2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Вот так всегда. Едешь, едешь на телеге, а кто-то на мотоцикле такой мимо - вжжжжик! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
ewert в сообщении #974101 писал(а):
$\frac{a_n}{n}+\frac{n}{a_n}\geqslant1$
Ну надо же было его как-то назвать словами. У Вас другие предложения есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 21:45 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
ИСН в сообщении #974295 писал(а):
Hasek в сообщении #974287 писал(а):
$\frac{\displaystyle f(2x)}{\displaystyle 2}$ заменилось на $\frac{\displaystyle f(x)+f(\frac{x}{2})}{\displaystyle 4}$

Теперь с учётом этого перепишите следующий шаг.

$f(4x)=\frac{f(x)}{2}+\frac{f(2x)}{2}=\frac{f(\frac{x}{2})}{4}+\frac{f(\frac{x}{4})}{4}+\frac{f(x)}{4}+\frac{f(\frac{x}{2})}{4}=\frac{f(\frac{x}{2})}{2}+\frac{f(x)}{4}+\frac{f(\frac{x}{4})}{4}=\frac{f(\frac{x}{4})}{4}+\frac{f(\frac{x}{8})}{4}+\frac{f(\frac{x}{2})}{8}+\frac{f(\frac{x}{4})}{8}+\frac{f(\frac{x}{8})}{8}+\frac{f(\frac{x}{16})}{8}=\frac{3f(\frac{x}{4})}{8}+\frac{3f(\frac{x}{8})}{8}+\frac{f(\frac{x}{2})}{8}+\frac{f(\frac{x}{16})}{8}=\dots$
Вроде всё правильно, нет ошибок.
abiturient в сообщении #974302 писал(а):
Мне кажется, тут проще заметить, что $f(2x)-f(x)=\frac{-1}{2}(f(x)-f(\frac{x}{2}))=\dots=\frac{(-1)^n}{2^n}(f(\frac{x}{2^{n-1}})-f(\frac{x}{2^n}))$

Честно говоря, я не понял, как получается Ваше равенство.
$f(2x)-f(x)=\frac{f(x)-f(\frac{x}{4})}{2}$
$-\frac{1}{2}(f(x)-f(\frac{x}{2}))=\frac{f(\frac{x}{8})-f(\frac{x}{2})}{4}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
ewert в сообщении #974101 писал(а):
почти ничего не надо считать для доказательства его существования -- достаточно лишь честно выписать итерированную функцию из правой части $f(f(x))$
Честно попробовал -- долго и нудно. Не говоря уж о том, что достаточность условия $f(f(x_1))>x_1$ тоже надо обосновывать. В то время как сходимость ряда с общим членом $x_{n+1}-x_n$ доказывается в две строчки.

-- 05.02.2015, 21:52 --

Hasek в сообщении #974321 писал(а):
нет ошибок
Даже проверять не хочется. Зачем Вы плодите сущности? Пусть на каждом шаге будет только две функции. Например,
$$
f(x)=\frac12f\left(\frac x2\right)+\frac12\left(\frac x4\right)=\frac34f\left(\frac x4\right)+\frac14f\left(\frac x8\right)
$$
и т.д. Попробуйте написать, что получится на $n$-ом шаге. Какие будут коэффициенты при $f(x/2^n)$ и $f(x/2^{n+1})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Hasek в сообщении #974321 писал(а):
Честно говоря, я не понял, как получается Ваше равенство.
Я тоже сначала не понял. Потом понял. Вы берёте разность $f(2x)-f(x)$ и в ней оба члена заменяете по формуле. А не надо оба. Оба не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
Hasek в сообщении #974321 писал(а):
я не понял, как получается
То, что написано в скобках после $-1/2$, имеет тот же вид, что и исходное выражение, с точностью до замены $2x$ на $x$. Вот и применяем еще раз первое равенство, только уменьшив переменную вдвое. И так далее.

-- 05.02.2015, 21:58 --

А, ИСН предположил, что Вы не поняли откуда само первое равенство. Ну его надо просто проверить. Оно то же, что и в условии, только записано в симметричном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 22:43 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
ex-math в сообщении #974313 писал(а):
Ну надо же было его как-то назвать словами. У Вас другие предложения есть?

Дело в том, что я, например, просто не понял, что Вы имели в виду под неравенством между средними -- настолько не понял, что даже и не стал пытаться понять. А вот неравенство $t+\frac1t\geqslant2$, которым всем школьникам все уши прожужжали, тут просто-таки бросается в глаза.

ex-math в сообщении #974326 писал(а):
Честно попробовал -- долго и нудно.

Чего долго и чего нудно? То, что для монотонно растущей функции, которая сначала выше биссектрисы, а начиная с некоторой точки ниже, итерации сходятся -- это мало того что геометрически очевидно, но ещё и общеизвестно. А итерированная функция -- очевидно дробно-линейна, и в два действия выпукла вверх, и начальное приближение левее нужного корня, и на начальном приближении функция выше биссектрисы. Всё, этого достаточно; и что главное -- всё прозрачно, не нужно ничего изобретать, тем более возиться с рядами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
ewert
Насчет средних -- я попытался сделать туманный намек и, как видно, у меня получилось. Хотя вот ИСН понял.
Насчет биссектрис -- это, пожалуй, дело вкуса. Вам ближе итерации, мне проще и понятней ряды. Хотя через ряды объективно короче.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group