2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение13.02.2015, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Допустим космонавт в свободном падении движется из достаточно удалённой точки в сторону чёрной дыры вдоль радиального направления. Чёрная дыра не вращается. Какова скорость космонавта при подлёте к горизонту чёрной дыры относительно этого горизонта? Попытаюсь строго определить эту скорость. Вдоль движения космонавта расставим неподвижных наблюдателей. Их можно закрепить, например, на какой-либо сверпрочной конструкции, охватывающей эту дыру. Скорость космонавта относительно наблюдателей можно определить в момент когда они пролетают мимо друг друга. Предел этой скорости при приближении к горизонту и будем понимать как скорость космонавта относительно горизонта. Неоднократно на форуме утверждалось, что это скорость стремиться к скорости света. Munin высказал свою точку зрения на этот счёт
Munin в сообщении #977520 писал(а):
К сожалению, тут вы вляпаетесь в разрывную функцию. На любом расстоянии до горизонта $\varepsilon>0$ можно поставить неподвижного наблюдателя, и относительно него скорость будет замедляться до нуля. А на самом горизонте неподвижного наблюдателя поставить нельзя.

Вот почему вы, вместо того, чтобы прочитать две странички простого текста, продолжаете маяться ерундой?

У меня тут своя точка зрения. Скорость космонавта будет меньше скорости света и эта скорость будет зависеть от массы чёрной дыры.
Рассмотрим второй вопрос. Каково будет ускорение космонавта относительно горизонта. Здесь ускорение понимается опять же в предельном смысле относительно неподвижных наблюдателей. epros утверждает, что бесконечное
epros в сообщении #924015 писал(а):
Смотря что Вы именуете «силой тяжести». Если ускорение свободного падения, измеренное относительно статической СО, то как раз при подходе к горизонту — бесконечна.

Я как-то считал это ускорение. У меня получилось конечное число - что-то типа 800000000g. Считал я исходя из классических соображений. Думаю, они верны, имея в виду и ОТО.
Какое мнение участников форума относительно этих двух вопросов? Они часто обсуждаются тут в дискуссионных темах, и хотелось достигнуть какого-нибудь консенсунса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение13.02.2015, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
мат-ламер в сообщении #977907 писал(а):
У меня тут своя точка зрения.

Опять у вас "точка зрения"! Возьмите да посчитайте.

мат-ламер в сообщении #977907 писал(а):
Какое мнение участников форума относительно этих двух вопросов? Они часто обсуждаются тут в дискуссионных темах, и хотелось достигнуть какого-нибудь консенсунса.

При чём тут консенсус? Это вопрос владения теорией и расчётов по ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение14.02.2015, 10:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Munin в сообщении #977930 писал(а):
Опять у вас "точка зрения"! Возьмите да посчитайте.

Думаю исходить из формулы $(dr/dt)^2=2GM/r$. Здесь $r$ - расстояние от космонавта до центра чёрной дыры, $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса чёрной дыры, $t$ - время на часах космонавта.

-- Сб фев 14, 2015 11:34:59 --

Подставляем в правую часть радиус горизонта чёрной дыры $r=2GM/c^2$. Сокращаем, извлекаем корень. Получаем $dr/dt=c$. Здесь $c$ - скорость света.

-- Сб фев 14, 2015 12:14:52 --

мат-ламер в сообщении #978164 писал(а):
Думаю исходить из формулы $(dr/dt)^2=2GM/r$.

Эта формула взята из книги Боулера "Гравитация и относительность" (начало параграфа 10.3). Она вызывает у меня подозрение. Более естественно выглядела бы формула $E=GmM/r$. Здесь $E$ - кинетическая энергия космонавта относительно проносящихся мимо неподвижных наблюдателей, $m$ - масса космонавта. Надо будет просмотреть вывод этой формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение14.02.2015, 13:25 


02/11/11
1310
мат-ламер
Посмотрите ЛЛ2 пар. 102, в частности формулу (102.7).

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение14.02.2015, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
мат-ламер в сообщении #978164 писал(а):
Думаю исходить из формулы $(dr/dt)^2=2GM/r$. Здесь $r$ - расстояние от космонавта до центра чёрной дыры, $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса чёрной дыры, $t$ - время на часах космонавта.

