Производная прообраза семейства форм по параметру

[Vov]

Помогите обосновать формулу
Пусть у нас есть дифференцируемое по t семейство форм $\left\lbrace w_{t}\right\rbrace$, однопараметрическая группа диффеоморфизмов $\left\lbrace g_{t}\right\rbrace$ и семейство векторных полей $\left\lbrace X_{t}\right\rbrace$ таких, что $\frac{d g_{t}}{dt}(p)= X_{t} (g_{t}(p))$
Тогда $\frac{d g^{\ast}_{t} w_{t}}{dt}=g^{\ast}_{t}(\frac{d }{dt} w_{t} + L_X_{t} w_{t})$ вот данная формула и не понятна попробовал подставить и посчитать в координатах получается нечто похожее на выражение полной производной через частные, а полностью доказать не могу

[svv]

Сначала я решу свою задачу. Имеется два набора переменных, $(t, x^k)$ и $(\tilde t, \tilde x^k)$, где $k=1..n$. Здесь $x^k, \tilde x^k$ — координаты, а $t$ и $\tilde t$ — параметры, вроде времени. По условию $t=\tilde t$, но, понятно, это не значит, что $\frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial\tilde t}$, т.к. в каждой производной фиксируются остальные переменные из того же набора.
Имеется ковекторное поле $A_i(t, x^k)$. Требуется выразить $\frac{\partial \tilde A_i}{\partial \tilde t}$ через нетильдованные величины (тильдованным разрешается входить в коэффициенты преобразования). Можно использовать обозначение $V^i=\frac{\partial x^i}{\partial \tilde t}$.

Решение.
$\frac{\partial \tilde A_i}{\partial \tilde t}=\frac{\partial}{\partial \tilde t}\left(A_k\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^i}\right)=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^i}\frac{\partial A_k}{\partial \tilde t}+A_\ell \frac{\partial}{\partial\tilde t}\frac{\partial x^\ell}{\partial \tilde x^i}$
В первом слагаемом
$\frac{\partial A_k}{\partial \tilde t}=\frac{\partial A_k}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial \tilde t}+\frac{\partial A_k}{\partial x^\ell}\frac{\partial x^\ell}{\partial \tilde t}=\frac{\partial A_k}{\partial t}+V^\ell\frac{\partial A_k}{\partial x^\ell}$
Во втором слагаемом
$\frac{\partial}{\partial\tilde t}\frac{\partial x^\ell}{\partial \tilde x^i}=\frac{\partial V^\ell}{\partial\tilde x^i}=\frac{\partial V^\ell}{\partial x^k}\frac{\partial x^k}{\partial\tilde x^i}+\frac{\partial V^\ell}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial\tilde x^i}=\frac{\partial V^\ell}{\partial x^k}\frac{\partial x^k}{\partial\tilde x^i}$,
так как $\frac{\partial t}{\partial\tilde x^i}=0$.
Итого
$\frac{\partial \tilde A_i}{\partial \tilde t}=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^i}\left(\frac{\partial A_k}{\partial t}+V^\ell\frac{\partial A_k}{\partial x^\ell}+A_\ell\frac{\partial V^\ell}{\partial x^k}\right)$

Вам предлагается перебросить мостик от этой задачи к Вашей, найти, где здесь диффеоморфизмы, пуллбэк, производная Ли и т.д. Какие-то слова произнести надо, потому что, например, у меня все величины в формуле относятся к одной и той же точке, а у Вас есть $p$ и есть $g_t(p)$, потом у меня нет никаких полных производных (явно, во всяком случае). В общем, за Вами идейная сторона.

[Oleg Zubelevich]

Vov в сообщении #971492 писал(а):

однопараметрическая группа диффеоморфизмов $\left\lbrace g_{t}\right\rbrace$ и семейство векторных полей $\left\lbrace X_{t}\right\rbrace$ таких, что $\frac{d g_{t}}{dt}(p)= X_{t} (g_{t}(p))$

так не бывает. если векторное поле $X$ зависит от $t$ то $g$ не группа



сама по себе формула получается из своей автономной версии (из определения производной Ли) с помощью перехода от неавтономной системы $\dot x=X(t,x)$ к автономной дописыванием уравнения $\dot t=1$

[Padawan]

Vov
Вопрос по формуле: производная Ли берется при фиксированном $t$, а производная $\frac d{dt}\omega_t$ -- при фиксированном $x$?

Oleg Zubelevich
Бывает Но только в одном случае $X_t=g(t)X$, где $X$ уже от $t$ не зависит. То есть просто тогда, когда групповой параметр не канонической.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #973137 писал(а):

Бывает Но только в одном случае $X_t=g(t)X$, где $X$ уже от $t$ не зависит.

