2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Парадокс Банаха — Тарского
Сообщение10.02.2015, 18:51 


10/02/15
12
Добрый день!

Меня немного мучает один вопрос, если верен более сильный вариант парадокса Банаха — Тарского, что "Любые два ограниченных подмножества евклидова пространства с непустой внутренностью являются равносоставленными", и при этом $a^3$ есть ограниченное подмножество евклидова пространства в виде куба, то из этого следует, что $a^3 = b^3$ ?

Понимаю, что тонкость здесь скорее всего в том, что $a^3$ по каким-то причинам не будет считаться ограниченным подмножеством евклидова пространства, но хотелось бы понять, по каким именно причинам?

Буду благодарен за разъяснения.

ps Если для вас это очевидно - сильно не бейте, я на форуме человек новый, да и математических факультетов не кончал. Простите уж великодушно ущербного :D
pps возхохотамше под лавкою впервые зайдя на форум и увидев аж отдельный раздел для доказательств теоремы Ферма :lol: :lol: :lol:

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение10.02.2015, 19:04 
Модератор


20/03/14
8300
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс Банаха — Тарского
Сообщение10.02.2015, 20:50 


13/08/14
349
Прочитайте: Губа В.С., Львовский С.М. "Парадокс" Банаха-Тарского. Всего 48 страниц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс Банаха — Тарского
Сообщение10.02.2015, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13299
Оба куба будут ограниченными подмножествами евклидова пространства, тут всё в порядке. Дело в том, что мы обычно представляем части, как то, что имеет некоторый объём или массу, а это не всегда так. Подмножества бывают неизмеримыми. А можно и более простой пример рассмотреть. Мы в этих кубах можем сопоставить все точки один в один, то есть построить биекцию. То есть как бы в каждом кубе "одинаковое количество точек". Но из этого не следует равенство их объёмов. Так же как и из равносоставленности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс Банаха — Тарского
Сообщение10.02.2015, 22:03 


10/02/15
12
Извиняюсь, что не в тот раздел опубликовал. Пробежался глазами по названиям подразделов и ничего более подходящего не нашел... А слона-то, как оказалось, я и не приметил :D

Evgenjy, спасибо, обязательно прочитаю.
Если кому тоже интересно, вот ссылка: http://www.mccme.ru/free-books/dubna/guba-lvovsky.pdf

gris, спасибо, вроде начинаю соображать. То есть, я правильно понимаю, что парадокс Банаха — Тарского будет выполняться тогда и только тогда, когда измеримое множество можно разбить на неизмеримые подмножества?
Про равновеликость=равносоставленность я исходил из теоремы Бойяи — Гервина, предполагая, что она действует также и для трехмерного пространства... Но немного погуглив сейчас в этом направлении, понял, как сильно я ошибался :facepalm: :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс Банаха — Тарского
Сообщение10.02.2015, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11667
Казань
CheOmsk в сообщении #976496 писал(а):
парадокс Банаха — Тарского будет выполняться тогда и только тогда, когда измеримое множество можно разбить на неизмеримые подмножества?
Да вроде неизмеримое подмножество существует и на отрезке. А парадокс начинается только с третьего измерения!

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс Банаха — Тарского
Сообщение10.02.2015, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13200
с Территории
Любое измеримое множество можно разбить на неизмеримые подмножества. Тут что-то другое важно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс Банаха — Тарского
Сообщение10.02.2015, 22:39 


10/02/15
12
ИСН, ну это понятно. Но ведь ничего нам не мешает провести мысленный эксперимент и смоделировать измеримое множество, которое нельзя разбить на неизмиримые подмножества? Хотя-бы просто для того, чтобы убедиться в верности направления своих мыслей.

А что именно здесь важно, я уже разобрался. Проблема Гилберта всякая важна, Проблема Гилберта третья нам нужна! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс Банаха — Тарского
Сообщение10.02.2015, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11667
Казань
ИСН
Точно любое? Двухточечное, например...

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс Банаха — Тарского
Сообщение10.02.2015, 23:00 
Аватара пользователя


11/06/12
8290
Минск

(Оффтоп)

CheOmsk в сообщении #976517 писал(а):
Проблема Гилберта всякая важна, Проблема Гилберта третья нам нужна!
Гильберта.

