2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 18:21 
Аватара пользователя
Помогите разобраться в таком рассуждении из книги Куроша.
Цитата:
Пусть в поле $P$ даны подполе $P'$ и элемент $c$, лежащий вне $P$', и пусть мы нашли минимальное подполе $P''$ поля $P$, содержащее и $P'$, и $c$.

Нарисовал на всякий случай круговые диаграммы, которые иллюстрируют то, о чем здесь говорится. Все понятно. Кроме одного: минимальное подполе - это подполе с наименьшим количеством элементов среди всех подполей?

Цитата:
Такое минимальное подполе может быть только одно, т.к. если бы $P'''$ было еще одно подполе с этими свойствами, то пересечение подполей $P''$ и $P'''$ (т.е. совокупность элементов, общих обоим подполям) содержало бы $P'$ и элемент $c$

Тоже ясно. $P'$ и $c$ одновременно принадлежат подполям $P''$ и $P'''$, а поэтому принадлежат и их пересечению. А в продолжении мне уже труднее разобраться:

Цитата:
и вместе с любыми двумя своими элементами содержало бы их сумму (эта сумма должна содержаться и в $P''$, и в $P'''$, а потому и в их пересечении, а также их произведение, разность и частное.

Из косноязычного изложения я понял, что пересечение $P''$ и $P'''$ замкнуто относительно четырех операций. Это доказывается тем, что сумма и результаты других операций должны содержаться и в $P''$, и в $P'''$. А почему она там содержится? Эти два подполя пересекаются по $P'$ и $c$. Если бы взяли элементы из $P'$, которые содержатся в $P''$ и в $P'''$ по предположению, то их сумма находилась бы в пересечении. Но есть еще области подполей $P''$ и $P'''$, не имеющие общих элементов. Возьмем два элемента из этих областей (один из одного поля, другой из другого). Почему их сумма тоже находится в пересечении?

Цитата:
Иными словами, пересечение само было бы подполем, что противоречит минимальности подполя $P''$.

Вывод единственности подполя с такими свойствами понятен. Непонятно, как доказали, что пересечение оказывается подполем.

Картинка:

(Оффтоп)

Изображение

 
 
 
 Re: Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 19:00 
Nurzery[Rhymes] в сообщении #977341 писал(а):
Из косноязычного изложения я понял ...
Полегче на поворотах, товарищ студент. По этому учебнику выучилось не одно поколение студентов.
Nurzery[Rhymes] в сообщении #977341 писал(а):
Непонятно, как доказали, что пересечение оказывается подполем.
Вот-вот, азбуки не знаете, а Курош виноват.

 
 
 
 Re: Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 19:08 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #977356 писал(а):
По этому учебнику выучилось не одно поколение студентов.

Лул. Может быть еще по конспектам лекций учиться? Тех, кто учились по одному учебнику, можно сразу отправлять на завод. Забавляет вообще видеть в контактике посты уровня "Демидович наше все" и прочее. А ясности изложения у него конкретно в этом абзаце нет.

 
 
 
 Re: Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 19:13 
Аватара пользователя
Странно... А мне все понятно. С чего бы это?
Nurzery[Rhymes] в сообщении #977341 писал(а):
Все понятно. Кроме одного: минимальное подполе - это подполе с наименьшим количеством элементов среди всех подполей?
Нет. Минимальность рассматривается относительно вложения множеств. То есть минимальное из множеств -- то, которое входит в каждое из них. Кстати, не каждая система множеств содержит минимальное.

 
 
 
 Re: Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 19:16 
Аватара пользователя
А, понятно, такая цепь вложений как в теореме про стабилизацию последовательности идеалов.

 
 
 
 Re: Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 19:22 
Аватара пользователя
Nurzery[Rhymes] в сообщении #977341 писал(а):
А почему она там содержится? Эти два подполя пересекаются по $P'$ и $c$. Если бы взяли элементы из $P'$, которые содержатся в $P''$ и в $P'''$ по предположению, то их сумма находилась бы в пересечении.

$P'$ и $c$ тут ни при чем. Достаточно просто рассмотреть пересечение двух полей $P''$ и $P'''$, безотносительно того, откуда они взялись.
Nurzery[Rhymes] в сообщении #977341 писал(а):
Но есть еще области подполей $P''$ и $P'''$, не имеющие общих элементов.
А какое нам до ним дело?
Nurzery[Rhymes] в сообщении #977341 писал(а):
Возьмем два элемента из этих областей (один из одного поля, другой из другого). Почему их сумма тоже находится в пересечении?
Не должна. Может и не находиться.

 
 
 
 Re: Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 19:45 
Nurzery[Rhymes] в сообщении #977362 писал(а):
Может быть еще по конспектам лекций учиться?
Естественно, и по ним тоже.
Nurzery[Rhymes] в сообщении #977362 писал(а):
А ясности изложения у него конкретно в этом абзаце нет.
Ну так перечитайте этот абзац ещё раз. В конце концов, это не кусок доказательства трудной теоремы, можно и самому разобраться в этом простом моменте.

 
 
 
 Re: Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 19:47 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #977381 писал(а):
Ну так перечитайте этот абзац ещё раз. В конце концов, это не кусок доказательства трудной теоремы, можно и самому разобраться в этом простом моменте.

Перечитывал. Сложная теорема обычно разбивается на логически завершенные части и понимается сначала по кускам, а потом целиком. А здесь я застопорился на простом, вроде бы, моменте.

-- 12.02.2015, 20:49 --

Хм, вот нашел утверждение, что пересечение всех подполей является полем. Хотя у Куроша, похоже, как раз это утверждение и доказывается.

 
 
 
 Re: Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 19:54 
Аватара пользователя
Nurzery[Rhymes] в сообщении #977383 писал(а):
Хм, вот нашел утверждение, что пересечение всех подполей является полем. Хотя у Куроша, похоже, как раз это утверждение и доказывается.
Почему именно "всех"? Доказывается для двух.

 
 
 
 Re: Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 22:16 
Подобные картинки часто помогают в теории множеств, но в полях (кольцах, группах) они бесполезны.
Nurzery[Rhymes] в сообщении #977341 писал(а):
...минимальное подполе - это подполе с наименьшим количеством элементов среди всех подполей?...
Нет конечно, минимальное подполе это то, которое содержится в любом поле удовлетворяющем условиям, его существование неочевидно. Далее, Курош показывает его существование.

 
 
 
 Re: Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 22:19 
Аватара пользователя
mihailm
Вы считаете, что мои ответы нужно повторять Nurzery[Rhymes] еще раз? Думаете, с первого раза он не поймет?

 
 
 
 Re: Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 22:23 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

provincialka
Ну Вам же пришлось повторить после Куроша :-)

 
 
 
 Re: Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 22:28 
Аватара пользователя

(to ex-math)

ex-math
Если быть точной, про смысл минимальности конкретно в том отрывке не сказано. :-)
А вообще-то этому поросенку товарищу ничего бы не надо объяснять, за непочтительное отношение, продемонстрированное и в этой теме, и ранее.

 
 
 
 Re: Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 22:29 

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #977452 писал(а):
mihailm
Вы считаете, что мои ответы нужно повторять Nurzery[Rhymes] еще раз? Думаете, с первого раза он не поймет?
Слушайте, я немного по другому написал - слова переставил, вдруг моя форма подачи некоторым индивидумам понятнее)))

 
 
 
 Re: Расширение поля присоединением элемента (Курош)
Сообщение12.02.2015, 22:32 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

mihailm
Ладно, прощаю. :wink: Пусть теперь индивидуум отвечает: понял или нет.

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group