хорошо, $\dot x=t,\quad x(t)=x(0)+t^2/2$. Что-то я не вижу здесь тождества $g^{t_1+t_2}=g^{t_1}\circ g^{t_2}$

[Padawan]

Все правильно, $g^{t_1}\circ g^{t_2}=g^{f(t_1,t_2)}$. А равенство, которые Вы написали, означает по определению, что параметр -- канонический.

[Oleg Zubelevich]

А Вы, пожалуйста, по-подробней для моего примера распишите это все. В частности , покажите мне, где в этой " группе" находится преобразование обратное к преобразованию $ x\mapsto x+t^2/2$, а то я его сам найти не ммогу.

[Padawan]

Вы написали, что если $g^t$ группа, то $X_t$ не зависит от $t$. Вы ошиблись.
Упражнение. Придумайте соответствующий контрпример.

Oleg Zubelevich в сообщении #973186 писал(а):

А Вы, пожалуйста, по-подробней для моего примера распишите это все.

Я лишь утверждал, что такое может быть, и указал необходимое условие.

Oleg Zubelevich в сообщении #973186 писал(а):

покажите мне, где в этой " группе" находится преобразование обратное к преобразованию $ x\mapsto x+t^2/2$, а то я его сам найти не ммогу.

А Вы считайте, что $t$ изменяется в окрестности $t_0=1$. И тогда найдете.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

кстати, Вы вроде собирались уравнение проинтегрировать post947336.html#p947336 как успехи? я заждался

-- Вт фев 03, 2015 21:59:11 --

Padawan в сообщении #973137 писал(а):

Бывает Но только в одном случае $X_t=g(t)X$, где $X$ уже от $t$ не зависит.

Padawan в сообщении #973155 писал(а):

Все правильно, $g^{t_1}\circ g^{t_2}=g^{f(t_1,t_2)}$. А равенство, которые Вы написали, означает по определению, что параметр -- канонический.

а у меня еще такой вопрос, а какие преобразования Вы тут вообще рассматриваете, ведь эти преобразования существенно зависят от момента $t_o$ в который бралось начальное условие, эти преобразования принято обозначать $g_{t_0}^t$ В Ваших обозначениях $g^{t_1}$ например, это вооббще что?

-- Вт фев 03, 2015 22:05:29 --

Padawan в сообщении #973212 писал(а):

Вы написали, что если $g^t$ группа, то $X_t$ не зависит от $t$. Вы ошиблись.
Упражнение. Придумайте соответствующий контрпример.

это просто бессмыслица, нет $g^t$ в случае явной зависимости векторного поля от $t$, есть $g^t_{t_0}$

Padawan в сообщении #973212 писал(а):

А Вы считайте, что $t$ изменяется в окрестности $t_0=1$. И тогда найдете.

знаете, в любом множестве биекций, содержащем тождественное преобразование можно найти группу, но имелось в виду немного другое

[Vov]

svv
Спасибо, что расписали преобразования, насколько я понимаю диффеоморфизм это переход к тильдованым величинам, пуллбэк благодаря первому множителю, производная Ли - последние два члена в сумме, и то что вычислять мне надо в другой точке тоже понятно, но как я уже писал в координатном представлении посчитать эту формулу получается. Не могу понять её смысл без координат , то есть по сути мне надо найти $g^{\ast} (w_{t+{\Delta}t}-w_{t})$, если бы там не было предела а были две произвольные формы то я бы мог раскрыть скобки и тогда прообраз( пуллбэк) производной Ли бы не пришлось добавлять верно? И что такое прообраз производной Ли? то есть я понимаю что это форма и прообраз определён и необходим хотя бы из соображения того, в какой точке проводятся вычисления, но я всегда воспринимал производную Ли как ${g^{\ast} w_{t}}-w_{t}$, ну с соответствующим пределом, и тогда геометрическая интерперетация прообраза производной Ли вгоняет меня в ступор.
Oleg Zubelevich
дак семейство$X_{t}$ не произвольное, а определено соотношением в условии, пусть уже есть группа построим семейство полей, вроде часто встречал, такое определение
Padawan
на ваш вопрос , да я тоже так понимаю.

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #973241 писал(а):

а у меня еще такой вопрос, а какие преобразования Вы тут вообще рассматриваете, ведь эти преобразования существенно зависят от момента $t_o$ в который бралось начальное условие, эти преобразования принято обозначать $g_{t_0}^t$ В Ваших обозначениях $g^{t_1}$ например, это вообще что?

