Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?

[мат-ламер]

Допустим космонавт в свободном падении движется из достаточно удалённой точки в сторону чёрной дыры вдоль радиального направления. Чёрная дыра не вращается. Какова скорость космонавта при подлёте к горизонту чёрной дыры относительно этого горизонта? Попытаюсь строго определить эту скорость. Вдоль движения космонавта расставим неподвижных наблюдателей. Их можно закрепить, например, на какой-либо сверпрочной конструкции, охватывающей эту дыру. Скорость космонавта относительно наблюдателей можно определить в момент когда они пролетают мимо друг друга. Предел этой скорости при приближении к горизонту и будем понимать как скорость космонавта относительно горизонта. Неоднократно на форуме утверждалось, что это скорость стремиться к скорости света. Munin высказал свою точку зрения на этот счёт

Munin в сообщении #977520 писал(а):

К сожалению, тут вы вляпаетесь в разрывную функцию. На любом расстоянии до горизонта $\varepsilon>0$ можно поставить неподвижного наблюдателя, и относительно него скорость будет замедляться до нуля. А на самом горизонте неподвижного наблюдателя поставить нельзя.

Вот почему вы, вместо того, чтобы прочитать две странички простого текста, продолжаете маяться ерундой?

У меня тут своя точка зрения. Скорость космонавта будет меньше скорости света и эта скорость будет зависеть от массы чёрной дыры.
Рассмотрим второй вопрос. Каково будет ускорение космонавта относительно горизонта. Здесь ускорение понимается опять же в предельном смысле относительно неподвижных наблюдателей. epros утверждает, что бесконечное

epros в сообщении #924015 писал(а):

Смотря что Вы именуете «силой тяжести». Если ускорение свободного падения, измеренное относительно статической СО, то как раз при подходе к горизонту — бесконечна.

Я как-то считал это ускорение. У меня получилось конечное число - что-то типа 800000000g. Считал я исходя из классических соображений. Думаю, они верны, имея в виду и ОТО.
Какое мнение участников форума относительно этих двух вопросов? Они часто обсуждаются тут в дискуссионных темах, и хотелось достигнуть какого-нибудь консенсунса.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #977907 писал(а):

У меня тут своя точка зрения.

Опять у вас "точка зрения"! Возьмите да посчитайте.

мат-ламер в сообщении #977907 писал(а):

Какое мнение участников форума относительно этих двух вопросов? Они часто обсуждаются тут в дискуссионных темах, и хотелось достигнуть какого-нибудь консенсунса.

При чём тут консенсус? Это вопрос владения теорией и расчётов по ней.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #977930 писал(а):

Опять у вас "точка зрения"! Возьмите да посчитайте.

Думаю исходить из формулы $(dr/dt)^2=2GM/r$. Здесь $r$ - расстояние от космонавта до центра чёрной дыры, $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса чёрной дыры, $t$ - время на часах космонавта.

-- Сб фев 14, 2015 11:34:59 --

Подставляем в правую часть радиус горизонта чёрной дыры $r=2GM/c^2$. Сокращаем, извлекаем корень. Получаем $dr/dt=c$. Здесь $c$ - скорость света.

-- Сб фев 14, 2015 12:14:52 --

мат-ламер в сообщении #978164 писал(а):

Думаю исходить из формулы $(dr/dt)^2=2GM/r$.

Эта формула взята из книги Боулера "Гравитация и относительность" (начало параграфа 10.3). Она вызывает у меня подозрение. Более естественно выглядела бы формула $E=GmM/r$. Здесь $E$ - кинетическая энергия космонавта относительно проносящихся мимо неподвижных наблюдателей, $m$ - масса космонавта. Надо будет просмотреть вывод этой формулы.

[KVV]

мат-ламер
Посмотрите ЛЛ2 пар. 102, в частности формулу (102.7).

[Geen]

мат-ламер в сообщении #978164 писал(а):

Думаю исходить из формулы $(dr/dt)^2=2GM/r$. Здесь $r$ - расстояние от космонавта до центра чёрной дыры, $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса чёрной дыры, $t$ - время на часах космонавта.