CheOmsk в сообщении #976517 писал(а):
измеримое
CheOmsk в сообщении #976517 писал(а):
неизмиримые
Я сейчас всерьёз задумался над вопросом: неужели дислексия настолько распространена? Это первый вариант, в который я не верю. Вариант номер два: детей в школах сейчас ничему не учат. Это я к тому, что даже на форуме, не зря носящем звание научного, я постоянно встречаю людей, не способных в соседних предложениях одинаково правильно или одинаково неправильно написать однокоренные или даже одинаковые слова. Я бы сказал, что это [некрасивое словосочетание, за которое мне выписали бы бан на месяц-другой]. Меня это пугает. Очень серьёзно пугает. Ибо я уверен, что грамотность есть одна из основ цивилизованности, и отсутствие грамотности у большинства может привести к непредсказуемым последствиям.
С другой же стороны... Не об этом ли твердят поклонники теории технологической сингулярности? Что ж, в таком случае попросту необходимо в подходящий момент находиться на подходящей стороне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс Банаха — Тарского
Сообщение10.02.2015, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13200
с Территории
provincialka в сообщении #976518 писал(а):
Точно любое? Двухточечное, например...
А, ну конечно: надо ненулевой меры.
CheOmsk в сообщении #976517 писал(а):
Но ведь ничего нам не мешает провести мысленный эксперимент и смоделировать измеримое множество, которое нельзя разбить на неизмиримые подмножества?
Ну попробуйте.

-- менее минуты назад --

Aritaborian в сообщении #976522 писал(а):
Я бы сказал, что это (...). Меня это пугает.
Ой, да ладно. Немного улучшить спеллчекеры в браузере, и разницы не заметите. Вы способны, например, своё предыдущее сообщение написать перьевой ручкой, не посадив ни одной кляксы? Я нет. А когда-то это было такое же sine qua non.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс Банаха — Тарского
Сообщение10.02.2015, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5058
CheOmsk в сообщении #976517 писал(а):
ИСН, ну это понятно. Но ведь ничего нам не мешает провести мысленный эксперимент и смоделировать измеримое множество, которое нельзя разбить на неизмиримые подмножества?


Откажитесь от аксиомы выбора, тогда все множества будет измеримы (это не совсем точное утверждение, но его можно сделать точным; и неизмеримое построить не получится).

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс Банаха — Тарского
Сообщение10.02.2015, 23:20 


10/02/15
12
Вот, кстати, да. Я так понимаю, что точку можно разбить на неизмеримые множества в трехмерном пространстве? А иначе любое множество, состоящее из ограниченного числа точек мы бы впринципе никак не смогли разбить на неизмеримые множества?

Хм, но почему тогда мы не можем это сделать на плоскости?

Пойду, вообщем, лучше Губу-Львовского пока почитаю :D

Aritaborian в сообщении #976522 писал(а):
Гильберта.


Прошу прощения. Виноват. :oops:

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #976522 писал(а):
CheOmsk в сообщении #976517 писал(а):
измеримое
CheOmsk в сообщении #976517 писал(а):
неизмиримые
Я сейчас всерьёз задумался над вопросом: неужели дислексия настолько распространена? Это первый вариант, в который я не верю. Вариант номер два: детей в школах сейчас ничему не учат. Это я к тому, что даже на форуме, не зря носящем звание научного, я постоянно встречаю людей, не способных в соседних предложениях одинаково правильно или одинаково неправильно написать однокоренные или даже одинаковые слова. Я бы сказал, что это [некрасивое словосочетание, за которое мне выписали бы бан на месяц-другой]. Меня это пугает.


Обе ваши гипотезы неверны. Как раз не только в соседних предложениях, но и во всей этой ветке слово "неизмеримы" я писал "на автомате" всегда одинаково неправильно. Где замечал - исправлял перед публикацией. Но все мы люди и несовершенны, поэтому и моя внимательность иногда дает сбой. Извиняюсь, если вас это так задело, впредь обещаю быть еще чуточку внимательнее. А вам же пожелаю быть немного терпимее - все мы несовершенны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс Банаха — Тарского
Сообщение10.02.2015, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5058
gris в сообщении #976445 писал(а):
Мы в этих кубах можем сопоставить все точки один в один, то есть построить биекцию. То есть как бы в каждом кубе "одинаковое количество точек". Но из этого не следует равенство их объёмов. Так же как и из равносоставленности.


Точек слишком много. Обычно под равносоставленностью понимается что-то, связанное с разбиением на конечное количество подмножеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс Банаха — Тарского
Сообщение10.02.2015, 23:28 
Аватара пользователя


11/06/12
8290
Минск

(Оффтоп)

CheOmsk в сообщении #976530 писал(а):
А вам же пожелаю быть немного терпимее - все мы несовершенны.
Я стараюсь. Но иногда бывают срывы. И один из них пришёлся на вас; прошу прощения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group