Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?

[aa_dav]

bocharov в сообщении #978754 писал(а):

А почему Вы решили ,что что то может постоянно ускоряться,есть же предел

Странный для меня лично вопрос. А почему что-то может двигаться бесконечно прямолинейно? Из-за чего так - движение сохраняется?

[мат-ламер]

Geen в сообщении #978661 писал(а):

мат-ламер в сообщении #978618 писал(а):

Есть ли тут возможность двусмысленного прочтения?

Вроде бы нет, но когда Вы пишете $dr/dt$ возникают сомнения - ведь эта величина не является тем, что Вы описали.

В том посту, в котором я употреблял $dr/dt$, я ни разу не обмолвился, что эта величина является тем, что я описал. Когда писал тот пост, считал, что $r$ - это координантное расстояние, т.е. расстояние в СО неподвижных наблюдателей. Надо внимательней просмотреть Боулера, что он там имел в виду.

-- Вс фев 15, 2015 19:16:50 --

Вообще-то тут надо внимательно смотреть, в какой СО какая величина определяется. В частности, как меня поправили, местное время лучше обозначать через $\tau$ , чтобы не было путаницы.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #978618 писал(а):

Есть ли тут возможность двусмысленного прочтения?

Да тридцать штук! Вы что, не можете нормально описать искомую величину?

[SergeyGubanov]

мат-ламер в сообщении #977907 писал(а):

Допустим космонавт в свободном падении движется из достаточно удалённой точки в сторону чёрной дыры вдоль радиального направления. Чёрная дыра не вращается. Какова скорость космонавта при подлёте к горизонту чёрной дыры относительно этого горизонта?

Метрика чёрной дыры в координатах Пэнлеве ($a = 2 k M / c^2$):

$$ ds^2 = dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{a}{r}} \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) d\varphi^2 $$

Четырёхскорость ракеты неподвижной относительно чёрной дыры:

$$ {\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}}, 0, 0, 0 \right\}. $$

Четырёхскорость ракеты радиально падающей на чёрную дыру из бесконечности с нулевой начальной скоростью:

$$ {\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ 1, -\sqrt{\frac{a}{r}}, 0, 0 \right\}. $$

Зная четырёхскорости находим, соответственно, репер и корепер неподвижной системы отсчёта

$$ e_{(0)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \, \frac{\partial}{\partial t}, \quad e_{(1)} = \frac{\sqrt{\frac{a}{r}}}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \, \frac{\partial}{\partial t} + \sqrt{1-\frac{a}{r}} \, \frac{\partial}{\partial r}, \quad e_{(2)} = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad e_{(3)} = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi}, $$

$$ e^{(0)} = \sqrt{1-\frac{a}{r}} \, dt - \frac{\sqrt{\frac{a}{r}}}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \, dr, \quad e^{(1)} = \frac{dr}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}}, \quad e^{(2)} = r \, d\theta, \quad e^{(3)} = r \, \sin\theta \, d\varphi, $$

репер и корепер падающей системы отсчёта:

$$ \bar{e}_{(0)} = \frac{\partial}{\partial t} - \sqrt{\frac{a}{r}} \, \frac{\partial}{\partial r}, \quad \bar{e}_{(1)} = \frac{\partial}{\partial r}, \quad \bar{e}_{(2)} = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad \bar{e}_{(3)} = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi}, $$

$$ \bar{e}^{(0)} = dt, \quad \bar{e}^{(1)} = dr + \sqrt{\frac{a}{r}} \, dt, \quad \bar{e}^{(2)} = r \, d\theta, \quad \bar{e}^{(3)} = r \, \sin\theta \, d\varphi. $$

Найденные системы отсчёта связаны друг с другом локальным Лоренцевским бустом в плоскости $e^{(0)} \wedge e^{(1)}$ с переменной скоростью $v(r) = \sqrt{\frac{a}{r}}$:

$$ \bar{e}^{\mu}_{(0)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \left( e^{\mu}_{(0)} - \sqrt{\frac{a}{r}} \, e^{\mu}_{(1)} \right), $$

$$ \bar{e}^{\mu}_{(1)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \left( - \sqrt{\frac{a}{r}} \, e^{\mu}_{(0)} + e^{\mu}_{(1)} \right), $$

$$ \bar{e}^{\mu}_{(2)} = e^{\mu}_{(2)}, \quad \bar{e}^{\mu}_{(3)} = e^{\mu}_{(3)}. $$

Скорость

$$v(r) = \sqrt{\frac{a}{r}}$$

это и есть измеряемая (физическая) величина. Проекции скорости падающей системы на орты неподвижной системы и, наоборот, проекции скорости неподвижной системы на орты падающей системы:

$$ u^{(a)}_{-} = e^{(a)}_{\mu} \bar{e}^{\mu}_{\bf (0)} =\frac{1}{\sqrt{1-v(r)^2}} \left\{ 1, -v(r), 0, 0 \right\}, $$

$$ u^{(a)}_{+} = \bar{e}^{(a)}_{\mu} e^{\mu}_{\bf (0)} = \frac{1}{\sqrt{1-v(r)^2}} \left\{ 1, +v(r), 0, 0 \right\}. $$

мат-ламер в сообщении #977907 писал(а):

Рассмотрим второй вопрос. Каково будет ускорение космонавта относительно горизонта.

