Парадокс Банаха — Тарского

[CheOmsk]

Добрый день!

Меня немного мучает один вопрос, если верен более сильный вариант парадокса Банаха — Тарского, что "Любые два ограниченных подмножества евклидова пространства с непустой внутренностью являются равносоставленными", и при этом $a^3$ есть ограниченное подмножество евклидова пространства в виде куба, то из этого следует, что $a^3 = b^3$ ?

Понимаю, что тонкость здесь скорее всего в том, что $a^3$ по каким-то причинам не будет считаться ограниченным подмножеством евклидова пространства, но хотелось бы понять, по каким именно причинам?

Буду благодарен за разъяснения.

ps Если для вас это очевидно - сильно не бейте, я на форуме человек новый, да и математических факультетов не кончал. Простите уж великодушно ущербного
pps возхохотамше под лавкою впервые зайдя на форум и увидев аж отдельный раздел для доказательств теоремы Ферма

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Evgenjy]

Прочитайте: Губа В.С., Львовский С.М. "Парадокс" Банаха-Тарского. Всего 48 страниц.

[gris]

Оба куба будут ограниченными подмножествами евклидова пространства, тут всё в порядке. Дело в том, что мы обычно представляем части, как то, что имеет некоторый объём или массу, а это не всегда так. Подмножества бывают неизмеримыми. А можно и более простой пример рассмотреть. Мы в этих кубах можем сопоставить все точки один в один, то есть построить биекцию. То есть как бы в каждом кубе "одинаковое количество точек". Но из этого не следует равенство их объёмов. Так же как и из равносоставленности.

[CheOmsk]

Извиняюсь, что не в тот раздел опубликовал. Пробежался глазами по названиям подразделов и ничего более подходящего не нашел... А слона-то, как оказалось, я и не приметил

Evgenjy, спасибо, обязательно прочитаю.
Если кому тоже интересно, вот ссылка: http://www.mccme.ru/free-books/dubna/guba-lvovsky.pdf

gris, спасибо, вроде начинаю соображать. То есть, я правильно понимаю, что парадокс Банаха — Тарского будет выполняться тогда и только тогда, когда измеримое множество можно разбить на неизмеримые подмножества?
Про равновеликость=равносоставленность я исходил из теоремы Бойяи — Гервина, предполагая, что она действует также и для трехмерного пространства... Но немного погуглив сейчас в этом направлении, понял, как сильно я ошибался

[provincialka]

CheOmsk в сообщении #976496 писал(а):

парадокс Банаха — Тарского будет выполняться тогда и только тогда, когда измеримое множество можно разбить на неизмеримые подмножества?

Да вроде неизмеримое подмножество существует и на отрезке. А парадокс начинается только с третьего измерения!

[ИСН]

Любое измеримое множество можно разбить на неизмеримые подмножества. Тут что-то другое важно.

[CheOmsk]

ИСН, ну это понятно. Но ведь ничего нам не мешает провести мысленный эксперимент и смоделировать измеримое множество, которое нельзя разбить на неизмиримые подмножества? Хотя-бы просто для того, чтобы убедиться в верности направления своих мыслей.

А что именно здесь важно, я уже разобрался. Проблема Гилберта всякая важна, Проблема Гилберта третья нам нужна!

[provincialka]

ИСН
Точно любое? Двухточечное, например...

[Aritaborian]

(Оффтоп)

CheOmsk в сообщении #976517 писал(а):

Проблема Гилберта всякая важна, Проблема Гилберта третья нам нужна!

Гильберта.