Что такое "расстояние до центра"? Время на часах лучше обозначать $\tau$ - что бы не путать с координатным. В любом случае, что означает величина $dr/dt$? Это скорость относительно чего и как измеренная?

И что бы было и понятнее и правильнее, начинать надо с метрики и введения обозначений.

[telik]

Geen в сообщении #978228 писал(а):

мат-ламер в сообщении #978164 писал(а):

Думаю исходить из формулы $(dr/dt)^2=2GM/r$. Здесь $r$ - расстояние от космонавта до центра чёрной дыры, $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса чёрной дыры, $t$ - время на часах космонавта.

Что такое "расстояние до центра"? Время на часах лучше обозначать $\tau$ - что бы не путать с координатным. В любом случае, что означает величина $dr/dt$? Это скорость относительно чего и как измеренная?

И что бы было и понятнее и правильнее, начинать надо с метрики и введения обозначений.

тебе дали дифуравнение $(dr/dt)^2=2GM/r$ вычисли функцию

$r=f(t)$

profrotter:
Предупреждение за фамильярность (нарушение п.I-1-e Правил научного форума)

[Munin]

KVV в сообщении #978225 писал(а):

Посмотрите ЛЛ2 пар. 102, в частности формулу (102.7).

Годится, но лучше почитать § 101, в частности, подставить в (101.4) $\mathscr{E}_0=mc^2,\quad M=0.$ Это будет соответствовать падению из бесконечности (энергия на бесконечности $\mathscr{E}_0=mc^2$ соответствует отсутствию кинетической энергии и нулевой скорости), и по прямой к центру. Поскольку интересует $(dr/dt)(t),$ то интеграл просто снимается.

Координаты Шварцшильда.

-- 14.02.2015 18:47:09 --

мат-ламер в сообщении #978164 писал(а):

Эта формула взята из книги Боулера "Гравитация и относительность" (начало параграфа 10.3). Она вызывает у меня подозрение.

И правильно. Дикая какая-то формула.

Надо скачать и почитать.

мат-ламер в сообщении #978164 писал(а):

Более естественно выглядела бы формула $E=GmM/r$. Здесь $E$ - кинетическая энергия космонавта относительно проносящихся мимо неподвижных наблюдателей, $m$ - масса космонавта.

Нет, не была бы. Это тоже высосано из пальца. А надо брать то, что следует из метрики Шварцшильда.

[Someone]

мат-ламер в сообщении #977907 писал(а):

У меня тут своя точка зрения. Скорость космонавта будет меньше скорости света и эта скорость будет зависеть от массы чёрной дыры.

мат-ламер в сообщении #977907 писал(а):

Какое мнение участников форума относительно этих двух вопросов?

Вот интересно, что у меня нет ни точки зрения, ни мнения по этим вопросам. Если уж мы ссылаемся на ОТО, то я могу взять метрику Шварцшильда, вычислить символы Кристоффеля, составить уравнения движения и посчитать, какие там будут скорость и ускорение. И не нужны мне для этого ни точка зрения, ни мнение.

мат-ламер в сообщении #978164 писал(а):

Эта формула взята из книги Боулера "Гравитация и относительность" (начало параграфа 10.3). Она вызывает у меня подозрение.

Возьмите формулу (2.3.7) из книги И. Д. Новикова и В. П. Фролова "Физика черных дыр". Я её проверял.

telik в сообщении #978334 писал(а):

тебе дали дифуравнение $(dr/dt)^2=2GM/r$ вычисли функцию

$r=f(t)$

А самостоятельно не осилить?

[Munin]

Почитал отзыв на Боулера в УФН. Оказывается, это не учебник по ОТО. Это введение к учебнику (прямо так и сказано), и посвящено в основном слабым гравитационным полям. В общем, мусор. Читать надо стандартные учебники.