$\{g^t\}$ - некоторое семейство диффеоморфизмов, $t$ - просто параметр. Каждому $t$ соответствует определённый диффеоморфизм. $X_t$ определяется по $g^t$ так, как написал ТС. Вот Вам пример, когда $\{g^t\}$ группа, а $X_t$ зависит от $t$:
Пример. $g^t(x)=x+t+t^3/3$, $x\in\mathbb R$, $t\in \mathbb R$. Соответствующее $X_t(x)=1+t^2$.

Oleg Zubelevich в сообщении #973241 писал(а):

Padawan в сообщении #973212 писал(а):

А Вы считайте, что $t$ изменяется в окрестности $t_0=1$. И тогда найдете.

знаете, в любом множестве биекций, содержащем тождественное преобразование можно найти группу, но имелось в виду немного другое

$g^t(x)=x+t^2/2-1/2$, $x\in\mathbb R$, $t\in (0,99, 1,01)$ -- локальная группа преобразований. $X_t(x)=t$
К вопросу ТС вопрос о том, группа $\{g^t\}$ или нет, не имеет отношения. Его формула верна для любого семейства диффеоморфизмов.

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #973241 писал(а):

кстати, Вы вроде собирались уравнение проинтегрировать post947336.html#p947336 как успехи? я заждался

Интегрировать я его не собирался, я собирался найти группу симметрий. Признаюсь, не искал, потому что лень.

-- Ср фев 04, 2015 09:11:31 --

Vov в сообщении #973355 писал(а):

Oleg Zubelevich
дак семейство$X_{t}$ не произвольное, а определено соотношением в условии, пусть уже есть группа построим семейство полей, вроде часто встречал, такое определение

Oleg Zubelevich ошибочно думает, что в этом случае $X_t$ не будет зависеть от $t$.

[Oleg Zubelevich]

Padawan ведет давольно бессмысленный диалог (а я внего зачем-то втянулся) . Диалог такой. Я говорю, что семейство диффеоморфизмов, порожденных дифуром является группой только если пправая часть не зависит от времени т.е. автономна. Padawan на это отвечает, по существу, следующее: "Неверно! не только в автономных системах, но и в тех системах, что получаются из автономныых заменой вреемени. Это, конечно, весьма тонкое дополнение , но дальше возникает нюанс:

Padawan в сообщении #973137 писал(а):

Но только в одном случае $X_t=g(t)X$, где $X$ уже от $t$ не зависит.

Но поскольку $g(t)$ сама по себе может и не давать глобальной замены времени, даже в моем тривиальном примере, то дальше Padawan начинает накручивать подробности, которых сперва не было, что имел он в виду на самом деле локальную группу, а потом еще выясняется, что

Padawan в сообщении #973212 писал(а):

Я лишь утверждал, что такое может быть, и указал необходимое условие.

Ладно, по-существу все было ясно с самого начала.

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #973359 писал(а):

Интегрировать я его не собирался, я собирался найти группу симметрий. Признаюсь, не искал, потому что лень.

а провалы надо уметь признавать честно

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #973427 писал(а):

Padawan на это отвечает, по существу, следующее: "Неверно! не только в автономных системах, но и в тех системах, что получаются из автономныых заменой вреемени. Это, конечно, весьма тонкое дополнение , но дальше возникает нюанс:

Ну вот и договорились, и стоило весь сыр-бор разводить, если Вы это с самого начала понимали. Я же это и говорил. А насчет локальности группы -- мимо кассы. Даже и для автономных систем соответствующий поток является в общем случае лишь локальной группой преобразований.

Padawan в сообщении #973137 писал(а):

Но только в одном случае $X_t=g(t)X$, где $X$ уже от $t$ не зависит.

Вы отличаете необходимое условие от достаточного? Слово "только" зачем стоит? Я не говорил, что любое такое семейство полей будет порождать группу диффеоморфизмов.

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #973427 писал(а):

а провалы надо уметь признавать честно

Ну уж прям провалы. Я честно не брался за то уравнение. Просто не охота сидеть целый час, чтобы потом с гордым видом написать "Система симметрий не имеет"

Ладно, раз все выяснили, то давайте спор прекратим. Лучше распишите подробнее, как вы формулу ТС доказать хотите? Ведь семейство форм $\omega_t$ не является формой на $\mathbb R^{n+1}$

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #973441 писал(а):

"Система симметрий не имеет"

а она имеет, я не стал бы предлагать неинтегрируемую задачу

[Padawan]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #973443 писал(а):

а она имеет, я не стал бы предлагать неинтегрируемую задачу

Ну тогда посмотрю. Надо было сказать сразу.