Помогите разобраться в таком рассуждении из книги Куроша.
Цитата:
Пусть в поле

даны подполе

и элемент

, лежащий вне

, и пусть мы нашли минимальное подполе

поля

, содержащее и

, и

.
Нарисовал на всякий случай круговые диаграммы, которые иллюстрируют то, о чем здесь говорится. Все понятно. Кроме одного: минимальное подполе - это подполе с наименьшим количеством элементов среди всех подполей?
Цитата:
Такое минимальное подполе может быть только одно, т.к. если бы

было еще одно подполе с этими свойствами, то пересечение подполей

и

(т.е. совокупность элементов, общих обоим подполям) содержало бы

и элемент

Тоже ясно.

и

одновременно принадлежат подполям

и

, а поэтому принадлежат и их пересечению. А в продолжении мне уже труднее разобраться:
Цитата:
и вместе с любыми двумя своими элементами содержало бы их сумму (эта сумма должна содержаться и в

, и в

, а потому и в их пересечении, а также их произведение, разность и частное.
Из косноязычного изложения я понял, что пересечение

и

замкнуто относительно четырех операций. Это доказывается тем, что сумма и результаты других операций должны содержаться и в

, и в

. А почему она там содержится? Эти два подполя пересекаются по

и

. Если бы взяли элементы из

, которые содержатся в

и в

по предположению, то их сумма находилась бы в пересечении. Но есть еще области подполей

и

, не имеющие общих элементов. Возьмем два элемента из этих областей (один из одного поля, другой из другого). Почему их сумма тоже находится в пересечении?
Цитата:
Иными словами, пересечение само было бы подполем, что противоречит минимальности подполя

.
Вывод единственности подполя с такими свойствами понятен. Непонятно, как доказали, что пересечение оказывается подполем.
Картинка:
(Оффтоп)