Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора

[ИСН]

Hasek в сообщении #973480 писал(а):

Подпоследовательность разниц между чётными и нечётными убывает к нулю, а подпоследовательность разниц между нечётными и чётными к нулю возрастает.

Пока не доказано - это всё пустые слова. Убывает ли? Возрастает ли? К нулю ли? (На самом деле да, но надо обосновать.)

Hasek в сообщении #973480 писал(а):

Но мне ведь именно коэффициент при пятидесятой степени аргумента и надо найти, потому что меня интересует производная от функции этого аргумента, а не просто от $x$.

То есть Вам нужен коэффициент при $(x^{10}+x^{25})^{50}$? Воистину, не понимаю, зачем, но если угодно, извольте: он равен нулю, как и все чётные.

[ex-math]

Hasek
1. Приведите вычисления для разностей. Кажется, Вы где-то ошибаетесь.
4. Как раз именно производную по $x$ от Вас хотят, перечитайте условие. Вам нужен коэффициент при $x^{50}$, с точностью до множителя.

[demolishka]

ex-math в сообщении #973363 писал(а):

$a_n$ могут "прыгать", так что таких неравенств может и не быть.

В этом случае можно разбить $a_n$ на $a_{n_k}$, $a_{p_k}$ и $a_{s_k}$, где $\frac{1}{n_{k}^2}<a_{n_k} < \frac{1}{n_k}$, $a_{p_k} \leq \frac{1}{p_{k}^2}$ и $a_{s_k} \geq \frac{1}{s_k}$.
Теперь остается понять, что $a_{p_k}$ и $a_{n_k}$ конечное число (иначе второй ряд расходится), значит остаток $\sum a_{s_k}$ мажорируется снизу остатком гармонического ряда, что противоречит сходимости $\sum a_n$.

[ex-math]

demolishka
Зачем такое сумбурное построение, если есть простое и изящное доказательство?

-- 04.02.2015, 22:54 --

Придется его привести в явном виде: пусть оба ряда сходятся, тогда сходится и ряд с общим членом

$$a_n+\frac1{n^2a_n}\geqslant2\sqrt{a_n\cdot\frac1{n^2a_n}}=\frac2n,$$

что невозможно.

[Hasek]

ex-math в сообщении #973656 писал(а):

Hasek
1. Приведите вычисления для разностей. Кажется, Вы где-то ошибаетесь.
4. Как раз именно производную по $x$ от Вас хотят, перечитайте условие. Вам нужен коэффициент при $x^{50}$, с точностью до множителя.

$x_{n+2}-x_{n+1}=\frac{a}{1+x_{n+1}}-\frac{a}{1+x_n}=\frac{a(x_n-x_{n+1})}{(1+x_n)(1+x_{n+1})}$
То есть получаем, что знак разности $x_{n+2}-x_{n+1}$ зависит от разности $x_n-x_{n+1}$. "Раскручивая" это до первых членов, смотрю по ним, какая разница при переходе от чётного члена к нечётному (и наоборот), соответственно, обобщаю на всю последовательность. Так я определял знаки разностей. То, что разность между соседними членами с увеличением их номеров убывает, понятно непосредственно из вида той цепной дроби, которой задаётся последовательность, в которой "спускаясь всё глубже и глубже в знаменатель", мы всё меньше и меньше её изменяем.
Ваше решение второго номера действительно красиво и предельно понятно. Теперь ясно, к чему Вы подсказывали про неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, но я так и не догадался...
Поясните, пожалуйста, какая разница тогда будет между пятидесятой производной в нуле от просто $\sh{x}$ и от $\sh{(x^{10}+x^{25})}$? Доделаю эту и постараюсь справиться с остающимися задачами уже завтра, сейчас ухожу.

[ex-math]

Вроде бы получается, что последовательность с четными номерами убывает. Покажите это аккуратно. Снизу она ограничена, значит имеет предел. А раз расстояния между соседними членами стремятся к нулю, то и вся последовательность имеет предел. Надо только внимательно посмотреть, при всех ли $a $ это проходит.
С четвертой задачей надеюсь на Ваше прозрение. Наверняка Вы понимаете, чем отличается $f'(x) $ от $(f (g (x)))'$.