Geen в сообщении #978228 писал(а):

И что бы было и понятнее и правильнее, начинать надо с метрики и введения обозначений. :wink:

Да, именно в обозначениях и дело. В Боулере формула (10.3.2) выглядит как

$$\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2=v_\infty^2+\dfrac{2GM}{r}.$$

Здесь $\tau$ - собственное время падающей частицы, $M$ и $r$ - шварцшильдовские масса и радиальная переменная, $v_\infty$ - константа интегрирования. Почему-то сказано, что $v_\infty$ - "не координатная скорость на бесконечности". В МТУ этой формуле соответствует (25.16)

$$\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2=E^2-\left(1-\dfrac{2\,\,[G]\,\,M}{r}\right)\left(1+\dfrac{L^2}{r^2}\right),$$

где $E$ и $L$ - константы интегрирования - сопряжённые импульсы по координатам $t$ и $\varphi,$ то есть, энергия и угловой момент на бесконечности. Эта формула соответствует Боулеровской (10.3.1)

$$\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2=\dfrac{1}{K^2}-\left(1-\dfrac{2GM}{r}\right),$$

где $K$ - бессодержательное обозначение константы интегрирования. Видимо, Боулер не стремится выяснить смысл этих констант, хотя вообще весь параграф § 10.3 написан по МТУ главе 25, ссылка дана прямо в названии параграфа.

Ну и понятное дело, что заданному мат-ламер-ом вопросу соответствует вовсе не величина

$$\dfrac{dr}{d\tau},$$

а совсем другая величина:

$$\dfrac{dr_\text{набл}}{dt_\text{набл}}=\dfrac{\sqrt{-g_{rr}(r_\text{набл})}}{\sqrt{g_{tt}(r_\text{набл})}}\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2GM}{r_\text{набл}}}\dfrac{dr}{dt},$$

где $r_\text{набл}=\mathrm{const}$ - положение очередного наблюдателя. При этом, $dr/dt$ можно вычислить по Боулеру (10.3.4)

$$\left(\dfrac{dr}{dt}\right)^2=\left(1-\dfrac{2GM}{r}\right)^2\left[1-K^2\left(1-\dfrac{2GM}{r}\right)\right],$$

где $1-K^2$ - квадрат координатной скорости на бесконечности. В общем, с $K$ какая-то путаница. Другие способы вычисления - по МТУ (25.16), (25.18), или например, по Вайнбергу (8.4.19) (внимание, $E$ там имеет другой смысл).

-- 14.02.2015 19:45:33 --

Someone в сообщении #978354 писал(а):

Возьмите формулу (2.3.7) из книги И. Д. Новикова и В. П. Фролова "Физика черных дыр". Я её проверял.

Ага, спасибо! А то я один множитель забыл.

[telik]

Someone в сообщении #978354 писал(а):

мат-ламер в сообщении #977907 писал(а):

telik в сообщении #978334 писал(а):

тебе дали дифуравнение $(dr/dt)^2=2GM/r$ вычисли функцию

$r=f(t)$

А самостоятельно не осилить?

в общем решение

$r^(1,5)=C t+C1 $

короче коэффициенты лень вычислять.

[Munin]

Короче, неверно.

[мат-ламер]

Посмотрел по разным источникам. Везде дело идёт к $v^2/c^2=r_g/r$, где $v$ - собственная скорость падающего тела, $r_g$ - гравитационный радиус, $r$ - расстояние до центра чёрной дыры. Отсюда следует, что при подлёте к горизонту скорость тела стремится к скорости света.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #978423 писал(а):

Посмотрел по разным источникам.

Полный маразм.

Это не литературоведение. Тут количеством источников ничего не определяется. А главное - это надо разобраться, что смотреть. Дальше хватит одного источника (на выбор, Новиков-Фролов, МТУ, Вайнберг, Ландау - что угодно), если голова на месте и руки не из задницы.

[мат-ламер]

Munin. В основном я смотрел по http://ufn.ru/ru/articles/2003/10/e/ (что вы мне дали в соседней ветке). Буду смотреть тщательней.

-- Сб фев 14, 2015 22:12:24 --

Точнее $1-r_g/r=C(1-v^2/c^2)$ , где $C$ - некоторая константа.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #978429 писал(а):

Munin. В основном я смотрел по http://ufn.ru/ru/articles/2003/10/e/ (что вы мне дали в соседней ветке).

Это вам пока рано. Можете смотреть такие статьи для кругозора: что на свете бывает. Но систематические знания сначала надо получить по учебникам. Чтобы не путать разные вещи, например.