то надо расшифровать: все вычисления не надо, надо постановку задачи. Что есть что.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group