Четырёхускорение неподвижно зависшей над чёрной дырой ракеты

$$ w^{\mu} = \frac{d^2 x^{\mu}}{d s^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} \frac{dx^{\alpha}}{ds} \frac{dx^{\beta}}{ds} = \left\{ \frac{1}{2 (r - a)} \left( \frac{a}{r} \right)^{3/2}, \frac{a}{2 r^2}, 0, 0 \right\}, $$

его абсолютная величина:

$$ |w| = \sqrt{ - g_{\mu \nu} \, w^{\mu} w^{\nu}} = \frac{a}{2 r^2 \sqrt{1 - \frac{a}{r}}}, $$

проекции четырёхускорения на орты неподвижной системы:

$$ w^{(a)} = e^{(a)}_{\mu} w^{\mu} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{a}{r}}} \left\{ 0, \frac{a}{2 r^2 }, 0, 0 \right\}. $$

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #979570 писал(а):

Скорость

$$v(r) = \sqrt{\frac{a}{r}}$$

Поздравляю. Вот вы и получили, то о чем так долго говорили большевики, что когда $r=r_g , v=1$.
То есть скорости света на горизонте.

[Geen]

SergeyGubanov в сообщении #979570 писал(а):

Найденные системы отсчёта связаны друг с другом локальным Лоренцевским бустом

А по-проще нельзя было? Например, просто взять скалярное произведение скоростей?

[SergeyGubanov]

Geen в сообщении #979635 писал(а):

А по-проще нельзя было?

Проще нельзя. Измеряемая (физическая) скорость зависит от системы отсчёта, поэтому решая эту задачку прежде всего нужно выписать используемые системы отсчёта (тетрады).

Geen в сообщении #979635 писал(а):

Например, просто взять скалярное произведение скоростей?

Хмм, четырёхскоростей? Ну, давайте, возьмём...

Метрика

$$ ds^2 = dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{a}{r}} \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) d\varphi^2 $$

Четырёхскорость ракеты неподвижной относительно чёрной дыры:

$$ u^{\mu}_{\bf Stat} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \left\{ 1, 0, 0, 0 \right\}. $$

Четырёхскорость ракеты радиально падающей на чёрную дыру из бесконечности с нулевой начальной скоростью:

$$ u^{\mu}_{\bf Fall} = \left\{ 1, -\sqrt{\frac{a}{r}}, 0, 0 \right\}. $$

Берём скалярное произведение

$$ g_{\mu \nu} \, u^{\mu}_{\bf Stat} \, u^{\nu}_{\bf Fall} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}}. $$

А что дальше?..

[Geen]

SergeyGubanov в сообщении #979750 писал(а):

А что дальше?..

Ну, вроде как, гамму напоминает.

[SergeyGubanov]

Geen в сообщении #979765 писал(а):

Ну, вроде как, гамму напоминает.

Да, Вы правы, для вычисления "гаммы" можно было поступить проще чем сделал я.

[мат-ламер]

SergeyGubanov в сообщении #979750 писал(а):

Измеряемая (физическая) скорость зависит от системы отсчёта

Допустим космонавт пролетает мимо наблюдателя. У каждого свои понятия о расстоянии и о ходе времени. Но я считал, что скорость космонавта относительно наблюдателя в СО наблюдателя равна скорости наблюдателя относительно космонавта в СО космонавта. Я не прав? (Я надеюсь в этом разделе форума за агрессивное невежество не банят).

-- Ср фев 18, 2015 22:03:29 --

Geen в сообщении #979635 писал(а):

А по-проще нельзя было?

По-проще смотрите Википедию. Там после оглавления рассматривается чёрная дыра Мичелла. Уже в 18-веке пользуясь формулами классической механики (законом сохранения энергии) были получены правильные результаты ( в частности $v^2=2GM/r$ ).

-- Ср фев 18, 2015 22:42:25 --

SergeyGubanov в сообщении #979750 писал(а):

Измеряемая (физическая) скорость зависит от системы отсчёта,

Что имеется в виду: 1) Скорость вообще зависит от системы отсчёта. 2) Скорость чего-то относительно чего-то зависит от системы отсчёта?

[Munin]

мат-ламер в сообщении #979948 писал(а):

Допустим космонавт пролетает мимо наблюдателя. У каждого свои понятия о расстоянии и о ходе времени. Но я считал, что скорость космонавта относительно наблюдателя в СО наблюдателя равна скорости наблюдателя относительно космонавта в СО космонавта.

Вы правы.

мат-ламер в сообщении #979948 писал(а):

Я не прав? (Я надеюсь в этом разделе форума за агрессивное невежество не банят).

Надеюсь, что банят (везде вообще на этом форуме). Вы правильно делаете, что сдерживаетесь.

мат-ламер в сообщении #979948 писал(а):

По-проще смотрите Википедию. Там после оглавления рассматривается чёрная дыра Мичелла.

То, что "для лохов" называется "чёрной дырой Мичелла", никакой чёрной дырой вообще не является.

мат-ламер в сообщении #979948 писал(а):

Уже в 18-веке пользуясь формулами классической механики (законом сохранения энергии) были получены правильные результаты ( в частности $v^2=2GM/r$ ).

Это называется "случайное совпадение". Другой пример случайного совпадения: решения для классического атома Бора и для правильного квантового уравнения Шрёдингера.

[SergeyGubanov]

мат-ламер в сообщении #979948 писал(а):

Что имеется в виду: 1) Скорость вообще зависит от системы отсчёта. 2) Скорость чего-то относительно чего-то зависит от системы отсчёта?

And we need to go deeper...

Нужна пара действующих лиц: что и относительно чего.

Относительная скорость двух систем отсчёта от третьих лиц не зависит, если Вы об этом.