2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение15.02.2015, 17:24 


11/12/14
893
bocharov в сообщении #978754 писал(а):
А почему Вы решили ,что что то может постоянно ускоряться,есть же предел


Странный для меня лично вопрос. А почему что-то может двигаться бесконечно прямолинейно? Из-за чего так - движение сохраняется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение15.02.2015, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Geen в сообщении #978661 писал(а):
мат-ламер в сообщении #978618 писал(а):
Есть ли тут возможность двусмысленного прочтения?

Вроде бы нет, но когда Вы пишете $dr/dt$ возникают сомнения - ведь эта величина не является тем, что Вы описали.

В том посту, в котором я употреблял $dr/dt$, я ни разу не обмолвился, что эта величина является тем, что я описал. Когда писал тот пост, считал, что $r$ - это координантное расстояние, т.е. расстояние в СО неподвижных наблюдателей. Надо внимательней просмотреть Боулера, что он там имел в виду.

-- Вс фев 15, 2015 19:16:50 --

Вообще-то тут надо внимательно смотреть, в какой СО какая величина определяется. В частности, как меня поправили, местное время лучше обозначать через $\tau$ , чтобы не было путаницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение15.02.2015, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
мат-ламер в сообщении #978618 писал(а):
Есть ли тут возможность двусмысленного прочтения?

Да тридцать штук! Вы что, не можете нормально описать искомую величину?

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение17.02.2015, 16:23 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
мат-ламер в сообщении #977907 писал(а):
Допустим космонавт в свободном падении движется из достаточно удалённой точки в сторону чёрной дыры вдоль радиального направления. Чёрная дыра не вращается. Какова скорость космонавта при подлёте к горизонту чёрной дыры относительно этого горизонта?
Метрика чёрной дыры в координатах Пэнлеве ($a = 2 k M / c^2$):
$$
ds^2 = dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{a}{r}} \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) d\varphi^2
$$
Четырёхскорость ракеты неподвижной относительно чёрной дыры:
$$
{\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}}, 0, 0, 0 \right\}.
$$
Четырёхскорость ракеты радиально падающей на чёрную дыру из бесконечности с нулевой начальной скоростью:
$$
{\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ 1, -\sqrt{\frac{a}{r}}, 0, 0 \right\}.
$$
Зная четырёхскорости находим, соответственно, репер и корепер неподвижной системы отсчёта
$$
e_{(0)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \, \frac{\partial}{\partial t}, \quad
e_{(1)} = \frac{\sqrt{\frac{a}{r}}}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \, \frac{\partial}{\partial t}
+ \sqrt{1-\frac{a}{r}} \, \frac{\partial}{\partial r}, \quad
e_{(2)} = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad
e_{(3)} = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi},
$$
$$
e^{(0)} = \sqrt{1-\frac{a}{r}} \, dt - \frac{\sqrt{\frac{a}{r}}}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \, dr, \quad
e^{(1)} = \frac{dr}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}}, \quad
e^{(2)} = r \, d\theta, \quad
e^{(3)} = r \, \sin\theta \, d\varphi,
$$
репер и корепер падающей системы отсчёта:
$$
\bar{e}_{(0)} = \frac{\partial}{\partial t} - \sqrt{\frac{a}{r}} \, \frac{\partial}{\partial r}, \quad
\bar{e}_{(1)} = \frac{\partial}{\partial r}, \quad
\bar{e}_{(2)} = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad
\bar{e}_{(3)} = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi},
$$
$$
\bar{e}^{(0)} = dt, \quad
\bar{e}^{(1)} = dr + \sqrt{\frac{a}{r}} \, dt, \quad
\bar{e}^{(2)} = r \, d\theta, \quad
\bar{e}^{(3)} = r \, \sin\theta \, d\varphi.
$$
Найденные системы отсчёта связаны друг с другом локальным Лоренцевским бустом в плоскости $e^{(0)} \wedge e^{(1)}$ с переменной скоростью $v(r) = \sqrt{\frac{a}{r}}$:
$$
\bar{e}^{\mu}_{(0)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \left( e^{\mu}_{(0)} - \sqrt{\frac{a}{r}} \, e^{\mu}_{(1)} \right),
$$
$$
\bar{e}^{\mu}_{(1)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \left( - \sqrt{\frac{a}{r}} \, e^{\mu}_{(0)} + e^{\mu}_{(1)} \right),
$$
$$
\bar{e}^{\mu}_{(2)} = e^{\mu}_{(2)}, \quad \bar{e}^{\mu}_{(3)} = e^{\mu}_{(3)}.
$$
Скорость $$v(r) = \sqrt{\frac{a}{r}}$$ это и есть измеряемая (физическая) величина. Проекции скорости падающей системы на орты неподвижной системы и, наоборот, проекции скорости неподвижной системы на орты падающей системы:
$$
u^{(a)}_{-} = e^{(a)}_{\mu} \bar{e}^{\mu}_{\bf (0)} =\frac{1}{\sqrt{1-v(r)^2}} \left\{ 1, -v(r), 0, 0 \right\}, 
$$
$$
u^{(a)}_{+} = \bar{e}^{(a)}_{\mu} e^{\mu}_{\bf (0)} = \frac{1}{\sqrt{1-v(r)^2}} \left\{ 1, +v(r), 0, 0 \right\}.
$$
мат-ламер в сообщении #977907 писал(а):
Рассмотрим второй вопрос. Каково будет ускорение космонавта относительно горизонта.
Четырёхускорение неподвижно зависшей над чёрной дырой ракеты
$$
w^{\mu} = \frac{d^2 x^{\mu}}{d s^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} \frac{dx^{\alpha}}{ds} \frac{dx^{\beta}}{ds}
= \left\{ \frac{1}{2 (r - a)} \left( \frac{a}{r} \right)^{3/2}, \frac{a}{2 r^2}, 0, 0 \right\},
$$
его абсолютная величина:
$$
|w| = \sqrt{ - g_{\mu \nu} \, w^{\mu} w^{\nu}} = \frac{a}{2 r^2 \sqrt{1 - \frac{a}{r}}},
$$
проекции четырёхускорения на орты неподвижной системы:
$$
w^{(a)} = e^{(a)}_{\mu} w^{\mu}
= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{a}{r}}} \left\{ 0, \frac{a}{2 r^2 }, 0, 0 \right\}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение17.02.2015, 19:47 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
SergeyGubanov в сообщении #979570 писал(а):
Скорость $$v(r) = \sqrt{\frac{a}{r}}$$