[ИСН]

Hasek в сообщении #973813 писал(а):

Поясните, пожалуйста, какая разница тогда будет между пятидесятой производной в нуле от просто $\sh{x}$ и от $\sh{(x^{10}+x^{25})}$?

Ну а какая разница будет, например, между второй производной в нуле от просто $\sin x$ и от $\sin x^2$ ? Возьмите их. Возьмите пальцами рук.

[ex-math]

Hasek в сообщении #973813 писал(а):

$x_{n+2}-x_{n+1}=\frac{a}{1+x_{n+1}}-\frac{a}{1+x_n}=\frac{a(x_n-x_{n+1})}{(1+x_n)(1+x_{n+1})}$

Прекрасно, почти решили на самом деле. Надо только знаменатель переписать в виде $a+2(1+x_n)$, оценить его снизу и сделать кое-какие выводы. Фактически, рассматривая разности последовательных членов, мы свели задачу к доказательству сходимости ряда, а там уже признаков всяких много.

[ewert]

В 1-й задаче после нахождения предела вообще почти ничего не надо считать для доказательства его существования -- достаточно лишь честно выписать итерированную функцию из правой части $f(f(x))$. Она возрастает, выпукла вверх и заведомо имеет в качестве одной из своих точек пересечения с прямой $y=x$ потенциально предельную. В этих условиях достаточно проверить, что $f(f(x_1))>x_1$, а этот факт для заданного начального значения тривиален.

Hasek в сообщении #973813 писал(а):

ясно, к чему Вы подсказывали про неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим,

Оно здесь в данном случае несколько избыточно: достаточно избитого детского $\frac{a_n}{n}+\frac{n}{a_n}\geqslant1$.

[Hasek]

Про четвёртую задачу вроде бы понял. Подставляю $\sh{(x^{10}+x^{25})}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(x^{10}+x^{25})^{2n+1}}{2n+1}$, коэффициент при $x^{50}$ будет $\frac{1}{5}$, поскольку в общем случае разложение в ряд в некоторой точке имеет вид $f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}f(x)x^n$, то ещё домножаю на $50!$. В итоге $f^{(50)}(0)=\frac{50!}{5}$.
В третьей задаче лучше записать так:
$f(4x)=\frac{f(x)}{2}+\frac{f(2x)}{2}=\frac{f(\frac{x}{2})}{2}+\frac{f(\frac{x}{4})}{4}+\frac{f(x)}{4}=...=f(0)$

[ewert]

Hasek в сообщении #974279 писал(а):

Подставляю $\sh{(x^{10}+x^{25})}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(x^{10}+x^{25})^{2n+1}}{2n+1}$, коэффициент при $x^{50}$ будет $\frac{1}{5}$,

Почти. Если бы ещё и ряд был правильный...

[ИСН]

Ага, всё хорошо, осталось обе записать правильно. Ряд у шинуса немножко не совсем такой. Ну и в третьей там это самое - когда исчезло $f(2x)$, на какие слагаемые оно заменилось?

[Hasek]

ИСН в сообщении #974285 писал(а):

Ага, всё хорошо, осталось обе записать правильно. Ряд у шинуса немножко не совсем такой. Ну и в третьей там это самое - когда исчезло $f(2x)$, на какие слагаемые оно заменилось?

Да, неправ, в выражении для ряда потерял факториал в знаменателе. Тогда $f^{(50)}(0)=\frac{50!}{5!}=\frac{50!}{120}$
$\frac{\displaystyle f(2x)}{\displaystyle 2}$ заменилось на $\frac{\displaystyle f(x)+f(\frac{x}{2})}{\displaystyle 4}$

[ИСН]

Hasek в сообщении #974287 писал(а):

$\frac{\displaystyle f(2x)}{\displaystyle 2}$ заменилось на $\frac{\displaystyle f(x)+f(\frac{x}{2})}{\displaystyle 4}$

Теперь с учётом этого перепишите следующий шаг.

[abiturient]

Мне кажется, тут проще заметить, что $f(2x)-f(x)=\frac{-1}{2}(f(x)-f(\frac{x}{2}))=\dots=\frac{(-1)^n}{2^n}(f(\frac{x}{2^{n-1}})-f(\frac{x}{2^n}))$