Производная прообраза семейства форм по параметру

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #973441 писал(а):

Ведь семейство форм $\omega_t$ не является формой на $\mathbb R^{n+1}$

не понял, у нас есть гладкое семейство форм $\omega=\omega_i(t,x)dx^i$ на многообразии $M,\quad x\in M$, что мешает считать, что это форма на многообразии $\mathbb{R}_t\times M$? Вот она в данных локальных координатах так записана $$\omega=\omega_i(t,x)dx^i+0\cdot dt$.



мы знаем как вычисляется производная Ли в стандартном автономном случае $$L_v(\omega_kdy^k)=\Big(\frac{\partial\omega_i}{\partial y^r}v^r+\omega_s\frac{\partial v^s}{\partial y^i}\Big)dy^i,\quad v=v(y)$, а теперь вспоминаем, что в данных координатах у нас $v^{n+1}=1,\quad y^{n+1}=t$ и сужаем эту форму на многообразие $\{y^{n+1}=const\}$ т.е. $dy^{n+1}=0$

[svv]

Vov, я Вас с самого начала неправильно понял, но Вы сами виноваты. Смотрите, как получилось. Вы написали:

Vov в сообщении #971492 писал(а):

вот данная формула и не понятна попробовал подставить и посчитать в координатах получается нечто похожее на выражение полной производной через частные, а полностью доказать не могу

Здесь дефицит знаков препинания, и я Вас понял так:
Попробовал подставить и посчитать в координатах (хотя бы!). Получается нечто похожее на выражение полной производной через частные (полуфабрикат), а полностью (даже этот вариант) доказать не могу.
Т.е. даже в координатах полностью не получается. Поэтому я и решил расписать в координатах.

Вы же имели в виду следующее:
Попробовал подставить и посчитать. В координатах получается нечто похожее на выражение полной производной через частные, а полностью доказать не могу.
Т.е. в координатах получается, а полностью (в бескоординатном виде) — нет.

Поэтому я очень удивился, увидев это:

Vov в сообщении #973355 писал(а):

но как я уже писал в координатном представлении посчитать эту формулу получается

Подумал сначала, что Вы пропустили «не». Как «получается»? Не получалось же!

Ставьте точки!

[Vov]

svv
Прошу прощения, что не корректно расставил знаки препинания, но все же остается вопрос с геометрической интерпретацией.

[svv]

Vov, я воспринял Ваши вопросы, позже постараюсь подумать, как лучше Вам ответить. Cейчас доведу до конца свой изначальный план.

Расчёт в моей задаче основывается на том, что:
$\bullet$ $t=\tilde t$, $x=x(\tilde t, \tilde x)$, $A=A(t, x)$;
$\bullet$ все функции дифференцируемы нужное количество раз;
$\bullet$ $\tilde A_i=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^i}A_k$.
Если верны эти посылки, то справедлив и результат, независимо от интерпретации последней формулы. А здесь возможны варианты. Её можно понимать не только как преобразование компонент формы при замене координат (одна точка, одна форма), но и при пуллбэке (две точки, две формы). Если $g$ отображает точку $\tilde P(\tilde x^i)$ в точку $P(x^k)$, то форма $A$ в точке $P$ порождает форму $\tilde A=g^* A$ в точке $\tilde P$. При этом если $\tilde A_i$ и $A_k$ — коэффициенты в разложениях $\tilde A=\tilde A_i d\tilde x^i$, $A=A_k dx^k$, то
$\tilde A_i=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^i}A_k$
А тогда — хочешь не хочешь — верна (уже в новой интерпретации) и формула
$\frac{\partial \tilde A_i}{\partial \tilde t}=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^i}\left(\frac{\partial A_k}{\partial t}+V^\ell\frac{\partial A_k}{\partial x^\ell}+A_\ell\frac{\partial V^\ell}{\partial x^k}\right)$, или
$\frac{\partial}{\partial \tilde t}\left(\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^i}A_k\right)=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^i}\left(\frac{\partial A}{\partial t}+L_V A\right)_k$
$\frac{\partial}{\partial \tilde t}\left(g^*_t A\right)_i=\left(g^*_t\left(\frac{\partial A}{\partial t}+L_V A\right)\right)_i$
$\frac{\partial}{\partial \tilde t}\left(g^*_t A\right)=g^*_t\left(\frac{\partial A}{\partial t}+L_V A\right)$
Тильду в левой части я оставлю, мне так яснее.

