Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора

[ИСН]

Вот так всегда. Едешь, едешь на телеге, а кто-то на мотоцикле такой мимо - вжжжжик!

[ex-math]

ewert в сообщении #974101 писал(а):

$\frac{a_n}{n}+\frac{n}{a_n}\geqslant1$

Ну надо же было его как-то назвать словами. У Вас другие предложения есть?

[Hasek]

ИСН в сообщении #974295 писал(а):

Hasek в сообщении #974287 писал(а):

$\frac{\displaystyle f(2x)}{\displaystyle 2}$ заменилось на $\frac{\displaystyle f(x)+f(\frac{x}{2})}{\displaystyle 4}$

Теперь с учётом этого перепишите следующий шаг.

$f(4x)=\frac{f(x)}{2}+\frac{f(2x)}{2}=\frac{f(\frac{x}{2})}{4}+\frac{f(\frac{x}{4})}{4}+\frac{f(x)}{4}+\frac{f(\frac{x}{2})}{4}=\frac{f(\frac{x}{2})}{2}+\frac{f(x)}{4}+\frac{f(\frac{x}{4})}{4}=\frac{f(\frac{x}{4})}{4}+\frac{f(\frac{x}{8})}{4}+\frac{f(\frac{x}{2})}{8}+\frac{f(\frac{x}{4})}{8}+\frac{f(\frac{x}{8})}{8}+\frac{f(\frac{x}{16})}{8}=\frac{3f(\frac{x}{4})}{8}+\frac{3f(\frac{x}{8})}{8}+\frac{f(\frac{x}{2})}{8}+\frac{f(\frac{x}{16})}{8}=\dots$
Вроде всё правильно, нет ошибок.

abiturient в сообщении #974302 писал(а):

Мне кажется, тут проще заметить, что $f(2x)-f(x)=\frac{-1}{2}(f(x)-f(\frac{x}{2}))=\dots=\frac{(-1)^n}{2^n}(f(\frac{x}{2^{n-1}})-f(\frac{x}{2^n}))$

Честно говоря, я не понял, как получается Ваше равенство.
$f(2x)-f(x)=\frac{f(x)-f(\frac{x}{4})}{2}$
$-\frac{1}{2}(f(x)-f(\frac{x}{2}))=\frac{f(\frac{x}{8})-f(\frac{x}{2})}{4}$

[ex-math]

ewert в сообщении #974101 писал(а):

почти ничего не надо считать для доказательства его существования -- достаточно лишь честно выписать итерированную функцию из правой части $f(f(x))$

Честно попробовал -- долго и нудно. Не говоря уж о том, что достаточность условия $f(f(x_1))>x_1$ тоже надо обосновывать. В то время как сходимость ряда с общим членом $x_{n+1}-x_n$ доказывается в две строчки.

-- 05.02.2015, 21:52 --

Hasek в сообщении #974321 писал(а):

нет ошибок

Даже проверять не хочется. Зачем Вы плодите сущности? Пусть на каждом шаге будет только две функции. Например,

$$ f(x)=\frac12f\left(\frac x2\right)+\frac12\left(\frac x4\right)=\frac34f\left(\frac x4\right)+\frac14f\left(\frac x8\right) $$

и т.д. Попробуйте написать, что получится на $n$-ом шаге. Какие будут коэффициенты при $f(x/2^n)$ и $f(x/2^{n+1})$.

[ИСН]

Hasek в сообщении #974321 писал(а):

Честно говоря, я не понял, как получается Ваше равенство.

Я тоже сначала не понял. Потом понял. Вы берёте разность $f(2x)-f(x)$ и в ней оба члена заменяете по формуле. А не надо оба. Оба не надо.

[ex-math]

Hasek в сообщении #974321 писал(а):

я не понял, как получается

То, что написано в скобках после $-1/2$, имеет тот же вид, что и исходное выражение, с точностью до замены $2x$ на $x$. Вот и применяем еще раз первое равенство, только уменьшив переменную вдвое. И так далее.

-- 05.02.2015, 21:58 --

А, ИСН предположил, что Вы не поняли откуда само первое равенство. Ну его надо просто проверить. Оно то же, что и в условии, только записано в симметричном виде.

[ewert]

ex-math в сообщении #974313 писал(а):

Ну надо же было его как-то назвать словами. У Вас другие предложения есть?

Дело в том, что я, например, просто не понял, что Вы имели в виду под неравенством между средними -- настолько не понял, что даже и не стал пытаться понять. А вот неравенство $t+\frac1t\geqslant2$, которым всем школьникам все уши прожужжали, тут просто-таки бросается в глаза.

ex-math в сообщении #974326 писал(а):

Честно попробовал -- долго и нудно.

Чего долго и чего нудно? То, что для монотонно растущей функции, которая сначала выше биссектрисы, а начиная с некоторой точки ниже, итерации сходятся -- это мало того что геометрически очевидно, но ещё и общеизвестно. А итерированная функция -- очевидно дробно-линейна, и в два действия выпукла вверх, и начальное приближение левее нужного корня, и на начальном приближении функция выше биссектрисы. Всё, этого достаточно; и что главное -- всё прозрачно, не нужно ничего изобретать, тем более возиться с рядами.

[ex-math]

ewert
Насчет средних -- я попытался сделать туманный намек и, как видно, у меня получилось. Хотя вот ИСН понял.
Насчет биссектрис -- это, пожалуй, дело вкуса. Вам ближе итерации, мне проще и понятней ряды. Хотя через ряды объективно короче.