2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение04.02.2015, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Hasek в сообщении #973480 писал(а):
Подпоследовательность разниц между чётными и нечётными убывает к нулю, а подпоследовательность разниц между нечётными и чётными к нулю возрастает.
Пока не доказано - это всё пустые слова. Убывает ли? Возрастает ли? К нулю ли? (На самом деле да, но надо обосновать.)
Hasek в сообщении #973480 писал(а):
Но мне ведь именно коэффициент при пятидесятой степени аргумента и надо найти, потому что меня интересует производная от функции этого аргумента, а не просто от $x$.
То есть Вам нужен коэффициент при $(x^{10}+x^{25})^{50}$? Воистину, не понимаю, зачем, но если угодно, извольте: он равен нулю, как и все чётные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение04.02.2015, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Hasek
1. Приведите вычисления для разностей. Кажется, Вы где-то ошибаетесь.
4. Как раз именно производную по $x$ от Вас хотят, перечитайте условие. Вам нужен коэффициент при $x^{50}$, с точностью до множителя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение04.02.2015, 22:05 
Аватара пользователя


28/04/14
627
матмех спбгу
ex-math в сообщении #973363 писал(а):
$a_n$ могут "прыгать", так что таких неравенств может и не быть.

В этом случае можно разбить $a_n$ на $a_{n_k}$, $a_{p_k}$ и $a_{s_k}$, где $\frac{1}{n_{k}^2}<a_{n_k} < \frac{1}{n_k}$, $a_{p_k} \leq \frac{1}{p_{k}^2}$ и $a_{s_k} \geq \frac{1}{s_k}$.
Теперь остается понять, что $a_{p_k}$ и $a_{n_k}$ конечное число (иначе второй ряд расходится), значит остаток $\sum a_{s_k}$ мажорируется снизу остатком гармонического ряда, что противоречит сходимости $\sum a_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение04.02.2015, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
demolishka
Зачем такое сумбурное построение, если есть простое и изящное доказательство?

-- 04.02.2015, 22:54 --

Придется его привести в явном виде: пусть оба ряда сходятся, тогда сходится и ряд с общим членом $$a_n+\frac1{n^2a_n}\geqslant2\sqrt{a_n\cdot\frac1{n^2a_n}}=\frac2n,$$что невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 00:37 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
ex-math в сообщении #973656 писал(а):
Hasek
1. Приведите вычисления для разностей. Кажется, Вы где-то ошибаетесь.
4. Как раз именно производную по $x$ от Вас хотят, перечитайте условие. Вам нужен коэффициент при $x^{50}$, с точностью до множителя.

$x_{n+2}-x_{n+1}=\frac{a}{1+x_{n+1}}-\frac{a}{1+x_n}=\frac{a(x_n-x_{n+1})}{(1+x_n)(1+x_{n+1})}$
То есть получаем, что знак разности $x_{n+2}-x_{n+1}$ зависит от разности $x_n-x_{n+1}$. "Раскручивая" это до первых членов, смотрю по ним, какая разница при переходе от чётного члена к нечётному (и наоборот), соответственно, обобщаю на всю последовательность. Так я определял знаки разностей. То, что разность между соседними членами с увеличением их номеров убывает, понятно непосредственно из вида той цепной дроби, которой задаётся последовательность, в которой "спускаясь всё глубже и глубже в знаменатель", мы всё меньше и меньше её изменяем.
Ваше решение второго номера действительно красиво и предельно понятно. Теперь ясно, к чему Вы подсказывали про неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, но я так и не догадался...
Поясните, пожалуйста, какая разница тогда будет между пятидесятой производной в нуле от просто $\sh{x}$ и от $\sh{(x^{10}+x^{25})}$? Доделаю эту и постараюсь справиться с остающимися задачами уже завтра, сейчас ухожу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 09:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Вроде бы получается, что последовательность с четными номерами убывает. Покажите это аккуратно. Снизу она ограничена, значит имеет предел. А раз расстояния между соседними членами стремятся к нулю, то и вся последовательность имеет предел. Надо только внимательно посмотреть, при всех ли $a $ это проходит.
С четвертой задачей надеюсь на Ваше прозрение. Наверняка Вы понимаете, чем отличается $f'(x) $ от $(f (g (x)))'$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 10:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Hasek в сообщении #973813 писал(а):
Поясните, пожалуйста, какая разница тогда будет между пятидесятой производной в нуле от просто $\sh{x}$ и от $\sh{(x^{10}+x^{25})}$?