Что такое "расстояние до центра"? Время на часах лучше обозначать $\tau$ - что бы не путать с координатным. В любом случае, что означает величина $dr/dt$? Это скорость относительно чего и как измеренная?

И что бы было и понятнее и правильнее, начинать надо с метрики и введения обозначений. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение14.02.2015, 18:06 
Аватара пользователя


08/03/14

294
Geen в сообщении #978228 писал(а):
мат-ламер в сообщении #978164 писал(а):
Думаю исходить из формулы $(dr/dt)^2=2GM/r$. Здесь $r$ - расстояние от космонавта до центра чёрной дыры, $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса чёрной дыры, $t$ - время на часах космонавта.

Что такое "расстояние до центра"? Время на часах лучше обозначать $\tau$ - что бы не путать с координатным. В любом случае, что означает величина $dr/dt$? Это скорость относительно чего и как измеренная?

И что бы было и понятнее и правильнее, начинать надо с метрики и введения обозначений. :wink:

тебе дали дифуравнение $(dr/dt)^2=2GM/r$ вычисли функцию

$r=f(t)$

 !  profrotter:
Предупреждение за фамильярность (нарушение п.I-1-e Правил научного форума)

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение14.02.2015, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
KVV в сообщении #978225 писал(а):
Посмотрите ЛЛ2 пар. 102, в частности формулу (102.7).

Годится, но лучше почитать § 101, в частности, подставить в (101.4) $\mathscr{E}_0=mc^2,\quad M=0.$ Это будет соответствовать падению из бесконечности (энергия на бесконечности $\mathscr{E}_0=mc^2$ соответствует отсутствию кинетической энергии и нулевой скорости), и по прямой к центру. Поскольку интересует $(dr/dt)(t),$ то интеграл просто снимается.

Координаты Шварцшильда.

-- 14.02.2015 18:47:09 --

мат-ламер в сообщении #978164 писал(а):
Эта формула взята из книги Боулера "Гравитация и относительность" (начало параграфа 10.3). Она вызывает у меня подозрение.

И правильно. Дикая какая-то формула.

Надо скачать и почитать.

мат-ламер в сообщении #978164 писал(а):
Более естественно выглядела бы формула $E=GmM/r$. Здесь $E$ - кинетическая энергия космонавта относительно проносящихся мимо неподвижных наблюдателей, $m$ - масса космонавта.

Нет, не была бы. Это тоже высосано из пальца. А надо брать то, что следует из метрики Шварцшильда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение14.02.2015, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
мат-ламер в сообщении #977907 писал(а):
У меня тут своя точка зрения. Скорость космонавта будет меньше скорости света и эта скорость будет зависеть от массы чёрной дыры.

мат-ламер в сообщении #977907 писал(а):
Какое мнение участников форума относительно этих двух вопросов?
Вот интересно, что у меня нет ни точки зрения, ни мнения по этим вопросам. Если уж мы ссылаемся на ОТО, то я могу взять метрику Шварцшильда, вычислить символы Кристоффеля, составить уравнения движения и посчитать, какие там будут скорость и ускорение. И не нужны мне для этого ни точка зрения, ни мнение.

мат-ламер в сообщении #978164 писал(а):
Эта формула взята из книги Боулера "Гравитация и относительность" (начало параграфа 10.3). Она вызывает у меня подозрение.
Возьмите формулу (2.3.7) из книги И. Д. Новикова и В. П. Фролова "Физика черных дыр". Я её проверял.

telik в сообщении #978334 писал(а):
тебе дали дифуравнение $(dr/dt)^2=2GM/r$ вычисли функцию

$r=f(t)$
А самостоятельно не осилить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение14.02.2015, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Почитал отзыв на Боулера в УФН. Оказывается, это не учебник по ОТО. Это введение к учебнику (прямо так и сказано), и посвящено в основном слабым гравитационным полям. В общем, мусор. Читать надо стандартные учебники.