Поздравляю. Вот вы и получили, то о чем так долго говорили большевики, что когда $r=r_g , v=1$.
То есть скорости света на горизонте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение17.02.2015, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
SergeyGubanov в сообщении #979570 писал(а):
Найденные системы отсчёта связаны друг с другом локальным Лоренцевским бустом

А по-проще нельзя было? Например, просто взять скалярное произведение скоростей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение18.02.2015, 10:39 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Geen в сообщении #979635 писал(а):
А по-проще нельзя было?
Проще нельзя. Измеряемая (физическая) скорость зависит от системы отсчёта, поэтому решая эту задачку прежде всего нужно выписать используемые системы отсчёта (тетрады).

Geen в сообщении #979635 писал(а):
Например, просто взять скалярное произведение скоростей?
Хмм, четырёхскоростей? Ну, давайте, возьмём...

Метрика
$$
ds^2 = dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{a}{r}} \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) d\varphi^2
$$
Четырёхскорость ракеты неподвижной относительно чёрной дыры:
$$
u^{\mu}_{\bf Stat} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \left\{ 1, 0, 0, 0 \right\}.
$$
Четырёхскорость ракеты радиально падающей на чёрную дыру из бесконечности с нулевой начальной скоростью:
$$
u^{\mu}_{\bf Fall} = \left\{ 1, -\sqrt{\frac{a}{r}}, 0, 0 \right\}.
$$
Берём скалярное произведение
$$
g_{\mu \nu} \, u^{\mu}_{\bf Stat} \, u^{\nu}_{\bf Fall} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}}.
$$
А что дальше?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение18.02.2015, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
SergeyGubanov в сообщении #979750 писал(а):
А что дальше?..

Ну, вроде как, гамму напоминает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение18.02.2015, 13:26 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Geen в сообщении #979765 писал(а):
Ну, вроде как, гамму напоминает.
Да, Вы правы, для вычисления "гаммы" можно было поступить проще чем сделал я.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение18.02.2015, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
SergeyGubanov в сообщении #979750 писал(а):
Измеряемая (физическая) скорость зависит от системы отсчёта

Допустим космонавт пролетает мимо наблюдателя. У каждого свои понятия о расстоянии и о ходе времени. Но я считал, что скорость космонавта относительно наблюдателя в СО наблюдателя равна скорости наблюдателя относительно космонавта в СО космонавта. Я не прав? (Я надеюсь в этом разделе форума за агрессивное невежество не банят).

-- Ср фев 18, 2015 22:03:29 --

Geen в сообщении #979635 писал(а):
А по-проще нельзя было?

По-проще смотрите Википедию. Там после оглавления рассматривается чёрная дыра Мичелла. Уже в 18-веке пользуясь формулами классической механики (законом сохранения энергии) были получены правильные результаты ( в частности $v^2=2GM/r$ ).

-- Ср фев 18, 2015 22:42:25 --

SergeyGubanov в сообщении #979750 писал(а):
Измеряемая (физическая) скорость зависит от системы отсчёта,

Что имеется в виду: 1) Скорость вообще зависит от системы отсчёта. 2) Скорость чего-то относительно чего-то зависит от системы отсчёта?

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение19.02.2015, 02:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
мат-ламер в сообщении #979948 писал(а):
Допустим космонавт пролетает мимо наблюдателя. У каждого свои понятия о расстоянии и о ходе времени. Но я считал, что скорость космонавта относительно наблюдателя в СО наблюдателя равна скорости наблюдателя относительно космонавта в СО космонавта.

Вы правы.

мат-ламер в сообщении #979948 писал(а):
Я не прав? (Я надеюсь в этом разделе форума за агрессивное невежество не банят).

Надеюсь, что банят (везде вообще на этом форуме). Вы правильно делаете, что сдерживаетесь.

мат-ламер в сообщении #979948 писал(а):
По-проще смотрите Википедию. Там после оглавления рассматривается чёрная дыра Мичелла.

То, что "для лохов" называется "чёрной дырой Мичелла", никакой чёрной дырой вообще не является.

мат-ламер в сообщении #979948 писал(а):
Уже в 18-веке пользуясь формулами классической механики (законом сохранения энергии) были получены правильные результаты ( в частности $v^2=2GM/r$ ).

Это называется "случайное совпадение". Другой пример случайного совпадения: решения для классического атома Бора и для правильного квантового уравнения Шрёдингера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так какая же скорость космонавта на подлёте к чёрной дыре?
Сообщение19.02.2015, 12:05 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
мат-ламер в сообщении #979948 писал(а):
Что имеется в виду: 1) Скорость вообще зависит от системы отсчёта. 2) Скорость чего-то относительно чего-то зависит от системы отсчёта?
And we need to go deeper... :D

Нужна пара действующих лиц: что и относительно чего.

Относительная скорость двух систем отсчёта от третьих лиц не зависит, если Вы об этом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group