Ну а какая разница будет, например, между второй производной в нуле от просто $\sin x$ и от $\sin x^2$ ? Возьмите их. Возьмите пальцами рук.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Hasek в сообщении #973813 писал(а):
$x_{n+2}-x_{n+1}=\frac{a}{1+x_{n+1}}-\frac{a}{1+x_n}=\frac{a(x_n-x_{n+1})}{(1+x_n)(1+x_{n+1})}$
Прекрасно, почти решили на самом деле. Надо только знаменатель переписать в виде $a+2(1+x_n)$, оценить его снизу и сделать кое-какие выводы. Фактически, рассматривая разности последовательных членов, мы свели задачу к доказательству сходимости ряда, а там уже признаков всяких много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 16:29 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
В 1-й задаче после нахождения предела вообще почти ничего не надо считать для доказательства его существования -- достаточно лишь честно выписать итерированную функцию из правой части $f(f(x))$. Она возрастает, выпукла вверх и заведомо имеет в качестве одной из своих точек пересечения с прямой $y=x$ потенциально предельную. В этих условиях достаточно проверить, что $f(f(x_1))>x_1$, а этот факт для заданного начального значения тривиален.

Hasek в сообщении #973813 писал(а):
ясно, к чему Вы подсказывали про неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим,

Оно здесь в данном случае несколько избыточно: достаточно избитого детского $\frac{a_n}{n}+\frac{n}{a_n}\geqslant1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 20:39 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Про четвёртую задачу вроде бы понял. Подставляю $\sh{(x^{10}+x^{25})}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(x^{10}+x^{25})^{2n+1}}{2n+1}$, коэффициент при $x^{50}$ будет $\frac{1}{5}$, поскольку в общем случае разложение в ряд в некоторой точке имеет вид $f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}f(x)x^n$, то ещё домножаю на $50!$. В итоге $f^{(50)}(0)=\frac{50!}{5}$.
В третьей задаче лучше записать так:
$f(4x)=\frac{f(x)}{2}+\frac{f(2x)}{2}=\frac{f(\frac{x}{2})}{2}+\frac{f(\frac{x}{4})}{4}+\frac{f(x)}{4}=...=f(0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 20:45 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
Hasek в сообщении #974279 писал(а):
Подставляю $\sh{(x^{10}+x^{25})}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(x^{10}+x^{25})^{2n+1}}{2n+1}$, коэффициент при $x^{50}$ будет $\frac{1}{5}$,

Почти. Если бы ещё и ряд был правильный...

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Ага, всё хорошо, осталось обе записать правильно. Ряд у шинуса немножко не совсем такой. Ну и в третьей там это самое - когда исчезло $f(2x)$, на какие слагаемые оно заменилось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 20:57 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
ИСН в сообщении #974285 писал(а):
Ага, всё хорошо, осталось обе записать правильно. Ряд у шинуса немножко не совсем такой. Ну и в третьей там это самое - когда исчезло $f(2x)$, на какие слагаемые оно заменилось?

Да, неправ, в выражении для ряда потерял факториал в знаменателе. Тогда $f^{(50)}(0)=\frac{50!}{5!}=\frac{50!}{120}$
$\frac{\displaystyle f(2x)}{\displaystyle 2}$ заменилось на $\frac{\displaystyle f(x)+f(\frac{x}{2})}{\displaystyle 4}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Hasek в сообщении #974287 писал(а):
$\frac{\displaystyle f(2x)}{\displaystyle 2}$ заменилось на $\frac{\displaystyle f(x)+f(\frac{x}{2})}{\displaystyle 4}$

Теперь с учётом этого перепишите следующий шаг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач на последовательности, ряды и ряд Тейлора
Сообщение05.02.2015, 21:22 


31/12/13
93
Мне кажется, тут проще заметить, что $f(2x)-f(x)=\frac{-1}{2}(f(x)-f(\frac{x}{2}))=\dots=\frac{(-1)^n}{2^n}(f(\frac{x}{2^{n-1}})-f(\frac{x}{2^n}))$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group