Расширение поля присоединением элемента (Курош)

[Nurzery[Rhymes]]

Помогите разобраться в таком рассуждении из книги Куроша.

Цитата:

Пусть в поле $P$ даны подполе $P'$ и элемент $c$, лежащий вне $P$', и пусть мы нашли минимальное подполе $P''$ поля $P$, содержащее и $P'$, и $c$.

Нарисовал на всякий случай круговые диаграммы, которые иллюстрируют то, о чем здесь говорится. Все понятно. Кроме одного: минимальное подполе - это подполе с наименьшим количеством элементов среди всех подполей?

Цитата:

Такое минимальное подполе может быть только одно, т.к. если бы $P'''$ было еще одно подполе с этими свойствами, то пересечение подполей $P''$ и $P'''$ (т.е. совокупность элементов, общих обоим подполям) содержало бы $P'$ и элемент $c$

Тоже ясно. $P'$ и $c$ одновременно принадлежат подполям $P''$ и $P'''$, а поэтому принадлежат и их пересечению. А в продолжении мне уже труднее разобраться:

Цитата:

и вместе с любыми двумя своими элементами содержало бы их сумму (эта сумма должна содержаться и в $P''$, и в $P'''$, а потому и в их пересечении, а также их произведение, разность и частное.

Из косноязычного изложения я понял, что пересечение $P''$ и $P'''$ замкнуто относительно четырех операций. Это доказывается тем, что сумма и результаты других операций должны содержаться и в $P''$, и в $P'''$. А почему она там содержится? Эти два подполя пересекаются по $P'$ и $c$. Если бы взяли элементы из $P'$, которые содержатся в $P''$ и в $P'''$ по предположению, то их сумма находилась бы в пересечении. Но есть еще области подполей $P''$ и $P'''$, не имеющие общих элементов. Возьмем два элемента из этих областей (один из одного поля, другой из другого). Почему их сумма тоже находится в пересечении?

Цитата:

Иными словами, пересечение само было бы подполем, что противоречит минимальности подполя $P''$.

Вывод единственности подполя с такими свойствами понятен. Непонятно, как доказали, что пересечение оказывается подполем.

Картинка:

(Оффтоп)

[nnosipov]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #977341 писал(а):

Из косноязычного изложения я понял ...

Полегче на поворотах, товарищ студент. По этому учебнику выучилось не одно поколение студентов.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #977341 писал(а):

Непонятно, как доказали, что пересечение оказывается подполем.

Вот-вот, азбуки не знаете, а Курош виноват.

[Nurzery[Rhymes]]

nnosipov в сообщении #977356 писал(а):

По этому учебнику выучилось не одно поколение студентов.

Лул. Может быть еще по конспектам лекций учиться? Тех, кто учились по одному учебнику, можно сразу отправлять на завод. Забавляет вообще видеть в контактике посты уровня "Демидович наше все" и прочее. А ясности изложения у него конкретно в этом абзаце нет.

[provincialka]

Странно... А мне все понятно. С чего бы это?

Nurzery[Rhymes] в сообщении #977341 писал(а):

Все понятно. Кроме одного: минимальное подполе - это подполе с наименьшим количеством элементов среди всех подполей?

Нет. Минимальность рассматривается относительно вложения множеств. То есть минимальное из множеств -- то, которое входит в каждое из них. Кстати, не каждая система множеств содержит минимальное.

[Nurzery[Rhymes]]

А, понятно, такая цепь вложений как в теореме про стабилизацию последовательности идеалов.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #977341 писал(а):

А почему она там содержится? Эти два подполя пересекаются по $P'$ и $c$. Если бы взяли элементы из $P'$, которые содержатся в $P''$ и в $P'''$ по предположению, то их сумма находилась бы в пересечении.

$P'$ и $c$ тут ни при чем. Достаточно просто рассмотреть пересечение двух полей $P''$ и $P'''$, безотносительно того, откуда они взялись.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #977341 писал(а):

Но есть еще области подполей $P''$ и $P'''$, не имеющие общих элементов.

А какое нам до ним дело?

Nurzery[Rhymes] в сообщении #977341 писал(а):

Возьмем два элемента из этих областей (один из одного поля, другой из другого). Почему их сумма тоже находится в пересечении?

Не должна. Может и не находиться.

[nnosipov]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #977362 писал(а):

Может быть еще по конспектам лекций учиться?

Естественно, и по ним тоже.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #977362 писал(а):

А ясности изложения у него конкретно в этом абзаце нет.

Ну так перечитайте этот абзац ещё раз. В конце концов, это не кусок доказательства трудной теоремы, можно и самому разобраться в этом простом моменте.

[Nurzery[Rhymes]]

nnosipov в сообщении #977381 писал(а):

Ну так перечитайте этот абзац ещё раз. В конце концов, это не кусок доказательства трудной теоремы, можно и самому разобраться в этом простом моменте.

Перечитывал. Сложная теорема обычно разбивается на логически завершенные части и понимается сначала по кускам, а потом целиком. А здесь я застопорился на простом, вроде бы, моменте.

-- 12.02.2015, 20:49 --

Хм, вот нашел утверждение, что пересечение всех подполей является полем. Хотя у Куроша, похоже, как раз это утверждение и доказывается.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #977383 писал(а):

Хм, вот нашел утверждение, что пересечение всех подполей является полем. Хотя у Куроша, похоже, как раз это утверждение и доказывается.

Почему именно "всех"? Доказывается для двух.

[mihailm]

Подобные картинки часто помогают в теории множеств, но в полях (кольцах, группах) они бесполезны.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #977341 писал(а):

...минимальное подполе - это подполе с наименьшим количеством элементов среди всех подполей?...

Нет конечно, минимальное подполе это то, которое содержится в любом поле удовлетворяющем условиям, его существование неочевидно. Далее, Курош показывает его существование.

[provincialka]

mihailm
Вы считаете, что мои ответы нужно повторять Nurzery[Rhymes] еще раз? Думаете, с первого раза он не поймет?

[ex-math]

(Оффтоп)

provincialka
Ну Вам же пришлось повторить после Куроша

[provincialka]

(to ex-math)

ex-math
Если быть точной, про смысл минимальности конкретно в том отрывке не сказано.
А вообще-то этому поросенку товарищу ничего бы не надо объяснять, за непочтительное отношение, продемонстрированное и в этой теме, и ранее.

[mihailm]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #977452 писал(а):

mihailm
Вы считаете, что мои ответы нужно повторять Nurzery[Rhymes] еще раз? Думаете, с первого раза он не поймет?

Слушайте, я немного по другому написал - слова переставил, вдруг моя форма подачи некоторым индивидумам понятнее)))

[provincialka]

(Оффтоп)

mihailm
Ладно, прощаю. Пусть теперь индивидуум отвечает: понял или нет.