CheOmsk в сообщении #976517 писал(а):

измеримое

CheOmsk в сообщении #976517 писал(а):

неизмиримые

Я сейчас всерьёз задумался над вопросом: неужели дислексия настолько распространена? Это первый вариант, в который я не верю. Вариант номер два: детей в школах сейчас ничему не учат. Это я к тому, что даже на форуме, не зря носящем звание научного, я постоянно встречаю людей, не способных в соседних предложениях одинаково правильно или одинаково неправильно написать однокоренные или даже одинаковые слова. Я бы сказал, что это [некрасивое словосочетание, за которое мне выписали бы бан на месяц-другой]. Меня это пугает. Очень серьёзно пугает. Ибо я уверен, что грамотность есть одна из основ цивилизованности, и отсутствие грамотности у большинства может привести к непредсказуемым последствиям.
С другой же стороны... Не об этом ли твердят поклонники теории технологической сингулярности? Что ж, в таком случае попросту необходимо в подходящий момент находиться на подходящей стороне.

[ИСН]

provincialka в сообщении #976518 писал(а):

Точно любое? Двухточечное, например...

А, ну конечно: надо ненулевой меры.

CheOmsk в сообщении #976517 писал(а):

Но ведь ничего нам не мешает провести мысленный эксперимент и смоделировать измеримое множество, которое нельзя разбить на неизмиримые подмножества?

Ну попробуйте.

-- менее минуты назад --

Aritaborian в сообщении #976522 писал(а):

Я бы сказал, что это (...). Меня это пугает.

Ой, да ладно. Немного улучшить спеллчекеры в браузере, и разницы не заметите. Вы способны, например, своё предыдущее сообщение написать перьевой ручкой, не посадив ни одной кляксы? Я нет. А когда-то это было такое же sine qua non.

[g______d]

CheOmsk в сообщении #976517 писал(а):

ИСН, ну это понятно. Но ведь ничего нам не мешает провести мысленный эксперимент и смоделировать измеримое множество, которое нельзя разбить на неизмиримые подмножества?

Откажитесь от аксиомы выбора, тогда все множества будет измеримы (это не совсем точное утверждение, но его можно сделать точным; и неизмеримое построить не получится).

[CheOmsk]

Вот, кстати, да. Я так понимаю, что точку можно разбить на неизмеримые множества в трехмерном пространстве? А иначе любое множество, состоящее из ограниченного числа точек мы бы впринципе никак не смогли разбить на неизмеримые множества?

Хм, но почему тогда мы не можем это сделать на плоскости?

Пойду, вообщем, лучше Губу-Львовского пока почитаю

Aritaborian в сообщении #976522 писал(а):

Гильберта.

Прошу прощения. Виноват.

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #976522 писал(а):

CheOmsk в сообщении #976517 писал(а):

измеримое

CheOmsk в сообщении #976517 писал(а):

неизмиримые

Я сейчас всерьёз задумался над вопросом: неужели дислексия настолько распространена? Это первый вариант, в который я не верю. Вариант номер два: детей в школах сейчас ничему не учат. Это я к тому, что даже на форуме, не зря носящем звание научного, я постоянно встречаю людей, не способных в соседних предложениях одинаково правильно или одинаково неправильно написать однокоренные или даже одинаковые слова. Я бы сказал, что это [некрасивое словосочетание, за которое мне выписали бы бан на месяц-другой]. Меня это пугает.

Обе ваши гипотезы неверны. Как раз не только в соседних предложениях, но и во всей этой ветке слово "неизмеримы" я писал "на автомате" всегда одинаково неправильно. Где замечал - исправлял перед публикацией. Но все мы люди и несовершенны, поэтому и моя внимательность иногда дает сбой. Извиняюсь, если вас это так задело, впредь обещаю быть еще чуточку внимательнее. А вам же пожелаю быть немного терпимее - все мы несовершенны.

[g______d]

gris в сообщении #976445 писал(а):

Мы в этих кубах можем сопоставить все точки один в один, то есть построить биекцию. То есть как бы в каждом кубе "одинаковое количество точек". Но из этого не следует равенство их объёмов. Так же как и из равносоставленности.

Точек слишком много. Обычно под равносоставленностью понимается что-то, связанное с разбиением на конечное количество подмножеств.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

CheOmsk в сообщении #976530 писал(а):

А вам же пожелаю быть немного терпимее - все мы несовершенны.

Я стараюсь. Но иногда бывают срывы. И один из них пришёлся на вас; прошу прощения.