Вы говорили о группе диффеоморфизмов, но групповые свойства (возможны они или нет) нигде не использовались. Более того, нигде не использовалось и то, что $g_t$ — диффеоморфизм. Посмотрите хоть на вывод, хоть на конечный результат. Всюду только производные типа $\frac{\partial x}{\partial \tilde x}$, но нигде нет $\frac{\partial \tilde x}{\partial x}$.
Хорошо, пусть $g_t$ не группа, а семейство диффеоморфизмов. Должен ли существовать среди них некий выделенный $g_0$, равный тождественному отображению? Нет, не должен.
А обязано ли вообще отображение $g$ иметь обратное? Нет, не обязано.
А должно ли $g$ отображать многообразие в себя? Нет, не обязано, оно может отображать одно многообразие в другое.
Но должны ли в последнем случае эти многообразия хотя бы иметь одинаковую размерность? Совершенно не должны, пуллбэк всё равно будет существовать.
(Понятно, подобные формулы ассоциируются прежде всего с потоками, с системами дифференциальных уравнений, и в этих ситуациях перечисленное, наверное, справедливо, но это необязательно.)

Мне кажется, при поиске геометрического понимания полезно всё это иметь в виду. Я не спец в дифгеме, но, по моим наблюдениям, часто отысканию правильного пути помогает именно «бедность» рассматриваемых геометрических объектов и операций над ними (возможно, в простых учебных примерах). Пришла мысль использовать длину кривой — а метрики нет. Хочешь перенести вектор в другую точку — а связности нет. Поневоле приходится опираться только на узкий набор операций, возможных по самой природе объектов.

Про Ваш вопрос подумаю.

[svv]

Пусть $(\omega, v)=i_v\omega$

1. Надо доказать:

$$L_v(g^*\omega)=g^*L_{g_*v}\omega\quad\quad(\heartsuit)$$

Это следует из формулы гомотопии $L_v\omega = (d\omega, v) + d(\omega, v)$ и
$d(g^*\omega)=g^*(d\omega)$
$(g^*\omega, v)=g^*(\omega, g_*v)$

2. Пусть $g_t: M\to N$, тогда определяем $g: (\mathbb R\times M)\to(\mathbb R\times N)$, отображающее пару $(\tilde t, \tilde x)$ в $(t, x)$, где $t=\tilde t, x=g_{\tilde t}(\tilde x)$, $\tilde x\in M$, $x\in N$.

Это отображение (уже не семейство) $g$ и берем в формуле $(\heartsuit)$. В качестве векторного поля $v$ на $\mathbb R\times M$ берем $\frac{\partial}{\partial \tilde t}$. Дифференциальная форма $\omega$ на $\mathbb R\times N$ пусть удовлетворяет условию $(\omega, \frac{\partial}{\partial t})=0$. Не путаем векторные поля $\frac{\partial}{\partial \tilde t}$ и $\frac{\partial}{\partial t}$, относящиеся к разным многообразиям.

3. Заметим, что
$g_*(\frac{\partial}{\partial \tilde t})=\frac{\partial t}{\partial \tilde t}\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial x^k}{\partial \tilde t}\frac{\partial}{\partial x^k}=\frac{\partial}{\partial t}+V$,
где $V=\dot g_t$ — векторное поле на $\mathbb R\times N$, касательное к $N$. В силу линейности $L_{X+Y}\omega=L_{X}\omega+L_{Y}\omega$, получаем

$$L_{\frac{\partial}{\partial \tilde t}}(g^*\omega)=g^*\left(L_{\frac{\partial}{\partial t}}\omega+L_{V}\omega\right)$$

И дальше, наверное, ясно.

[Vov]

svv, Огромное Вам спасибо, все стало кристально ясно. Неимоверно благодарен.

[svv]

Рад был Вам помочь!