Geen в сообщении #978228 писал(а):
И что бы было и понятнее и правильнее, начинать надо с метрики и введения обозначений. :wink:

Да, именно в обозначениях и дело. В Боулере формула (10.3.2) выглядит как
$$\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2=v_\infty^2+\dfrac{2GM}{r}.$$ Здесь $\tau$ - собственное время падающей частицы, $M$ и $r$ - шварцшильдовские масса и радиальная переменная, $v_\infty$ - константа интегрирования. Почему-то сказано, что $v_\infty$ - "не координатная скорость на бесконечности". В МТУ этой формуле соответствует (25.16)
$$\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2=E^2-\left(1-\dfrac{2\,\,[G]\,\,M}{r}\right)\left(1+\dfrac{L^2}{r^2}\right),$$ где $E$ и $L$ - константы интегрирования - сопряжённые импульсы по координатам $t$ и $\varphi,$ то есть, энергия и угловой момент на бесконечности. Эта формула соответствует Боулеровской (10.3.1)
$$\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2=\dfrac{1}{K^2}-\left(1-\dfrac{2GM}{r}\right),$$ где $K$ - бессодержательное обозначение константы интегрирования. Видимо, Боулер не стремится выяснить смысл этих констант, хотя вообще весь параграф § 10.3 написан по МТУ главе 25, ссылка дана прямо в названии параграфа.

Ну и понятное дело, что заданному мат-ламер-ом вопросу соответствует вовсе не величина
$$\dfrac{dr}{d\tau},$$ а совсем другая величина:
$$\dfrac{dr_\text{набл}}{dt_\text{набл}}=\dfrac{\sqrt{-g_{rr}(r_\text{набл})}}{\sqrt{g_{tt}(r_\text{набл})}}\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2GM}{r_\text{набл}}}\dfrac{dr}{dt},$$ где $r_\text{набл}=\mathrm{const}$ - положение очередного наблюдателя. При этом, $dr/dt$ можно вычислить по Боулеру (10.3.4)
$$\left(\dfrac{dr}{dt}\right)^2=\left(1-\dfrac{2GM}{r}\right)^2\left[1-K^2\left(1-\dfrac{2GM}{r}\right)\right],$$ где $1-K^2$ - квадрат координатной скорости на бесконечности. В общем, с $K$ какая-то путаница. Другие способы вычисления - по МТУ (25.16), (25.18), или например, по Вайнбергу (8.4.19) (внимание, $E$ там имеет другой смысл).

-- 14.02.2015 19:45:33 --

Someone в сообщении #978354 писал(а):
Возьмите формулу (2.3.7) из книги И. Д. Новикова и В. П. Фролова "Физика черных дыр". Я её проверял.

Ага, спасибо! А то я один множитель забыл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение14.02.2015, 20:10 
Аватара пользователя


08/03/14

294
Someone в сообщении #978354 писал(а):
мат-ламер в сообщении #977907 писал(а):
telik в сообщении #978334 писал(а):
тебе дали дифуравнение $(dr/dt)^2=2GM/r$ вычисли функцию

$r=f(t)$
А самостоятельно не осилить?

в общем решение

$r^(1,5)=C t+C1 $

короче коэффициенты лень вычислять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение14.02.2015, 20:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Короче, неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение14.02.2015, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Посмотрел по разным источникам. Везде дело идёт к $v^2/c^2=r_g/r$, где $v$ - собственная скорость падающего тела, $r_g$ - гравитационный радиус, $r$ - расстояние до центра чёрной дыры. Отсюда следует, что при подлёте к горизонту скорость тела стремится к скорости света.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение14.02.2015, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
мат-ламер в сообщении #978423 писал(а):
Посмотрел по разным источникам.

Полный маразм.

Это не литературоведение. Тут количеством источников ничего не определяется. А главное - это надо разобраться, что смотреть. Дальше хватит одного источника (на выбор, Новиков-Фролов, МТУ, Вайнберг, Ландау - что угодно), если голова на месте и руки не из задницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение14.02.2015, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Munin. В основном я смотрел по http://ufn.ru/ru/articles/2003/10/e/ (что вы мне дали в соседней ветке). Буду смотреть тщательней.

-- Сб фев 14, 2015 22:12:24 --

Точнее $1-r_g/r=C(1-v^2/c^2)$ , где $C$ - некоторая константа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение14.02.2015, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
мат-ламер в сообщении #978429 писал(а):
Munin. В основном я смотрел по http://ufn.ru/ru/articles/2003/10/e/ (что вы мне дали в соседней ветке).

Это вам пока рано. Можете смотреть такие статьи для кругозора: что на свете бывает. Но систематические знания сначала надо получить по учебникам. Чтобы не путать разные вещи, например.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group